2. Критическая длинна волны в волноводах

Рассмотрим коэфицент распространения в задачах о волноводах.

Нетрудно видеть, что этот коэфицент может принимать различные значения (быть мнимым) в зависимости от параметров среды, заполняющей трубу, и типа распространения волны, и размеров волновода.

Если , то все составляющие будут помножаться на

Если , то все составляющие будут пропорциональны

(поле колеблется в поперечном сечении волновода, не распространяясь)

Между этими случаями есть граница:

Очевидно, . Раз существует , то - критическая длина волны

Таким образом, - такая длина волны, длиннее которой электромагнитная энергия не может распространяться по волноводу.

Например:

Прямоугольный волновод: Круглый волновод:

для Н-волн

для Е-волн

Нетрудно видеть из выражений для , что, чем выше (индексы и ) при заданных размерах волновода, тем меньше ,следовательно, нам будет труднее выполнить неравенство (условие распространения).Его можно выполнить при больших и только увеличивая размеры волновода, а это не выгодно на практике. Поэтому на практике стараются работать с наинисшими типами волн (на меньших и ), чтобы обеспечить минимальные размеры волновода. Для прямоугольного волновода таким наинисшим типом волн (основным) является волна (для этой волны получаются и наименьшие потери) Для круглого волновода основным типом волн является для волн типа Н волна , для волн типа Е волна

Билет 5

1. Общие свойства поверхностных волн е и н типа

Пусть вдоль замедляющей структуры распространяется эл\м поверхностная волна Е- или Н- типа.

Пусть в направлении оси Х она бесконечно протяженная.

Любая составляющая поля:

Рассмотрим уравнения электродинамики:

(1) (2)

, , , , ,, (3)

Из (1),(2) с учетом (3) получим:

(2а)

(1б)

(1в)

, подставим в (2а)

Раз есть продольная составляющая вектора поля,

то есть и продольная составляющая вектора Умова-Пойтинга.

Примем за положительное направление составляющей вектора Пойтинга направление из первой среды во вторую, тогда для сопротивления поверхности можно написать:

Импеданс: , волновое число:

Любая составляющая поля:

Рассмотрим уравнения электродинамики:

(1) (2)

, , , , ,, (3)

Из (1),(2) с учетом (3) получим:

(1а)

(2б)

(2в)

, подставим в (1а)

Импеданс: , волновое число:

Из рассмотрения Е- и Н- волн, сделаем выводы:

Таким образом, из полученных выражений следует, что импеданс направления оси Y не зависит от координаты y (одинаков по всей оси Y). Это значит, что импеданс поверхностной волны мы можем считать импедансом поверхностной структуры при у=0.

Тогда из полученных выражений следует, что при (условие экспоненциального спадания поля по оси Y) импеданс для Е-волн должен носить индуктивный характер, а для Н-волн – емкостной характер.

2.Решение волнового уравнения для поля магнитных волн в круговом волноводе

Для нахождения поля необходимо решать уравнение электродинамики. Запишем их в цилиндрической системе координат:

Будем искать поле внутри трубы в виде волн, бегущих вдоль оси z. Если труба бесконечно длинная, то отражение происходит в сторону положительного направления оси z, то все множители будут пропорциональны . Зависимость от z нам известна, можем взять производные.

(1) (4)

(2) (5)

(3) (6)

Из уравнений (1)(2)(4)(5) можно выразить все Из (3) и (6) получим выражения для

поперечные составляющие через продольные: продольных составляющих волн:

(7) (11)

(8) (12)

(9)

(10)

Система уравнений (7)-(12) показывает, как и в прямоугольном волноводе, принципиальную возможность распространения вдоль круглого волновода одновременно Е- и Н- волн.Система (7)-(12) линейна. Как и ранее, она может быть представлена в виде двух линейных систем, каждая из которых получается из (7)-(12) путем поочередной подстановки сначала , а затем .

: Н-волны : Е-волны

(13) (14)

Найдем решение для магнитных волн (системы (13)).

Искомое решение находится по методу разделения переменных:

Слева функции только переменной R, справа функция только переменной Ф, равенство может выполняться только тогда, когда каждая из частей постоянна.()

1 4

2

3 5 Уравнение Бесселя

Это уравнение не решается с помощью обыкновенных тригонометрических функций. Решения записываются с помощью специальных цилиндрических функций.

, где - цилиндрические функции, которые табулированы.

- цилиндрическая функция первого рода (функция Бесселя)

- цилиндрическая функция второго рода (функция Неймана)

Построим графики этих функций:

Общее решение для

Решение должно подчиняться граничным условиям:

Выберем начало координат: пусть при

Очевидно, при , поле должно быть однородным.

При конечно, но функция при бесконечна, следовательно, .

Получили:

Наше решение должно подчиняться граничным условиям:

Это уравнение имеет бесчисленное множество корней.

-порядок функции, -номер корня

Мы получили

По системе (13) вычислим поперечные составляющие:

Коэфицент распространения: ,