13. Дифференциальное уравнение нестационарного переноса.

Необходимо подчеркнуть, что все выведенные уравнения пере­носа являются строгими только для стационарного режима. При нестационарном процессе, когда интенсиалы претерпевают изменения, внутри системы наряду с переносом происходит также накопление или убыль вещества. В этих условиях важную роль приобретают емкости, причем для определения свойств системы требуется вывести особые уравнения нестационарного переноса.

В общем случае система располагает n степенями свободы, а интенсиалы изменяются вдоль всех трех координат х , у и z одновременно; такое поле интенсиалов именуется трехмерным. Для вывода простейших уравнений нестационарного переноса используются второе и третье начала ОТ, а также третье частное уравнение пятого начала. В системе мысленно вы­деляется элементарный объем dV . Количество данного веще­ства, вошедшего в этот объем за время dt , сопоставляется с количеством вещества, вышедшего из этого объема за то же время. Разница между этими количествами идет на изменение интенсиалов рассматриваемого объема. В результате полу­чается дифференциальное уравнение нестационарного переноса вещества [12, с.303; 14, с.348; 16, с.41; 17, с.104; 18, с.414; 21, с.195]. Здесь для простоты мы ограничимся случаем, когда система располагает всего двумя степенями свободы (n = 2), а ее интенсиалы изменяются только вдоль одной координаты х (одномерное поле интенсиалов). В этих условиях дифферен­циальное уравнение нестационарного переноса приобретает вид

U₁ = L₁₁Z₁ + L₁₂Z₂ (157)

U₂ = L₂₁Z₁ + L₂₂Z₂

где

U₁ = _P11(P₁/t) ; U₂ = _P22(P₂/t) ;

Z₁ = ²P₁/x² ; Z₂ = ²P₂/x² ;

_P11 = K_P11/m ; _P22 = K_P22/m ;

 - плотность вещества системы, кг/м³;  - удельная массо­вая емкость системы по отношению к данному веществу; m - масса системы, кг.

Для гипотетического частного случая, когда n = 1 и поле интенсиала одномерное, находим

U = LZ

или

P/t = D(²P/x²) (158)

где D - диффузивность:

D = L/() (159)

Из выражения (158) в частном случае получаются извест­ные дифференциальные уравнения теплопроводности Фурье, второго закона Фика и т.д. Методы решения дифференци­альных уравнений типа (157) разрабатывались Н.А. Буткевичюсом [6] [ТРП, стр.160-161].

14. Особенности применения нестационарного уравнения.

По поводу дифференциального уравнения нестационарного переноса типа (157) требуется сделать несколько замечаний. Прежде всего надо сказать, что границы применимости этого уравнения неодинаковы для различных форм явлений. Эти границы определяются конкретной спецификой явлений и степенью отклонения системы от состояния равновесия.

Если система находится вблизи состояния равновесия, когда перенос осуществляется под действием малых разностей интенсиалов, то уравнение (157) справедливо для любых явле­ний. С увеличением степени неравновесности результаты рас­смотрения отдельных явлений с помощью уравнения (157) заметно искажаются, так как возникают дополнительные сте­пени свободы, начинает заметно сказываться неучтенная специфика распространения и взаимодействия соответствую­щих веществ и т.д. Например, вблизи равновесия механическая степень свободы, определяемая равенством (43), ничем не осложняется. С увеличением разности давлений появляется скорость перемещения объектов, заметно отличающаяся от нуля, а с нею и новая кинетическая (метрическая) степень свободы. Неучет этой новой степени может привести к сущест­венным ошибкам. Другой пример: при малой скорости жидкость движется ламинарно, при большой движение становится турбулентным, вихревым, то есть появляется дополнительная вращательная степень свободы. Третий пример: распростра­нение электрического заряда вблизи состояния равновесия не влечет за собой никаких неприятностей. С возрастанием разности электрических потенциалов движение заряда сопро­вождается возникновением кинетической степени свободы и магнитного поля, которыми уже невозможно пренебречь.

В противоположность этому для некоторых других явлений уравнение (157) оказывается справедливым при очень больших отклонениях системы от состояния равновесия. К числу таких явлений относятся вермические (термические), диффузионные и некоторые другие.

Очевидно, что с целью избежания ошибок надо заранее учесть в уравнениях необходимые специфику и дополнитель­ные степени свободы, то есть должны быть заранее выведены более общие и полные уравнения. Тогда при любом отклоне­нии системы от состояния равновесия будут получены правиль­ные результаты. Вблизи состояния равновесия эти общие уравнения должны приводить к более простым частным урав­нениям типа (157). Все эти вопросы подробнее затрагиваются при выводе уравнений Максвелла [21] [ТРП, стр.162].

Глава ХII. Шестое начало ОТ.