2. Еквівалентні визначення рпм
Використовуючи множини-згортки, дамо еквiвалентнi визначення РМ, ПРМ та РПМ, заданих на Nn .
Тeорeма 1. Множина LNn рекурсивна (примiтивно рекурсивна, рекурсивно перелiчна) множина Cn(L) рекурсивна (примiтивно рекурсивна, рекурсивно перелiчна)
Доводимо для випадку РМ (для ПРМ аналогiчно).
Нехай LN є РМ, тобто L(x1, ..., xn) є РФ. Тодi
L(Cn1(x),...,
Cnn(x))
=
.
Справдi, xCn(L) x=Cn(x1, ..., xn) для деякої n-ки
(x1, ..., xn)L (Cn1(x),..., Cnn(x))L.
Отже, Cn(L) рекурсивна.
Нехай
тепер Cn(L)
є РМ, тобто
PФ. Тодi
(Cn(x1,
..., xn))
= L(x1,
..., xn),
звiдки L є РМ.
Доводимо для випадку РПМ.
Нехай LNn є РПМ, тобто L={(g1(x), ..., gn(x)) | xN } для деяких РФ g1, ..., gn . Тодi Cn(L)={Cn(g1(x), ..., gn(x)) | xN } РПМ, бо Cn(g1(x), ..., gn(x)) є РФ.
Нехай тепер Cn(L) є РПМ, тобто Cn(L) = {g(x) | xN } для деякої РФ g. Тодi множина L={(Cn1(g(x)),..., Cnn(g(x))) | xN } є РПМ, бо Cn1(g(x)), ..., Cnn(g(x)) РФ.
Ураховуючи теорему 1, обмежимося розглядом рекурсивних, примiтивно рекурсивних та рекурсивно перелiчних множин на N.
Співвідношення між класами ПРМ, РМ і РПМ установлює
Тeорeма 2. 1) кожна скiнченна множина є ПРМ;
2) кожна рекурсивна множина є РПМ;
3) клас ПРМ строго включається в клас РМ.
-
Нехай множина L={а1, ..., аn}. Тодi L(x)=nsg(
)
ПРФ.
2) Нехай LN є РМ. Якщо L=, то L за визначенням є РПМ. Якщо L, то зафiксуємо якийсь елемент bL. Функцiя L рекурсивна, тому f(x)=xL(x)+bnsg(L(x)) теж рекурсивна, причому L=Ef . Отже, L є РПМ L(x1, ..., xn).
3) Кожна ПРФ рекурсивна, тому кожна ПРМ є РМ. Нехай u(t, x) рекурсивна унiверсальна функцiя для ПРФ1. Тодi f(x)=nsg(u(x, x)) є характеристичною функцiєю деякої РМ L. Якщо f(x) є ПРФ, то за унiверсальнiстю u(t, x) iснує kN таке, що f(x)=u(k, x) для всiх x. Тодi f(k)=u(k, k)=nsg(u(k, k)). Маємо суперечнiсть, тому f(x) не є ПРФ, звiдки L не є ПРМ.
Тeорeма 3. Класи ПРМ та РМ замкненi вiдносно операцiй , і доповнення.
Маємо
AB(x)=sg(A(x)+B(x)),
AB(x)=
A(x)B(x)
та
=nsg(A(x)).
Тому якщо A
і B
РФ (ПРФ), то AB
, AB
та
теж РФ (ПРФ).
Тeорeма 4. Множина L є нескінченною РМ L=Ef для деякої строго монотонної РФ f.
Для
строго монотонних функцiй для всiх xDf
виконується умова f(x)x.
Тому маємо
.
Якщо f
рекурсивна, то
теж рекурсивна, звiдки множина Ef
рекурсивна.
Нехай L є нескінченною РМ. Задамо функцію f такою схемою примітивної рекурсії:
f(0)=k(L(k)=1);
f(х+1)=k(L(k)=1 та k>f(x)).
За побудовою L=Ef та f строго монотонна. В силу нескінченності множини L функція f тотальна. Отже, f строго монотонна РФ.
Тeорeма 5. Нехай L нескiнченна РПМ. Тодi iснує нескiнченна рекурсивна множина M, така, що ML.
Нехай L нескiнченна РПМ. Тодi L=Eg для деякої РФ g. Розглянемо функцiю f, задану такою схемою примiтивної рекурсiї:
f(0)=g(0);
f(x+1)=g(k(g(k)>f(x)).
За побудовою функцiя f строго монотонна, причому f тотальна через нескiнченність Eg . Отже, f строго монотонна рекурсивна функцiя, тому Ef нескiнченна РМ. Зрозумiло, що Ef Eg=L, тому множина Ef це шукана множина M .
Тeорeма 6. Нехай L нескiнченна РПМ. Тодi iснує iн’єктивна РФ f така, що L=Ef .
Маємо L=Eg для деякої РФ g. Розглянемо функцiю f, задану такою схемою примiтивної рекурсiї:
f(0)=g(0);
f(x+1)=g(k(g(k)f(0),
…, g(k)f(x)))
=
Через нескiнченність Eg функцiя f iн’єктивна i тотальна, причому
Ef =Eg=L. Отже, f шукана iн’єктивна РФ.
Тeорeма 7. Існує РФ така, що для кожного хN E(x)=Dx , причому (x) є РФ при Dx.
Зафіксуємо довільне хN. Задамо ефективний процес поетапного породження множини Dx, формуючи список елементів Dx із повторами. Виконання одної команди МНР-програми (МТ) при обчисленні певної ЧРФ назвемо кроком обчислення.
Етап 1. Робимо 1-ий крок обчислення x(0); якщо x(0) обчислене, заносимо 0 до списку.
Етап п+1. Робимо по п+1 кроків обчислення для x(0), x(1), …, x(п); усі такі kn, для яких x(k) обчислене, заносимо до списку.
Задамо функцію f(x, y) наступним чином. Для кожного фіксованого хN покладемо:
f(x, 0) є 1-м елементом списку;
f(x,у+1)=
=
За тезою Чорча так задана f(x, y) є ЧРФ. Тому за s-m-n-теоремою існує така РФ (x), що f(x, y)=(x)(y) для всіх значень x, y. За побудовою E(x)=Dx . Якщо Dx=, то (x)=f . Якщо Dx, то при такому фіксованому х функція f(x, y) визначена для всіх уN, тому (x) тотальна, отже, функція (x) є РФ.
Тeорeма 8. Існують РФ s і t такі, що для кожного хN Es(x)=Dx та Dt(x)=Ex .
Задамо
функцію f(x,
у)
= z(Px
(z)y)
=
За ТЧ f(x, у) є ЧРФ. Тому за s-m-n-теоремою існує така РФ t(x), що f(x, y)=t(x)(y) для всіх значень x, y. Тоді уEx f(x, у) визначене t(x)(y) визначене уDt(x) . Звідси Dt(x)=Ex .
Задамо
функцію g(x,
у)
=
За ТЧ g(x, у) є ЧРФ. Тому за s-m-n-теоремою існує така РФ s(x), що g(x, y)=s(x)(y) для всіх значень x, y. За побудовою Es(x)= Ds(x) . Маємо уDx f(x, у) визначене s(x)(y) визначене уDs(x) уEs(x) . Звідси Dx= Es(x) .
Тeорeма 9. Існує РФ така, що для кожного хN E(x)=Еx , причому (x) є РФ при Еx.
Узявши функції і t із тeорeми 7 та тeорeми 8, для кожного хN маємо Dt(x)=Ex і E(x)=Dx , причому (x) є РФ при Dx. Тоді E(t(x))=Dt(x)=Ex для кожного хN, причому (t(x)) є РФ при Dt(x)=Ex. Тому РФ (x)=(t(x)) шукана.
Тeорeма 10. Наступнi визначення РПМ еквiвалентнi:
df1) L= або L є областю значень деякої РФ;
df2) L є областю значень деякої ЧРФ;
df3) L є областю визначення деякої ЧРФ;
df4) часткова характеристична функцiя множини L є ЧРФ.
Iмплiкацiї df1 df2 та df4 df3 є очевидними.
Покажемо df3 df1. Нехай множина L є областю визначення деякої ЧРФ, нехай х індекс такої ЧРФ, тобто L=Dx . Візьмемо РФ (x) із тeорeми 7, тоді E(x)=Dx , причому (x) є РФ при Dx. Отже, або Dx=, або Dx=E(x) і (x) є РФ.
Аналогічно, використовуючи теорему 9, показуємо df2 df1.
Твердження
df2
df3 випливає
із теореми 8. Залишається показати
df3
df4. Нехай
L=Df
для деякої ЧРФ f.
Тоді маємо
s(o(f(x))).
Зауважимо, що df3 та df4 можна без зміни використовувати для РПМ, заданих на Nn.