8.4. Временные и спектральные методы исследования линейных стационарных цифровых фильтров.

П одобно тому, как отклик аналоговой линейной стационарной системы y(t) на произвольное внешнее воздействие x(t) можно найти временным методом через импульсную характеристику системы g(t)

или спектральным методом через комплексный коэффициент

передачи цепи, так и отклик линейного стационарного цифрового фильтра y(n) на произвольное внешнее воздействие x(n) можно найти через импульсную характеристику ЦФ g(n) или спектральным методом.

В ыполнив в (19) дискретизацию по переменным и t, положив =k, t=m, получаем цифровой аналог свертки (19):

где g(), =0,1,2,…,L – отсчеты импульсной характеристики ЦФ, т.е. отклика на единичный импульс (1,0,0,0,0,0,…), поступающий на вход фильтра в момент времени t=0. Из условий реализуемости ЦФ надо принять

g(-)=0, =1,2… (21)

Если входные отсчеты x(k) начинают поступать в момент t=0, то можно написать

И з условия реализуемости ЦФ (21) следует, что суммирование в (22) фактически выполняется только при km:

Если число входных отсчетов x(0), x(1),…,x(N-1) равно N, а число отсчетов импульсной характеристики ЦФ (g(0), g(1),…,x(L)) равно (L+1), то в (23) m принимает значения 0,1,2,…,N_-1 (N_=N+L). Для нахождения одного значения y(m) в соответствии с (23) надо выполнить не более чем (L+1) операций умножения. Для нахождения всех значений y(m) надо выполнить примерно операций умножения.

Ч исло операций можно существенно сократить, если использовать спектральный метод расчета ЦФ и методы БПФ. Чтобы это показать, напишем сначала дискретную свертку (23) в нормированном виде:

Д ополнив последовательность из N входных отсчетов x(k) L нулями, представим x(k) через ОДПФ:

Д ополнив последовательность из (Q+1) отсчетов импульсной характеристикой ЦФ (N+1) нулями, определим ОДПФ:

где - коэффициенты ДПФ для импульсной характеристики ЦФ.

П одставляя (25) и (26) в (24), получаем:

С праведливо условие

Равенство суммы N при n= очевидно. Равенство же суммы нулю при n объясняется тем, что в этом случае имеем сумму единичных векторов, образующих в совокупности правильный N-угольник. Сумма эта, естественно, равна нулю.

С учетом (28) формула (27) принимает вид

Уравнение (29) определяет ОДПФ выходных отсчетов ЦФ, если ДПФ над этими отсчетами определяется произведением ДПФ входных отсчетов и отсчетов импульсной характеристики фильтра:

Если методами БПФ найти спектральные компоненты

а затем и ОДПФ от их произведения , то можно при больших N существенно экономить в вычислительных операциях по сравнению с непосредственными вычислениями y(m) по формуле дискретной свертки.

8.5. Использование z-преобразования в теории стационарных линейных цифровых фильтров.

Это преобразование можно получить из преобразования Лапласа или Фурье для дискретного сигнала x_g(t)

О пределим одностороннее преобразование Лапласа (для сигналов, определенных при t0 для дискретного сигнала вида (1)):

При p=j из (31) следует преобразование Фурье для дискретного сигнала.

Е сли обозначить:

т о преобразование Лапласа (31) переходит в Z- преобразование дискретного сигнала X_g(t):

О чевидно, что из преобразования Фурье дискретного сигнала X_g(t) при

следует также Z-преобразование X(z).

Справедливо и обратное утверждение: из Z-преобразования X(z) дискретного сигнала (33) при следует его преобразование Лапласа. (Или из X(z) при следует преобразование Фурье сигнала).

Е сли дискретный сигнал X_g(t) определен и при t<0, то вместо (33) можно ввести более общее преобразование для такого сигнала:

Следует оговорить сходимость X(z) при неограниченном числе слагаемых в (33) или (35). Отсчеты x(k) всегда удовлетворяют условию |x(k)|<CR^k, k>0, C>0 и R>0 постоянные вещественные числа. Тогда (33) сходится при всех Z , для которых │z│>R (т.е. в кольцевой области с радиусом сходимости R). В области сходимости X(z) представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую в этой области ни полюсов, ни существенно особых точек.

Д ля нахождения x(k) по X(z) (т.е. обратного Z-преобразования) умножим левую и правую части (33) на Z^n-1

В озьмем от левой и правой частей (36) интеграл по z по замкнутому контуру в области аналитичности, охватывающей все полюсы функции X(z)z^n-1. Получим следующий результат:

Этот результат следует из теоремы Коши при интегрировании функции комплексного переменного z:

Н аиболее важное свойство Z-преобразования связано со сдвигом сигнала во времени:

Таким образом, Z-преобразование дискретного сигнала y(t), у которого все отсчеты смещены на один такт (в сторону запаздывания) относительно дискретного сигнала X_g(t), равно произведению z^-1 на X(z). Можно сказать, что z^-1 является оператором сдвига на один такт в сторону запаздывания. Для доказательства (39) запишем Z-преобразование последовательности{y(k)=x(k-1)}:

В водя переменную k-1=n, из (40) получим (39). Очевидно, если

y(k)=x(k-n), то Y(z)=z^-1X(z).

Рассмотрим дискретную свертку конечной протяженности :

Н айдем Z-преобразование этой свертки:

Таким образом, свертка двух дискретных сигналов соответствует произведению их Z-преобразований.

Покажем, что импульсная характеристика ЦФ {g(0), g(1)…g()} является его откликом на единичный импульс (1,0,0,0,0,…). Действительно, при воздействии единичного импульса формула (41) принимает вид:

y()=g(),=0,1,2… (43)

Если импульсная характеристика ЦФ финитна, то

y()=0 при =Q+1, (44)

где (L+1)- число тактовых отрезков на интервале финитности.

Рассмотрим прохождение через линейный ЦФ гармонической последовательности вида x(t)=ej^{(t+)} или в дискретном виде:

x(k)=e^{j (k+)} (45)

Согласно формуле свертки (41) с учетом (45) находим выходной сигнал:

В ведем над знаком суммы новый индекс суммирования q-k=n и учтем, что из соображений реализуемости g(n)=0 при n<0. Тогда:

г де

- комплексная передаточная характеристика ЦФ. Импульсная характеристика ЦФ в реальном масштабе времени будет иметь вид:

причем Ќцф(f) является преобразованием Фурье от дискретного сигнала вида (48).

Как следует из (47), Ќцф(f) является периодической функцией частоты дискретизации F_g=1/Δ (как и спектр дискретного сигнала).

Если в (47) ввести переменную z=e^j, то получим Z-преобразование импульсной характеристики ЦФ:

H (z) называют системной функцией стационарного линейного ЦФ.

И з (42) при замене G(z) на H(z) видно, что системная функция ЦФ определяется как отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра к Z-преобразованию входного сигнала:

Е сли в системной функции ЦФ положить , получим частотную характеристику ЦФ

Таким образом, применение Z-преобразований позволяет проводить анализ цифровых фильтров теми же методами, что и анализ аналоговых линейных цепей.