1. Еквівалентність формальних моделей алгоритмів
Обмежимося розглядом п-арних функцiй на множині N.
Теорема 1. Клас ЧРФ збігається з класом програмованих на N п-арних функцiй.
1)
ЧРФ
програмованi на N.
Базовi функцiї о,
s,
I
програмованi
на N.
Залишається показати, що функцiї,
отриманi iз програмованих за допомогою
операцiй R
та M,
теж програмованi. Зрозуміло, що функцiї
+,
програмованi. Згiдно з теоремою про
представлення операцiї R
досить показати, що якщо функцiя g
програмована, то й функцiя f
= M(g)
програмована. Але операцiя M
по сутi частковий випадок операцiї циклу.
У випадку (п+1)-арної
функції g
операторний терм ППА-Ar-N
для f =
M(g)
має вигляд Sn+2(N☼(Sn+2(g,
I
,
..., I
,
I
),
S2(s,
I
)),
оп,
I
,
..., I
).
2)
Програмованi
на N
ЧРФ. Базовi
програмованi на N
п-арні
функцiї о,
s,
I
,
+,
є ЧРФ. Залишається показати, що якщо
функцiї
та f
ЧРФ, то й функцiя N☼(,
f)
ЧРФ. Нехай маємо ЧРФ (x1,
..., xn)
та f(x1,
..., xn).
Розглянемо тепер функцiю (x1,
...,
xn,
у)
по суті y-кратну
iтерацiю функцiї f
по x1,
що задається такою схемою примiтивної
рекурсiї:
(x1, ..., xn, у) = x1;
(x1, ..., xn, k+1) = f((x1, ..., xn, k), x2, ..., xn).
Отже,
можна подати у виглядi
R(g,
h),
де g
та h
суть
функцiї
g(x1,
..., xn)=x1
і h(x1,
...,
xn,
у, z)
= f(z,
x2,...,
xn).
Операторний терм алгебри ЧРФ для функції
має вигляд R(I
,
Sn+1(f,
I
,
I
,
..., I
)).
Звiдси для функції N☼(,
f)
маємо:
N☼(, f)(x1, ..., xn)= (x1, ..., xn, y(((x1, ..., xn, у), x2, ..., xn)=0)).
Таким чином, N☼(, f) ЧРФ.
Теорема 2. Кожна ЧРФ МНР-обчислювана функцiя.
Базовi
функцiї
о,
s,
I
обчислюванi
такими МНР-програмами:
програма 1) Z(0) для функцiї о ;
програма 1) S(0) для функцiї s ;
програма
1) T(m-1,0)
для функцiї I
.
Нехай k-арна функцiя g та n-арнi функцiї g1, ..., gk обчислюванi вiдповiдно МНР-програмами G, G1, ..., Gk. Тодi функцiя Sn+1(g, g1, ..., gk) обчислюється МНР-програмою такого вигляду (тут m = max((G), (G1),..., (Gk))):
T(j, m+j+1) для всіх j{0,..., n-1}
Gj[m+1,...,m+n → m+n+j] для всіх j{0,..., n-1}
G[m+n+1,..., m+n+k → 0].
Нехай (n+1)-арна функцiя g обчислювана МНР-програмою G. Тодi функцiя M(g) обчислюється МНР-програмою такого вигляду (тут m=(G)):
T(j, m+j+1) для всіх j{0,..., n-1}
p) G[m+1,...,m+n+1→ 0]
J(0, m+n+2, q)
S(m+n+1)
J(0,0, p)
q) T(m+n+1, 0).
Нехай n-арна функцiя g та (n+2)-арнa функцiя h обчислюванi вiдповiдно МНР-програмами G і H. Тодi функцiя R(g, h) обчислюється МНР-програмою такого вигляду (тут m=max((G), (H)):
T(j, m+j+1) для всіх j{0,..., n}
p) G[m+1,..., m+n → m+n+3]
J(m+n+1, m+n+2, q)
H[m+1,..., m+n+2, m+n+3 → m+n+3]
S(m+n+2)
J(0,0, p)
q) T(m+n+3,0).
Отже, кожна ЧРФ МНР-обчислювана функцiя.
Правильне i зворотне твердження:
Теорема 3. Кожна МНР-обчислювана функцiя є ЧРФ.
Дамо iдею доведення. Нехай f(x1, ..., xn) обчислюється МНР-програмою P. Позначимо (x1, ..., xn, t) функцiю, значенням якої є вмiст 0-го регiстра пiсля t крокiв роботи P над x1, ..., xn, або пiсля qt крокiв, якщо на q-му кроцi програма P при роботi над x1, ..., xn зупинилась. Через (x1, ..., xn, t) позначимо функцiю, значенням якої є номер команди пiсля t крокiв роботи P над x1, ..., xn, або 0, якщо програма P при роботi над x1, ..., xn зупинилась на кроцi qt. Моделюючи роботу P над x1, ..., xn за t крокiв, можна довести примiтивну рекурсивнiсть функцiй та . Але
f(x1, ..., xn) = (x1, ..., xn, t((x1, ..., xn, t)=0)),
тому f є ЧРФ.
Наслiдок 1. Клас ЧРФ збігається з класом МНР-обчислюваних функцiй.
Ураховуючи результат теореми 1, маємо:
Наслiдок 2. Класи ЧРФ, МНР-обчислюваних функцiй та програмованих на N функцiй збігаються.
За кожною МТ можна збудувати еквiвалентний їй НА, який задає те ж вербальне вiдображення. З іншого боку, за кожним НА можна збудувати еквiвалентну йому МТ. Отже:
Твeрджeння 1. Клас МТ-обчислюваних функцiй збігається з класом НА-обчислюваних функцiй.
Ще в 1937 р. А.Тьюрiнг установив:
Твeрджeння 2. Клас МТ-обчислюваних функцiй збігається з класом ЧРФ.
Має мiсце також наступне твердження:
Твeрджeння 3. Клас функцiй, обчислюваних за Постом, збігається з класом НА-обчислюваних функцiй.
Пiдсумовуючи зазначені результати, дiстаємо:
Теорема 4. Наступнi класи функцiй збігаються:
1) клас ЧРФ;
2) клас програмованих на N п-арних функцiй;
3) клас МНР-обчислюваних функцiй;
4) клас функцiй, обчислюваних за Тьюрiнгом;
5) клас функцiй, обчислюваних за Марковим;
6) клас функцiй, обчислюваних за Постом.
Розглянутi нами вище формалiзми задають один i той же клас п-арних функцiй на N. При цьому самi визначення формалiзмiв такi, що забезпечують ефективну обчислюванiсть описуваних ними функцiй. Тому є всi пiдстави вважати, що такi формалiзми є рiзними математичними уточненнями iнтуїтивного поняття алгоритмiчно обчислюваної функцiї (АОФ). Уперше таке твердження стосовно рекурсивних функцiй було висунуте в 1936 роцi А. Чорчем, тому дiстало назву ”теза Чорча”. В цьому ж роцi С. Клiнi узагальнив тезу Чорча на випадок часткових функцiй. Розглянемо тезу Чорча в розширеному виглядi.