- •Миколаїв 2006 р.
- •Кiнематика
- •1.2. Способи описування руху матерiальноiї точки. Основна (пряма) задача кінематик
- •1.3. Кiнематичнi характеристики поступального руху матерiальної точки
- •1.3.1. Перемiщення
- •1.3.2. Швидкість
- •1.3.3. Прискорення
- •1.4. Обернена задача кiнематики
- •1.5. Рух матерiальної точки по колу
- •1.5.1 . Кут повороту
- •1.5.2. Кутова швидкiсть
- •1.5.3. Кутове прискорення
- •1.6. Основи кiнематики руху абсолютно твердого тiла
- •2.1. Динамiчнi характеристики поступального руху
- •2.1.1. Маса
- •2.1.3. Iмпульс
- •Iмпульсом або кiлькiстю руху тiла в класичнiй механiцi називається величина, що дорiвнює добутку маси тiла на його швидкість
- •2.2. Закони Ньютона
- •2.3. Динамiчнi характеристики обертального руху абсолютно твердого тiла (атт)
- •2.3.1. Момент сили
- •2.3.2. Момент iнерції
- •2.3.3. Момент iмпульсу
- •2.4. Основне рiвняння динаміки обертального руху абсолютно твердого тiла
- •2.5. Робота, потужнiсть, коефiцiєнт корисної дії
- •2.5.1. Робота
- •2.5.2. Потужнiсть
- •2.5.3. Коефiцiєнт корисної дії
- •2.6. Енергiя. Механiчна енергiя
- •2.7. Кiнетична енергiя
- •2.8. Потенцiальна енергiї
- •2.9. Неiнерцiальнi системи вiдлiку
- •2.10. Сили iнерцii в системах, що обертаються
- •3. Закони збереження
- •3.1. Закони збереження в механiцi
- •3.2. Закони збереження симетрiї простору I часу
- •3.3. Реактивний рух
- •3.4. Удар
- •4. Елементи спецiальної теорії вiдносностi
- •4.1. Перетворення Галiлея
- •4.2. Постулати спецiальної теорiї вiдносностi
- •4.3. Перетворення Лоренца та їх наслiдки
- •4.4. Поняття про релятивiстську динамiку
- •4.5. Основне рiвняння релятивістської динамiки
- •4.6. Кiнетична енергiя релятивiстської частинки
- •4.7. Взаємозв’язок маси I енергiї
- •5. Тестові запитання для перевірки знань теоретичного матеріалу з дисципліни”Фізика”
2.3.2. Момент iнерції
Уявно розiб’ємо АТТ на малi елементи об’ємом та масою mi якi можна вважати матерiальними точками (тобто представимо АТТ як систему матерiальних точок з масою mi).
Моментом iнерції І матерiальної точки вiдносно деякої осi z, називається добуток маси матерiальної точки mi на квадрат її вiдстанi , вiд цiєї осi (рис.2.5):
(2.28)
Момент iнерцiї всього тiла вiдносно деякоiї осi Z дорівнює сумi моментiв iнерції всiх його точок вiдносно цiєї осi:
(2.29)
Ця величина скалярна, одиниця вимiрювання в системi СІ — кг м2.
Момент iнерцiї має кожне тiло, незалежно вiд свого руху. Подiбно до того, як тiло має масу незалежно вiд свого стану руху чи спокою, воно має i момент iнерцiї вiдносно будь-якої осi незалежно вiд того, обертається воно навколо цiєї осi чи нi.
Як виходить iз означення (2.29), момент iнерцiї залежить не тiльки вiд маси тiла, але й вiд того, як ця маса розподiлена за об’ємом тiла. Враховуючи, що та переходячи вiд додавання до iнтегрування перепишемо вираз (2.29):
(2.30)
де ρ— густина речовини у вибраному об’ємi dV, r — вiдстань цього об’єму вiд осi, вiдносно якої обчислюється момент iнерцiї. Знаходження цього iнтеграла загалом випадках є досить складним. Задача значно спрощується, якщо розглядати однорiднi тiла правильної форми. Наведемо вирази для моментiв iнерцiї деяких таких тiл:
-
момент iнерцiї диска (цилiндра) з радiусом R вiдносно осi симетрiї:
(2.31)
-
момент iнерцiї обруча (тонкостiнного порожнього цилiндра) з радiусом R вiдносно осi симетрії:
(2.32)
-
момент iнерції суцiльної кулi з радiусом R вiдносно осi, що проходить через центр кулi:
(2.33)
-
момент iнерцiї однорiдного стрижня довжиною l вiдносно осi, що проходить через його середину перпендикулярну до l:
(2.34)
-
те ж саме вiдносно осi, що проходить через кiнець стрижня:
(2.35)
Як бачимо, момент iнерцiї тiла залежить не тiльки вiд маси, форми i розмiрiв тiла, але й вiд розташування тiла вiдносно осi.
Можна обчислити момент iнерцiї тiла вiдносно будь-якої осi. Для цього зручно використовувати теорему Штейнера: момент iнерцiї тiла І вiдносно довiльноiї осi z’дорiвнює сумi моменту інерції тiла I0, вiдносно осi, що проходить через його центр мас паралельно данiй осi z’, i добутку маси тiла m на квадрат вiдстанi d мiж осями (рис. 2.6):
(2.36)
2.3.3. Момент iмпульсу
Моментом iмпульсу матерiальної точки вiдносно точки О називається векторний добуток радiус-вектора цiєї точки на її імпульс:
(2.37)
Напрямок вектора визначається за правилом правого гвинта (рис.2.7,а) одиниця вимiрювання в системi СІ - .
Якщо через точку О проходить вiсь z, навколо якої точка обертається, то моментом iмпульсу матерiальної точки вiдносно осi називається проекцiя моменту iмпульсу вiдносно точки О на цю вiсь (рис. 2.7,б):
(2.38)
Розглянемо тепер АТТ, що обертається навколо нерухомої осi z. Як i в попередньому пунктi, представимо його як систему N матерiальних точок масою mi.Тодi момент iмпульсу АТТ вiдносно точки О, через яку проходить вiсь обертання, дорiвнюватиме геометричнiй сумi моментiв iмпульсiв його точок вiдносно цiєї точки обертання О:
(2.39)
де — радiус-вектор кожної точки тiла вiдносно точки обертання О, — iмпульс кожної точки тiла. Взагалі, коли тiло несиметричне, вектор може не збiгатися з вектором кутової швидкостi (рис. 2.8,а).
М оментом iмпульсу АТТ вiдносно осi обертання Z, що проходить через точку О, називається проекцiя вектора моменту iмпульсу відносно цiєї точки на вiсь (рис. 2.8,б).
Виходячи з виразiв (2.38) та (2.39), можемо записати
(2.40)
Iз мiркувань симетрiї зрозумiло, що для однорiдного тiла, симетричного вiдносно осi обертання, вектор буде спрямований за віссю обертання, i його модуль збiжиться з проекцiєю на цю вiсь: (рис.2.9). Знайдемо модуль L, враховуючи, що а куг мiж векторами , та завжди дорiвнює 90о.
Оскiльки для обертального руку , то з урахуванням виразiв (2.28) та (2.39) можна записати:
тобто момент iмпульсу АТТ вiдносно осi обертання дорiвнює добутку моменту iнерцiї тiла вiдносно тiєї ж осi на кутову швидкість обертання:
(2.41)
даний вираз не залежить вiд положення на осi обертання точки О, вiдносно якої визначався момент iмпульсу.