2.3. Динамiчнi характеристики обертального руху абсолютно твердого тiла (атт)

З’ясуємо особливостi обертального руху АТТ з динамiчноiї точки зору, розглядаючи такий дослiд. Вiзьмемо тiло у виглядi хрестовини, яке закрiплене на горизонтальнiй осi i може обертатися навколо неї (так званий маятник Обербека). На хрестовинi симетрично осi обертання можуть закрiплятись однаковi тягарцi масами кожний. На горизонтальнiй осi хрестовини є два шкiви рiзних дiаметрів R₁ і R₂. Намотаємо на шкiв дiаметром R₁ нитку, другий кiнець якої з тягарцем перекинемо через нерухомий блок (Бл.). Пiд дiєю тягарця, тобто сили , хрестовина почне обертатися з кутовим прискоренням (рис. 2.2,а).

Якщо ж нитку намотати на шкiв з дiаметром R₂, що менший за R₁, то кутове прискорення зменшиться ( - ) (рис. 2.2,б). Це означає, що одна й та ж сила, залежно вiд точки прикладання, спричиняє рiзну обертальну дiю. Тому в обертальному русi вводиться поняття моменту сили ().

Продовжимо дослiд. Залишимо нитку на другому шкiвi, але змiнимо розташування тягарцiв на стрижнях хрестовини, закрiпивши їх ближче до центра (рис. 2.2,в). При цьому кутове прискорення обертання хрестовини теж змiниться. Отже, кутове прискорення залежить не тiльки вiд маси, а й вiд розподiлу маси тiла, що обертається. Характеристика, що визначає цю залежнiсть, називається моментом iнерцiї тiла (І).

Т ретьою характеристикою обертального руху АТТ є момент iмпульсу (). Визначимо цi характеристики, розглядаючи обертання АТТ навколо нерухомої точки О та навколо нерухомої осi, що проходить через цю точку обертання.

2.3.1. Момент сили

Моментом сили . або обертальним моментом вiдносно точки обертання О називається векторний добуток радiус-вектора , проведеного з точки О в точку прикладання сили, на цю силу :

(2.20)

Визначення моменту сили дано так, щоб кутове прискорення i кутова швидкiсть, якi виникають внаслiдок дiї моменту сили, збiгалися за напрямком з цим моментом. Тобто вектор спрямований перпендикулярно площинi розташування векторiв i , вiдповiдно до правила правого гвинта (рис.2.3,а).

Модуль моменту сили дорiвнює:

(2.21)

де — кут мiж векторами i , а — перпендикуляр, проведений з точки О на лiнiю дiї сили , який навивається плечем сили. Одиницею вимiрiв моменту сили є ньютон метр (Н м).

Якщо на тiло дiє кiлька сил, можна знайти суму моментiв цих сил відносно точки обертання О. Ця сума називається головним моментом зовнiшнiх сил вiдносно точки обертання О:

(2.22)

Моментом сили вiдносно осi обертання z називають проекцiю вектора вiдносно точки обертання О на цю вiсь за умови, що вiсь проходить через цю точку О (рис. 2.3,б);

(2.23)

Якщо вектор збігається за напрямком з вiссю , то його проекцiя дорiвнює модулю вектора :

(2.24)

Нехай на тiло дiють двi сили, якi рiвнi за модулем, а спрямованi протилежно вздовж паралельних прямих. Такi сили називаються парою сил (рис. 2.4).

Згiдно з виразом (2.20), момент пари сил вiдносно точки О

а його модуль

(2.25)

О скільки то

(2.26)

де l=l₁+l₂ - плече пари, тобто найкоротша вiдстань мiж прямими, вздовж яких дiють сили одержаний вираз не залежить вiд розташування точки О.

Узагалі, щоб тiло, на яке дiють рiзнi зовнiшнi сили, не оберталося, тобто знаходилось в рiвновазi, сумарний момент цих сил має дорiвнювати нулю:

(2.27)