Раздел 7. Уравнение бернулли для потока идеальной жидкости

При решении простейших задач с движением жидкости делается допущение о том, что жидкость идеальная и несжимаемая.

Основными уравнениями, позволяющими решать задачи о движении идеальной несжимаемой жидкости, являются уравнение расхода и уравнение Бернулли.

Уравнение расхода представляет собой условие неразрывности (сплошности) потока несжимаемой жидкости – во всех сечениях одного и то же потока объемный расход остается одинаковым. Например, для сечений 1 и 2 - или , таким образом , где - скорость, - площадь.

Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости представляет закон сохранения удельной энергии (энергии, отнесенной к единице веса).

Для двух сечений одного и того же потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет вид:

, где

- потенциальная удельная энергия положения или высота расположения точки потока над выбранной плоскостью отсчета;

- потенциальная удельная энергия давления или пьезометрическая высота;

- удельная кинетическая энергия или скоростной напор;

- полная удельная энергия жидкости.

В пределах одного сечения сумма потенциальных энергий остается постоянной:

.

При применении уравнения Бернулли для решения задач важно правильно выбрать те два сечения, для которых оно записывается.

Обычно рекомендуется выбирать, во-первых, то сечение, параметры которого необходимо определить, а, во-вторых, те сечения, параметры которых известны по условию задачи, например – свободная поверхность жидкости в резервуаре, выход в атмосферу, сечение, где присоединен пьезометр, манометр или вакуумметр.

Уравнение Бернулли рекомендуется сначала записать в общем виде, а затем переписать с заменой его членов заданными в задаче буквенными обозначениями.

Задача 7.1

О

пределить расход керосина, вытекающего из бака по трубопроводу диаметром , если избыточное давление воздуха в баке ; высота уровня ; высота подъема керосина в пьезометре, открытом в атмосферу, .

Плотность керосина .

Дано:

Решение:

В

ыберем два сечения: - 0-0 – свободная поверхность и 1-1 – сечение, где установлен пьезометр.

Запишем уравнение Бернулли в общем виде:

.

Пусть плоскость x-x, от которой отсчитывается координата , проходит через ось трубы.

Для сечения 0-0 .

Для сечения 1-1 .

Уравнение Бернулли для данных задачи имеет вид:

, откуда

.

Расход .

Ответ: .

З

адача 7.2

Определить расход жидкости, протекающий по трубопроводу диаметром , если разница показаний пьезометра, установленных в трубе и мерной диафрагме с диаметром .

Решение:

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений, в которые установлены пьезометры

;

т.к. , уравнение Бернулли приобретает вид:

; откуда .

Из условия задачи:

.

Из уравнения расхода ;

выразим скорости ;

Тогда: ;

Откуда .

З

адача 7.3

Для измерения скорости течения воды в трубе диаметром применен насадок Пито-Прандтля (), имеющий щелевое отверстие для воспринятия статического давления.

Так как размеры насадка соизмеримы с диаметром трубы, то при измерении скорости необходимо учесть поправку на влияние насадка, которое выражается в уменьшении давления в плоскости щелевого отверстия.

Д

ать рабочую формулу для определения скорости движения воды в трубе через показание пьезометров с учетом поправки.

Дано:

;

Найти: .

Решение:

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений:

Пусть сечение 1-1 проходит через носовую часть насадка, а 2-2 через сечение со щелевыми отверстиями, а плоскость отсчета проходит по оси трубы:

.

В сечении 1-1 поток полностью заторможен - .

Тогда уравнение Бернулли для заданных условий примет вид:

; по условию ,

откуда .

Но скорость движения воды в трубе меньше скорости .

Из уравнения расхода имеем ,

или ,

подставляя найденное значение , находим :

.

Задача 7.4

При закрытом положении крана манометр показывал 2,8 ат, после открытия – 0,6 ат.

Определить расход воды, если диаметр трубы .

Решение:

Запишем уравнение Бернулли для двух моментов времени.

При закрытом положении крана жидкость обладала только потенциальной энергией давления.

При открытии крана – часть потенциальной энергии преобразовалась в кинетическую энергию движения.

;

Расход жидкости ;

.

Задача 7.5

Вода перетекает из верхнего резервуара в нижний по расширяющейся трубе, имеющей плавно закругленный вход. Пренебрегая потерями напора на входе в трубу, определить, при каком уровне воды , в верхнем резервуаре абсолютное давление в узком сечении станет равным нулю.

Р

азмеры: . Атмосферное давление составляет 750 мм.рт.ст.

Решение.

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений

.

Пусть сечение 1-1 проходит через самое узкое сечение, а 2-2 на срезе трубы, где давление равно атмосферному.

Плоскость отсчета x-x проходит по сечению 2-2.

Для сечения 1-1

(в шкале абсолютных давлений).

Для сечения 2-2

давление - атмосферное.

Для задачи уравнение Бернулли имеет вид:

.

Из уравнения расхода находим :

;

после подстановки в уравнение Бернулли получаем:

;

.

Запишем уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 1-1.

Плоскость сравнения проходит через сечение 1-1.

.

Подставляя найденное ранее выражение для , имеем:

.

По условию задачи атмосферное давление задано в мм рт. ст.

,

следовательно

;

.

Ответ: .

Задача 7.6

Определить весовой расход воздуха по трубе с плавно закругленным входом и цилиндрической частью диаметром , если показания вакуумметра в виде вертикальной стеклянной трубки, опущенной в сосуд с водой, .

Плотность воздуха .

Д

ано:

Решение:

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений:

С

ечение 1-1 выбираем в невозмущенном потоке воздуха, плоскость отсчета по оси трубы.

Сечение 2-2 – в месте установки пьезометра–вакуумметра.

Для сечения 1-1

(в шкале избыточных давлений);

.

Для сечения 2-2

.

Для условий задачи уравнение Бернулли имеет вид:

.

Объемный расход .

- весовой расход определяется из выражения:

.

Ответ: .

З

адача 7.7

Из напорного бака вода течет по трубе диаметром и затем вытекает в атмосферу через насадок диаметром .

Избыточное давление воздуха в баке , высота .

Определить скорость течения воды в трубе и на выходе насадка .

Ответ: .

Задача 7.8

К расходомеру Вентури присоединены два пьезометра и дифференциальный ртутный манометр. Выразить расход воды через размеры расходомера и , разность показаний пьезометров , а также через показания дифференциального манометра .

Задача 7.9

В

ода вытекает из открытого резервуара в атмосферу через трубу, имеющую плавное сужение до диаметра , а затем постепенное расширение до .

Истечение происходит под действием напора . Пренебрегая потерями энергии, определить абсолютное давление в узком сечении трубы (I - I), если соотношение диаметров , а атмосферное давление составляет 750 мм.рт.ст.

Найти тот напор , при котором абсолютное давление в сечении I-I сделается равным нулю.

Ответ: .

З

адача 7.10

Вода перетекает из левого резервуара в правый по короткому трубопроводу, имеющему сужение.

Определить скорость и абсолютное давление в узком сечении трубопровода, если .

Построить пьезометрическую линию.

Ответ: .