Раздел 6. Относительное равновесие жидкости во вращающихся сосудах Равномерное вращение цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси.

В

состоянии покоя жидкость заполняла сосуд до высоты , и свободная поверхность была горизонтальной плоскостью.

При вращении сосуда вокруг вертикальной оси с угловой скоростью на каждую частицу жидкости, кроме единичной силы тяжести , действует единичная инерционная сила (центробежная) .

Результирующая единичная сила:

.

Под действием центробежной силы свободная поверхность искривляется – в центре жидкость опускается, у стенок поднимается.

Свободная поверхность принимает форму параболоида вращения, описываемую уравнением:

.

Остальные поверхности уровня представляют такие же параболоиды, но с вершинами, смещенными по оси вращения и описываемые уравнением:

, где .

Высота параболоида не зависит от плотности жидкости.

Закон распределения давления в жидкости выражается уравнением:

.

Для оси вращения () закон распределения давления такой же, как и в неподвижном сосуде:

; .

Эпюры распределения давления на дно и стенки сосуда приведены на рисунке.

К

оордината - вершины параболоида свободной поверхности при заданной угловой скорости определяется объемом заключенной в сосуде жидкости.

При решении задач могут встретиться случаи, когда свободная поверхность не пересекает дно сосуда (a) или пересекает его (b).

При этом используются следующие соотношения для определения - объема жидкости.

В

состоянии покоя .

При вращении в случае а) ,

где - объем параболоида вращения, равный

.

В случае b) .

Осевая сила давления жидкости на стенку , где - объем тела давления, заключенный между стенкой, свободной поверхностью с и вертикальными образующими.

Когда свободная поверхность жидкости отсутствует, положение поверхности уровня определяется из условия, что она проходит через точку жидкости, давление в которой равно атмосферному.

Равномерное вращение цилиндрического сосуда вокруг оси, не совпадающей с вертикалью.

При вращении сосуда вокруг наклонной или горизонтальной оси поле массовых сил неоднородно и несимметрично относительно оси вращения.

При больших угловых скоростях сила тяжести пренебрежимо мала по сравнению с центробежной силой, и в расчетах ею можно пренебречь. В условиях невесомости единственной силой при вращении сосуда будет также центробежная сила.

В

этих случаях поверхности уровня представляют собой концентрические цилиндры с осями вращения, совпадающими с осью вращения сосуда (рис…), и закон распределения давления имеет вид:

Задача 6.1

Ц

илиндрический сосуд высотой и диаметром , заполненный жидкостью до половины, начинает вращаться.

1. Определить максимальную угловую скорость, при которой жидкость не будет выливаться из сосуда.

2. Найти силу, действующую на дно сосуда.

Дано:

; .

Решение:

1. Определим положение вершины параболоида вращения из условия равенства объемов жидкости в покое и при вращении:

, откуда .

Объем параболоида вращения , таким образом получаем - параболоид вершиной коснулся дна, откуда

.

Н

а дно сосуда действует сила, направленная вертикально вниз и равная весу тела давления

.

Задача 6.2

Ц

илиндрический сосуд высотой и радиусом , имеющий отверстие в крышке радиусом , заполненный до высоты жидкостью с плотностью , вращается вокруг вертикальной оси.

1. Определить угловую скорость сосуда, при которой жидкость начнет выливаться из него.

2. Найти силу давления на верхнюю закраину при этой угловой скорости.

Решение.

Ж

идкость начнет выливаться, когда ее свободная поверхность по мере увеличения угловой скорости достигнет точки . В зависимости от объема жидкости вершина параболоида свободной поверхности может занять одно из трех положений (рис.).

В случае 3, когда параболоид касается дна, объем жидкости в сосуде определяется как разность между объемом цилиндра и параболоида вращения:

.

Первоначально жидкость заполняла сосуд до высоты , и ее объем составлял:

, тогда

.

При имеем случай 1, при - случай 2.

Для случая 1

Из условия неизменности объема жидкости в сосуде получаем:

;

Объемы: в покое тело I тело II

Откуда:

.

Для случая 2

, учитывая, что , получим:

.

При выражения для угловой скорости во всех трех случаях совпадают:

.

Сила давления на закраину равна весу тела давления, заключенного между стенкой, вертикальными образующими и свободной поверхностью (тело III)

учитывая, что

,

.

З

адача 6.3

Цилиндрический сосуд радиусом , наполненный жидкостью с плотностью до уровня а в открытой трубке, установленной на расстоянии от центра, вращается относительно вертикальной оси.

1. Определить наибольшую угловую скорость сосуда, до которой сохранится относительное равновесие жидкости.

2. Определить силу давления на крышку сосуда при этой угловой скорости.

Решение.

З

акон распределения избыточного давления в жидкости:

.

Начало координат примем в центре крышки.

Учитывая, что поверхность с проходит через точку с координатами

и ,

найдем место расположения вершины параболоида, образующего поверхность с атмосферным давлением.

, откуда

;

и закон распределения давления примет вид:

.

При возрастании давление в центре понижается, но возрастает по мере увеличения радиуса, при этом в точке давление остается равным атмосферному.

Если давление в центре крышки упадет до давления насыщенных паров , произойдет разрыв сплошности жидкости, и равновесие нарушается. Этому условию соответствуют значения:

.

Подставив это значение в уравнение распределения давления по крышке, найдем искомую угловую скорость :

.

Сила давления на крышку равна весу тела давления:

Задача 6.4

Ц

илиндрический сосуд, заполненный водой, приведен во вращение с постоянной угловой скоростью .

1. Найти наименьшее давление в воде, заполняющей сосуд, по показанию ртутного манометра, вращающегося вместе с сосудом, если .

2. При какой угловой скорости равновесие жидкости в сосуде нарушается, если разрыв жидкости происходит при вакууме .

О

твет: Вакуум .

Задача 6.5

Цилиндрический сосуд, закрытый полусферической крышкой радиусом , вращается с угловой скоростью .

В открытой трубке малого диаметра вода поднялась на высоту над центром крышки.

Определить силу, действующую на крышку.

Ответ: .

Задача 6.6

Цилиндрический сосуд, закрытый крышкой, частично заполненный водой, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью. Пространство над свободной поверхностью сообщается с атмосферой. Как изменится сила, действующая на крышку, если в сосуд поместить ртуть?

Задача 6.7 Цилиндрический сосуд.

Ц

илиндрический сосуд высотой и радиусом , имеющий в крышке отверстие радиусом вращается вокруг вертикальной оси.

1. До какой высоты можно заполнить сосуд, чтобы ни при какой угловой скорости жидкость из него не вытекала.

2. Какая часть объема сосуда может быть заполнена, чтобы дно сосуда не оголялось, и жидкость не вытекала.

3. При каком числе n оборотов/мин это возможно?

Ответ: .

З

адача 6.8

При отливке цилиндрической полой заготовки во вращающейся относительно вертикальной оси форме из-за действия сил тяжести нижний внутренний радиус отливки будет меньше внутреннего радиуса .

Определить их разность, если высота отливки , угловая скорость вращения .

Диаметр формы , и она в начальный момент заполнена на 30% своего объема.

Ответ: .