3 Проекции точки

3.1 Проекции точки на две и три плоскости проекций

Положение точки в пространстве определяется проекциями точки на двух и более плоскостях. На рисунке 20 изображена система из двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций – горизонтальной П₁ и вертикальной П₂. Линия пересечения плоскостей П₁ и П₂ называется осью проекций. Она разделяет каждую плоскость на полуплоскости.

Рисунок 20 Рисунок 21

Плоскости образуют четыре угла, их называют квадрантами или четвертями пространства. Каждая четверть имеет свой порядковый номер в соответствии с нумерацией, приведенной на рисунке 20. При переходе от пространственного изображения к чертежу, т.е. при совмещении горизонтальной плоскости с фронтальной, передняя пола плоскости П₁ будет перемещаться на 90 градусов вокруг оси Х вниз, а задняя – вверх.

На рисунке 21 показано построение проекций точки А, расположенной в I четверти. Из точки А проводятся проекционные лучи перпендикулярно плоскостям проекций П₁, П₂. При пересечении проекционного луча с плоскостью П₁ получаем горизонтальную проекцию точки А₁, а с плоскостью П₂- фронтальную проекцию точки А₂. Проекционные лучи АА₁ и АА₂ образуют плоскость перпендикулярную к плоскостям проекций и пересекающуюся с осью Х в точке А_х. Следовательно, проекции некоторой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной той же точке (А_х). Линии А₁А_х, и А₂А_х называются линиями связи.

На рисунке 22 введена третья плоскость - профильная П₃ , перпендикулярная П₁ и П₂. Плоскости проекций, взаимно пересекаясь, делят пространство на восемь частей, называемых октантами.

Рисунок 22 Рисунок 23

Положение точки в пространстве задается тремя координатами X,Y,Z, которые определяют расстояния от точки до плоскостей проекций:

Координата Х – до плоскости П₃; координата Y- до плоскости П₂; координата Z – до плоскости П₁ (рисунок 22). Каждая координата определяется не только величиной, но и направлением относительно начала координат (знаком). Чертеж точки показан на рисунке 23. Из рисунков 22 и 23 видно, что проекции точки А₁ и А₂ располагаются на линии связи перпендикулярной оси Х, а А₂ и А₃ на линии связи параллельной оси X.

Положение проекций точки определяется двумя координатами: горизонтальной проекции точки (А₁) координатами X и Y, фронтальной проекции точки (А₂)- координатами X и Z, профильной проекции точки (А₃) - координатами Y и Z.

4. Прямые линии

4.1 Прямая общего положения

Проекции прямой линии являются прямыми. Чтобы построить проекции прямой, необходимо построить проекции двух ее точек и одноименные проекции этих точек соединить прямыми линиями. Прямая линия в пространстве может располагаться произвольно относительно плоскостей проекций. Такая прямая линия называется прямой общего положения (рисунок 24).

Рисунок 24 Рисунок 25

Прямая общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций. Угол наклона прямой к плоскости проекций измеряется углом между самой прямой и ее проекцией на эту плоскость. Обозначаются углы наклона к плоскостям проекций П₁, П₂, П₃ – соответственно  , , .

Длина отрезка проекции прямой общего положения всегда меньше самой прямой.

Для определения длины отрезка АВ (рисунок 25) через точку А проведен отрезок АС параллельно плоскости П₁, тогда [АС]=[А₁В₁].

[ВС]=[ВВ₁]-[В₁С]=[ВВ₁]-[АА₁]=[В₂В_х]-[АА₁]=[В₂В_х-А₂А_х].

Треугольник АВС - прямоугольный и его гипотенуза АВ является длиной отрезка АВ. Отсюда:

Длина отрезка прямой АВ равна гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого одним катетом является одна из проекций прямой (любая), а другим катетом – алгебраическая разность расстояний от концов другой проекции до разделяющей эти проекции оси.

На эпюре (рисунок 26) изображены проекции прямой АВ общего положения, показано нахождение длины отрезка и углов наклона его к плоскостям проекций П₁ и П₂ – угол  и угол  соответственно. Угол наклона прямой линии к плоскости проекций измеряется углом между самой прямой (натуральной величиной) и ее проекцией на эту плоскость.

Рисунок 26

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций относятся к прямым частного положения.