1. Нумеровані сукупності чрф. Теорема Райса і її значення
У зв’язку з уведенням ефективних нумерацiй ЧРФ виникають питання, якi ж властивостi ЧРФ можна розпiзнати або частково розпiзнати за номерами функцiй, тобто чи будуть множини номерiв вiдповiдних класiв ЧРФ рекурсивними або рекурсивно перелiчними.
Нехай :N→ ефективна нумерацiя множини об’єктiв , нехай . Множину номерiв усiх об’єктiв iз позначатимемо N(), тобто N()=-1().
Множини вигляду N(), де ЧРФn (зокрема, ЧРФ1), називатимемо індексними множинами. Тут ми вивчатимемо властивості індексних множин.
Нагадаємо, що всюди не визначену функцiю позначатимемо f .
Тeорeма 1 (Райс). Нехай ЧРФn і . Тодi множина N() нерекурсивна.
Вважаємо, що f (iнакше замiсть вiзьмемо ’=ЧРФn\, тодi N() рекурсивна N(’) рекурсивна, ’ЧРФn і ’. Зафiксуємо довiльну функцiю g. Задамо функцiю f так:
f(z,
x1,
..., xn)
=
Предикат
"zD"
є ЧРП, тому за ТЧ функцiя f
є ЧРФ. За s-m-n-теоремою
iснує РФ s
така, що f(z,
x1,
..., xn)
=
(x1,
..., xn)
для всiх значень z,
x1,
..., xn
.
При
zD
маємо
(x1,
..., xn)
= f(z,
x1,
..., xn)
= g(x1,
..., xn),
тобто
це функцiя g.
Отже,
,
звідки s(z)N().
При zD
значення
(x1,
..., xn)
= f(z,
x1,
..., xn)
не визначене, тобто
це функцiя f
. Отже,
,
звідки s(z)N().
Таким чином, zD s(z)N(). Припустимо тепер, що множина N() рекурсивна. Тодi предикат "zN()" рекурсивний, звiдки предикат "s(z)N()" теж рекурсивний через рекурсивність функцiї s. Звідси предикат "zD" рекурсивний, що суперечить нерекурсивностi множини D. Отже, N() нерекурсивна.
Наслідок. Нехай РПМ та . Тодi множина N() не є РМ.
Таким чином, теорема Райса стверджує, що жодна нетривiальна властивiсть у класах усiх n-арних ЧРФ та всiх РПМ не може бути ефективно розпiзнана!
Як приклад застосування теореми Райса покажемо, що {x | Dx} є нерекурсивною РПМ. Справдi, предикат “Dx” є ЧРП, бо Dx yk(Px(y) за k крокiв), а предикат "Px(y) за k крокiв" рекурсивний. Тому множина {x | Dx} є РПМ. Але за теоремою Райса {x | Dx} не є РМ.
Тeорeма 4.5.2. Нехай ЧРФn та f. Тодi N() не є РПМ.
Зафiксуємо довiльну функцiю g. Задамо функцiю f так:
f(z,
x1,
..., xn)
=
За
ТЧ f
є ЧРФ. За s-m-n-теоремою
iснує РФ s
така, що для всiх значень z,
x1,
..., xn
маємо f(z,
x1,
..., xn)
=
(x1,
..., xn).
При
zD
маємо
(x1,
..., xn)
= f(z,
x1,
..., xn)
= g(x1,
..., xn),
тобто
це функцiя g.
Отже,
,
звідки s(z)N().
При zD
значення
(x1,
..., xn)
= f(z,
x1,
..., xn)
не визначене, тобто
це функцiя f
. Отже,
,
звідки s(z)N().
Таким
чином, zD
s(z)N().
Якщо N()
є РПМ, то предикат "zN()"
є ЧРП, звiдки предикат "s(z)N()"
теж ЧРП через рекурсивність функцiї
s.
Звідси предикат "zD"
є ЧРП, що суперечить тому, що множина
не є РПМ. Отже, N()
не є РПМ .
Наслідок. Множини {x | Dx є РМ} та {x | Dx скiнченна} не є РПМ.
Справдi, множина є скiнченною і рекурсивною, тому f{x | Dx скiнченна} та f{x | Dx є РМ}.
Достатню умову належностi функцiї до множини ЧРФ iз рекурсивно перелiчною множиною iндексiв дає теорема Райса – Шапiро.