4.3. Исследование временных характеристик динамических звеньев

Для математического описания работы систем автоматического регулирования (САР) их разбивают на динамические звенья. Динамическим звеном называется часть системы, описываемая дифференциальным уравнением определенного типа. В соответствии с этим определением все звенья вне зависимости от принципа их организации делятся на три типа: статические, интегрирующие и дифференцирующие звенья. В каждой из этих групп выделяют типовые динамические звенья, т.е. те, которые описываются дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Для описания работы звеньев используются кроме дифференциальных уравнений передаточные функции W(s), временные и частотные характеристики.

Временной характеристикой звена называется закон изменения выходной величины x₂(t) от времени при изменении внешнего воздействия x₁(t) по определенному закону и при условии, что до приложения внешнего воздействия звено находилось в покое. В случае, если это воздействие является единичной ступенчатой функцией x₁(t) = 1(t), которая при моделировании задается блоком Step, то такая характеристика называется переходной функцией звена x₂(t) = h(t).

Функцией веса (импульсной функцией) звена x₂(t) = w(t) называется его реакция на единичную импульсную функцию (дельта-функцию) x₁(t) = (t), которая представляет собой производную от единичной ступенчатой функции.

Замечание: При моделировании функция веса может быть найдена путем подачи на вход звена единичной ступенчатой функцией (блок Step) и установки на его выходе дифференциатора (блок Derivative категория Continous).

Временными характеристиками удобно пользоваться при определении характера переходного процесса в САР. Временные характеристики основных динамических звеньев приведены в Приложении 2.

5. Построение частотных характеристик

5.1. Частотные характеристики линейных звеньев

В реальных системах очень часто входной сигнал изменяется по гармоническому закону заданной амплитуды и частоты. При этом возникает необходимость нахождения параметров колебаний на выходе системы при известных на входе. Решение этой задачи с помощью временных характеристик представляет определенные трудности. Частотный метод позволяет получить реакцию звена или системы на любой периодический сигнал.

Пусть на вход звена с передаточной функцией W(s) поступает сигнал, изменяющийся по гармоническому закону , где A₁ - амплитуда,  - круговая частота. На выходе линейного звена после окончания переходного процесса будет также гармонический сигнал той же частоты, но с другой амплитудой и начальной фазой ,

где

A₂ = A₁W(j), (1.1)

 = arg W(j), (1.2)

. (1.3)

Функция (1.3) может быть представлена в нескольких видах. Так, например,

где

В другом виде

,

где

Функция A() называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), функция () - фазовой частотной характеристикой (ФЧХ), функции U() и V() - вещественной и мнимой частотными характеристиками звена.

В координатах (U, jV) строится амплитудно-фазовая характеристика звена (АФХ). Для каждой фиксированной частоты =_i от 0 до  на оси абсцисс откладывается вещественная часть U(), по оси ординат - мнимая часть V(). Полученные точки затем соединяются плавной линией. Такая кривая называется годограф.

Для вычисления значений A(), (), V() и U() представим (1.3) в виде

(1.4)

где U_ч и U_з - действительные части числителя и знаменателя;

V_ч и V_з - мнимые части числителя и знаменателя.

Тогда

.

При практических расчетах предпочтительно пользоваться выражениями для A() и (), т.к. они проще и могут быть получены экспериментально. Модуль определяется как а аргумент () - как разность фаз между выходным и входным сигналами.