3. Властивості прм, рм і рпм

Тeорeма 11. Клас РПМ замкнений вiдносно операцiй  та .

Нехай A і B  РПМ, нехай f та g  РФ такi, що A=E_f і B=E_g . Задамо функцiю h так: h(2x)=f(x), h(2x+1)=g(x). Тодi h є РФ, причому E_h=E_f E_g=B. Тому B є РПМ. Але , тому  ЧРФ, звідки за df4 AB є РПМ.

Тeорeма 12 (узагальнена тeорeма Поста). Нехай множини A та B  РПМ, причому AB= і множина AB рекурсивна. Тодi A та B  рекурсивнi множини.

Вважаємо, що A та B, iнакше твердження теореми тривiальне. Нехай f і g  такi РФ, що A=E_f та B=E_g . Вкажемо алгоритм A, який за довiльним bN визначає: bA чи bA.

Функцiю h(x) задамо так: h(2x)=f(x), h(2x+1)=g(x). Тодi h є РФ, причому E_h=E_fE_g=AB. Множина AB рекурсивна, тому алгоритмiчно розв’язна. Спочатку наш алгоритм A моделює роботу алгоритму для розв’язування множини AB. Якщо bAB, то bA. Якщо bAB, то поступово обчислюємо значення h(0), h(1),... . Позаяк E_h=AB, то b=h(n) для деякого n. Якщо п парне, то b=h(n)=f(n/2), звiдки маємо bA. Якщо п непарне, то b=h(n)=g((n-1)/2), звiдки bB, тому в силу AB = маємо bA. Отже, множина A алгоритмiчно розв’язна. За тезою Чорча множина A рекурсивна.

Аналогiчно доводимо рекурсивнiсть множини B .

Наслiдок (тeорeма Поста). Якщо множини L та рекурсивно перелiчнi, то множини L і рекурсивнi.

Тeорeма 13. Для довiльних РПМ A та B iснують РПМ L і M такi, що LA, MB, LM= та LM= AB.

Вважаємо A, B і AB (iнакше твердження теореми є тривiальним). Вiзьмемо aA та bB такi, що ab. Нехай f і g такi РФ, що A=E_f та B=E_g. Задамо функцiї  і  так:

(0) =

(0) =

(x+1) =

(x+1) =

За ТЧ  та  є РФ. Тодi множини L=E_ та M=E_ задовольняють умову теореми.

Для довiльної LN уведемо позначення

L_2x ={2x| xL} та L_2х+1 ={2x+1| xL}.

Для множин, заданих на N, визначимо операцiї сполучення  та добутку  :

AB = {2x|xA}{2x+1|xB}=A_xB_2x+1;

AB = {C(x, y)| xA, yB}.

Тeорeма 14. 1) Множини A та B РМ/РПМ  B РМ/РПМ.

2) Якщо A і B, то A та B РМ/РПМ  B РМ/РПМ.

Доведемо для випадку РПМ. Для випадку РМ доведення аналогiчне, тiльки замiсть часткових характеристичних функцiй беремо характеристичнi функцiї вiдповiдних множин.

Маємо xAB  (x парне та x/2A) або (x непарне і (x-1)/2B).

Якщо A та B є РПМ, то є ЧРФ за ТЧ, тому AB є РПМ.

Маємо xA  2xAB і xB  2x+1AB. Звiдси =, = . Тому якщо AB є РПМ, то A та B теж є РПМ.

Маємо xAB  l(x)A і r(x)B, звiдки дiстаємо =. Тому якщо A та B є РПМ, то AB є РПМ.

Зафiксуємо довiльнi aA, bB. Маємо

xA  C(x, b)AB, xB  C(а, х)AB.

Тому =, =. Якщо AB є РПМ, то множини A та B теж є РПМ.

Ефективну нумерацiю РПМ уведемо на основi нумерацiй n-арних ЧРФ згiдно з df3:

номером (iндексом) РПМ LNⁿ є номер n-арної ЧРФ f такої, що L=D_f .

РПМ LNⁿ з iндексом m позначатимемо , або D_m для випадку n=1.

Множину {LNⁿ | L є РПМ} будемо позначати РПМ^п. Аналогiчно вводимо позначення РМ^п та ПРМ^п.

ЛЕКЦІЯ 12

ПЛАН

1. Поняття примітивно рекурсивного, рекурсивного та частково рекурсивного предиката (ПРП, РП і ЧРП).

2. Властивості ПРП, РП та ЧРП.

1. Поняття примітивно рекурсивного, рекурсивного і частково рекурсивного предиката (ПРП, РП та ЧРП)

n-арний предикат на N називають рекурсивним (скорочено РП), якщо його характеристична функцiя рекурсивна.

n-арний предикат на N називають примiтивно рекурсивним (скорочено ПРП), якщо його характеристична функцiя є ПРФ.

Безпосередньо iз визначень випливає, що кожний ПРП є рекурсивним предикатом.

n -арний предикат на N називають частково рекурсивним (скорочено ЧРП), якщо його часткова характеристична функцiя є ЧРФ.

Замiсть "P(x₁, ..., x_n)=Т" надалі будемо також писати "P(x₁, ..., x_n)".