Кафедра моделирования сложных систем
З а д а н и я
по дисциплине
“Теория вероятностей и математическая статистика”
(пятый семестр)
МОДУЛЬ 1
Сумы – 2008
Задания по дисциплине “Теория вероятностей и математическая статистика” для студентов механико-математического факультета очной формы обучения – Модуль 1.
Составитель – проф. Мазманишвили А.С., профессор кафедры моделирования сложных систем.
Утверждено на заседании кафедры моделирования сложных систем СумГУ (протокол № 8 от 28.05.2008 г.)
ЗАДАНИЕ 1
ЗАДАЧА 1
В урне a белых и b черных шариков. Из урны взяли один шарик и (не глядя на него), отложили в сторону. Этот шарик оказался белым. После этого из урны берут еще один шарик. Найти вероятность того, что этот шарик тоже будет белым.
ЗАДАЧА 2
Имеется 3 урны: в первой a белых шариков и b черных; во второй c белых шариков и d черных; в третьей k белых шариков (черных нет). Выбрана наугад урна и вынут из неё один шарик. Он выявился белым. Найти вероятность того, что этот шарик из первой, второй или третей урны.
Задача 3
Написать закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений "герба" при двух бросаниях монеты.
ЗАДАЧА 4
В
круге
плотность распределения системы (X,Y)
следующая:
;
вне круга
.
Найти: а) постоянную A;
б) вероятность попадания случайной
точки (X,Y) в круг радиусом r
= 1 с центром в начале координат, если
R
= 2.
ЗАДАНИЕ 2
ЗАДАЧА 1
В урне a белых и b черных шариков. Из урны взяли один шарик и (не глядя) отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шарик. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шарик – тоже белый.
ЗАДАЧА 2
Три стрелка независимо выполнили по одному выстрелу. Две пули попали в мишень. Найти вероятность того, что в мишень попал третий стрелок, если вероятности попадания первым, вторым и третьим стрелком соответственно равняются 0,6, 0,5 и 0,4.
ЗАДАЧА 3
Однотипные
детали в зависимости от точности
изготовления различаются по форме как
круглые и овальные, а по весу – как
легкие и тяжелые. Вероятности того, что
взятая наугад деталь окажется круглой
и легкой, овальной и легкой, круглой и
тяжелой, овальной и тяжелой, соответственно
равны
,
,
и
.
Найти математические ожидания и
дисперсии: а) числа круглых деталей X;
б) числа легких деталей Y; в) коэффициент
корреляции
между числом круглых и числом легких
деталей, если
= 0.40;
= 0,05;
= 0,10.
ЗАДАЧА 4
Две точки выбраны наугад на смежных сторонах прямоугольника со сторонами a и b. Найти математическое ожидание расстояния L между этими точками.
ЗАДАНИЕ 3
ЗАДАЧА 1
В урне a белых и b черных шариков. Из урны вынимают один за другим все шарики, кроме одного. Найти вероятность того, что последний шарик, оставшийся в урне, будет белым.
ЗАДАЧА 2
При въезде в квартиру включили в осветительную сеть 2k новых электрических лампочек. Каждая лампочка за год перегорает с вероятностью r. Найти вероятность события: А = {за год не менее половины исходно подключенных лампочек будет необходимо заменить новыми}.
ЗАДАЧА 3
На отрезок длиной L наугад брошены две точки. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния S между ними.