3.Теорема про представлення операції примітивної рекурсії

Покажемо, що кодування за допомогою функцiї Геделя (x, y) довiльних скiнченних послiдовностей натуральних чисел одним натуральним числом дозволяє при розширеннi множини базових функцiй промоделювати операцiю примiтивної рекурсiї.

Теорема. Функцiя f=R(g, h) може бути отримана iз функцiй g, h, базових функцiй і функцiй +,  за допомогою скiнченної кiлькостi застосувань операцiй суперпозицiї Sⁿ⁺¹ та мiнiмiзацiї М.

Доводимо для випадку, коли f=R(g, h)  бiнарна функцiя (в загальному випадку доведення аналогiчне).

Зафiксуємо x та y. Згiдно зі схемою примітивної рекурсії для функцiї f(x, y) маємо:

f(x,0) = g(x);

f(x,1) = h(x,0, f(x,0)); (1)

... f(x, y) = h(x, y-1, f(x, y-1)).

За основною властивiстю функцiї Геделя iснує таке t, що

(t, 0) = f(x,0);

... (2) (t, y) = f(x, y).

Ураховуючи (1), перепишемо (2) у виглядi

(t, 0) = g(x);

(t, 1) = h(x,0, (t, 0));

... (3) (t, y) = h(x, y-1, (t, y-1)).

Можна розглядати (3) як систему рiвнянь вiдносно t. Згiдно із (3) для всiх и{0,..., у-1} виконується (t, u+1) = h(x, и, (t, и)), тому y = _u(y=u) або (t, u+1)h(x, и, (t, и)). Отже, (3) рiвносильне системі

(t, 0) = g(x);

y= _u(|y-u|nsg(|(t, u+1)-h(x, и, (t, и))|)=0). (4)

Позначимо _u(|y-u|nsg(|(t, u+1)-h(x, и, (t, и))|)=0) як F(x,y, t). Тодi система (4) рiвносильна рiвнянню |(t, 0)-g(x)| + |y-F(x,y, t)| = 0.

За основною властивiстю функцiї Геделя система (3), отже, i рiвносильне їй рiвняння |(t, 0)-g(x)| + |y-F(x,y, t)| = 0 має розв'язок вiдносно t для всiх значень x та y, тому iснує мiнiмальний розв’язок t = _z(|(z, 0)-g(x)|+|y-F(x,y, z)|=0).

Позначивши таке t як (x, y), маємо f(x, y) = (t, y) = ((x, y), y).

Функцiя  отримана iз функцiй g, h та функцiй , +, , nsg i базових функцiй о, s, I за допомогою операцiй Sⁿ⁺¹ та M. Функцiя  отримується iз функцiй о, s, I і функцiй +, , mod, l, r за допомогою операцiй Sⁿ⁺¹ та M. У свою чергу, функцiї l і r отриманi iз функцiй , [x/2], о, s, I, +,  за допомогою операцiй Sⁿ⁺¹. Функцiї , [x/2] і mod можуть бути отриманi iз функцiй о, s, I, +,  за допомогою операцiй Sⁿ⁺¹ і М. Але nsg(x)= тому функцiя  отримується iз функцiй о, s, I, +,  за допомогою операцiй Sⁿ⁺¹ і М. Отже, функцiя , а тому i функцiя f одержуються iз функцiй g, h, о, s, I, +,  за допомогою операцiй суперпозицiї Sⁿ⁺¹ та мiнiмiзацiї М .

Наслiдок. Клас ЧРФ збігається з класом функцiй, отриманих iз функцiй о, s, I, +,  за допомогою скiнченної кiлькостi застосувань операцiй Sⁿ⁺¹ і M.

ЛЕКЦІЯ 7

ПЛАН

1. Еквівалентність формальних моделей алгоритмів.

2. Теза Чорча, її обгрунтування. Значення тези Чорча та її використання.