2.3.2. Момент iнерції

Уявно розiб’ємо АТТ на малi елементи об’ємом та масою m_i якi можна вважати матерiальними точками (тобто представимо АТТ як систему матерiальних точок з масою m_i).

Моментом iнерції І матерiальної точки вiдносно деякої осi z, називається добуток маси матерiальної точки m_i на квадрат її вiдстанi , вiд цiєї осi (рис.2.5):

(2.28)

Момент iнерцiї всього тiла вiдносно деякоiї осi Z дорівнює сумi моментiв iнерції всiх його точок вiдносно цiєї осi:

(2.29)

Ця величина скалярна, одиниця вимiрювання в системi СІ — кг м².

Момент iнерцiї має кожне тiло, незалежно вiд свого руху. Подiбно до того, як тiло має масу незалежно вiд свого стану руху чи спокою, воно має i момент iнерцiї вiдносно будь-якої осi незалежно вiд того, обертається воно навколо цiєї осi чи нi.

Як виходить iз означення (2.29), момент iнерцiї залежить не тiльки вiд маси тiла, але й вiд того, як ця маса розподiлена за об’ємом тiла. Враховуючи, що та переходячи вiд додавання до iнтегрування перепишемо вираз (2.29):

(2.30)

де ρ— густина речовини у вибраному об’ємi dV, r — вiдстань цього об’єму вiд осi, вiдносно якої обчислюється момент iнерцiї. Знаходження цього iнтеграла загалом випадках є досить складним. Задача значно спрощується, якщо розглядати однорiднi тiла правильної форми. Наведемо вирази для моментiв iнерцiї деяких таких тiл:

• момент iнерцiї диска (цилiндра) з радiусом R вiдносно осi симетрiї:

(2.31)

• момент iнерцiї обруча (тонкостiнного порожнього цилiндра) з радiусом R вiдносно осi симетрії:

(2.32)

• момент iнерції суцiльної кулi з радiусом R вiдносно осi, що проходить через центр кулi:

(2.33)

• момент iнерцiї однорiдного стрижня довжиною l вiдносно осi, що проходить через його середину перпендикулярну до l:

(2.34)

• те ж саме вiдносно осi, що проходить через кiнець стрижня:

(2.35)

Як бачимо, момент iнерцiї тiла залежить не тiльки вiд маси, форми i розмiрiв тiла, але й вiд розташування тiла вiдносно осi.

Можна обчислити момент iнерцiї тiла вiдносно будь-якої осi. Для цього зручно використовувати теорему Штейнера: момент iнерцiї тiла І вiдносно довiльноiї осi z’дорiвнює сумi моменту інерції тiла I₀, вiдносно осi, що проходить через його центр мас паралельно данiй осi z’, i добутку маси тiла m на квадрат вiдстанi d мiж осями (рис. 2.6):

(2.36)

2.3.3. Момент iмпульсу

Моментом iмпульсу матерiальної точки вiдносно точки О називається векторний добуток радiус-вектора цiєї точки на її імпульс:

(2.37)

Напрямок вектора визначається за правилом правого гвинта (рис.2.7,а) одиниця вимiрювання в системi СІ - .

Якщо через точку О проходить вiсь z, навколо якої точка обертається, то моментом iмпульсу матерiальної точки вiдносно осi називається проекцiя моменту iмпульсу вiдносно точки О на цю вiсь (рис. 2.7,б):

(2.38)

Розглянемо тепер АТТ, що обертається навколо нерухомої осi z. Як i в попередньому пунктi, представимо його як систему N матерiальних точок масою m_i.Тодi момент iмпульсу АТТ вiдносно точки О, через яку проходить вiсь обертання, дорiвнюватиме геометричнiй сумi моментiв iмпульсiв його точок вiдносно цiєї точки обертання О:

(2.39)

де — радiус-вектор кожної точки тiла вiдносно точки обертання О, — iмпульс кожної точки тiла. Взагалі, коли тiло несиметричне, вектор може не збiгатися з вектором кутової швидкостi (рис. 2.8,а).

М оментом iмпульсу АТТ вiдносно осi обертання Z, що проходить через точку О, називається проекцiя вектора моменту iмпульсу відносно цiєї точки на вiсь (рис. 2.8,б).

Виходячи з виразiв (2.38) та (2.39), можемо записати

(2.40)

Iз мiркувань симетрiї зрозумiло, що для однорiдного тiла, симетричного вiдносно осi обертання, вектор буде спрямований за віссю обертання, i його модуль збiжиться з проекцiєю на цю вiсь: (рис.2.9). Знайдемо модуль L, враховуючи, що а куг мiж векторами , та завжди дорiвнює 90^о.

Оскiльки для обертального руку , то з урахуванням виразiв (2.28) та (2.39) можна записати:

тобто момент iмпульсу АТТ вiдносно осi обертання дорiвнює добутку моменту iнерцiї тiла вiдносно тiєї ж осi на кутову швидкість обертання:

(2.41)

даний вираз не залежить вiд положення на осi обертання точки О, вiдносно якої визначався момент iмпульсу.