7.2. Согласованная фильтрация заданного сигнала

7.2.1. Методика анализа.

Для задачи обнаружения сигнала в шумах наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал-шум (помеха) на выходе фильтра. Фильтры, отвечающие этому критерию, называются согласованными.

Требования к фильтру, максимизирующему отношение сигнал-помеха, можно сформулировать следующим образом. Пусть на вход фильтра подается аддитивная смесь сигнала. S(t) и шума Сигнал полностью известен. Это означает, что заданы его форма и положение на оси времени. Шум представляет собой вероятностный процесс с заданными статистическими характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на выходе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, т.к. для обнаружения его в шумах форма значения не имеет.

Для уяснения сути согласованной фильтрации сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда на входе фильтра с равномерной АЧХ имеется лишь один полезный сигнал S(t) с известным спектром . Требуется найти ФЧХ фильтра, при которой обеспечивается максимализация типа сигнала на выходе фильтра. Такая постановка задачи равносильна задаче максимизации пика сигнала при заданной энергии входного сигнала, поскольку спектральная плотность S() полностью определяет его энергию и не меняется фильтром, а любое изменение фазовых соотношений в спектре тем более не меняет энергии сигнала. Равенство S_вх(ω)= S_вых(ω) означает, что , т.е. ≠ К(ω).

Представим выходной сигнал в виде:

(4)

где - передаточная функция (5) четырехполюсника с искомой ФЧХ и равномерной АЧХ К₀=соnst.

Таким образом

(6)

Основываясь на очевидном неравенстве

(7)

и учитывая, что , можно составить следующее неравенство:

(8)

Это неравенство определяет верхний предел мгновенного значения колебания S_ВЫХ(t) при заданном спектре входного сигнала. Максимизация пика выходного колебания получается при обращении неравенства (8) в равенство, а для этого необходимо, как это следует из сопоставления выражения (6) и (8), обеспечить определенное соотношение между фазовой характеристикой фильтра _к() и фазовой характеристикой спектра _s() входного сигнала.

Допустим, что выходной сигнал достигает максимума в момент t₀ (пока еще неопределенный). Тогда выражение (6) дает

(9)

а условие обращения неравенства (8) в равенство сводится к следующему:

(10)

Это соотношение называют условием компенсации начальных фаз в спектре сигнала, поскольку первое слагаемое в правой части (10) компенсирует фазовую характеристику _s() входного спектра S(j). В результате прохождения сигнала через фильтр с фазовой характеристикой _к() сложение всех компонентов спектра, скорреëированных по фазе, образует пик выходного сигнала в момент t=t₀.

(11)

Соотношение (11) показывает, что только при линейной фазовой характеристике S_вых имеет пик, т.к. cosnw₁(t-t₀)=1 при t=0

Связь между фазовой характеристикой _s(), компенсирующей ее характеристикой [-_s()] и полной фазовой характеристикой фильтра _к()=-[_s()+wt₀] видна из следующего рисунка. После прохождения через фильтр спектр выходного сигнала будет иметь фазовую характеристику.

Нелинейность фазовой характеристики φ_s означает, что гармоники задерживаются по-разному и следовательно не могут образовать max в момент t₀. При линейной фазовой характеристике в момент t₀ все гармоники имеют одинаковую фазу, поскольку гармоническая функция Cosnw₁(t-t₀), при t=t₀, всегда обращается в единицу.

Поскольку для образования пика требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала, задержка t₀ не может быть меньше, чем полная длительность сигнала.

Введем теперь помеху на входе фильтра. При равномерном энергетическом спектре помехи (белый шум) W()=W₀=const - фильтр с равномерной АЧХ неприменим, т.к. мощность помехи на выходе достигает очень большой величины.

Для отыскания оптимальной передаточной функции, максимизирующей отношение сигнал-помеха на выходе фильтра, составим выражение для сигнала и шума сначала отдельно, а затем в виде их отношения.

Типовое значение сигнала определим выражением

(12)

Среднеквадратическое значение помехи на выходе фильтра

где, W - спектр энергии шума.

Следовательно, отношение пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению помехи на выходе фильтра будет равно:

(13)

Воспользуемся известным неравенством Шварца

(14)

Это неравенство обращается в равенство только при выполнении условия

(15)

где А - произвольная константа.

Приравнивая , а , выражение (14) принимает вид

(16)

Следовательно, определяемое выражением (13) величина отвечает условию

(17)

Учитывая, что выражение в квадратных скобках есть полная энергия входного сигнала, запишем последнее (17) в форме

(18)

Из (15) следует, что это неравенство обращается в равенство при выполнении условия , поэтому

(19)

Полученное выражение полностью определяет периодическую функцию, максимизированную отношение сигнал-помеха на выходе фильтра.

Учитывая, что , а комплексно-сопоряженная функция , (19) примет вид:

(20)

Из этого отношения вытекают два условия для фазовой и амплитудной характеристик согласованного фильтра:

(21)

и

(22)

В тех случаях, когда под комплексной передаточной функцией подразумевается безразмерная величина (например, отношение комплексных амплитуд выходного и входного напряжения), коэффициент А должен иметь размерность, обратную спектральной плотности сигнала.

Физический смысл условий (21), (22) следующий.

Первое из них, совпадающее с (10) и определяющее компенсацию начальных фаз в спектре сигнала, было истолковано выше. Соотношение (22), устанавливающее, что модуль передаточной функции К(j) должен по своей форме совпадать с модулем спектральной плотности сигнала S(), также легко поддается физическому истолкованию. При АЧХ К(), отвечающей условию (22), фильтр пропускает спектральные составляющие шума неравномерно: ослабление шума тем больше, чем меньше модуль S().

Ослабление сигнала из-за неравномерности К() выражено в меньшей степени, чем ослабление шума, поскольку уменьшение К() имеет место для спектральных составляющих, вклад которых в величину типа сигнала сравнительно мал. В результате получается ослабление шума относительно сигнала. В сочетании с фазовой компенсацией спектра сигнала (на дисперсию выходного шума эта компенсация не оказывает влияния), это и приводит к максимизации отношения сигнал/помеха на выходе фильтра.