5. Анализ автоколебаний методом уравнений состояния

Уравнение (4), получение для автоколебательной цепи, эквивалентно системе уравнений первого порядка:

(9)

Такое представление уравнений цепи соответствует уравнениям состояния.

В силу нелинейного характера функции I(U) найти решение (9) аналитически нельзя. Для анализа процессов применяют численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений - численное моделирование.

Простейший подход состоит в приближенной замене производной от функции f(t):

Обозначим получим

(10)

Предположим, что известна начальная флуктуация i_L(0)=i₀; V(0)=0. Поскольку функция I(U) может быть вычислена для любых значений аргумента, подставляя в (10), получаем:

Теперь, подставив полученные значения снова в (10), найдем i_L2, V₂ и т.д. Этот метод приближенного решения носит название метода Эйлера.

Решение системы уравнений вида (10) может быть представлено графически на плоскости состояния (см. рис.).

Рассмотрение процессов в автоколебательных цепях на плоскости состояния часто оказывается более наглядным, чем в другой форме.

Рассмотрим примеры, показывающие взаимосвязь характеристики и линии ОС с траекторией на плоскости состояния и осциллограммы процессов, полученных численным решением уравнений состояния.

1. Автоколебательная цепь в мягком режиме самовозбуждения с монотонным установлением амплитуды.

2. Мягкий режим самовозбуждения с немонотонным установлением амплитуды

3. Жесткий режим с монотонным установлением колебаний

4.6. RC - автогенераторы гармонических колебаний

Гармонические колебания можно получить в системах, не содержащих колебательного контура. Выделение колебания нужной частоты здесь основано на том, что условия самовозбуждения (2) и (3) в ряде случаев могут выполнять только на одной частоте.

Рассмотрим вариант такой системы (см. рис.) состоящий из усилителя с коэффициентом передачи и цепи обратной связи с коэффициентом передачи . Чтобы воспользоваться формами (2) и (3) примем, что и определим . Для этого воспользуемся методом контурных токов, в соответствии с которым составим систему уравнений, связывающих

решая эту систему относительно , находим

Так как то

(11)

Так как фазовый сдвиг, вносимый усилителем, составляет p рад, то условие самовозбуждения (3) будет выполнено, если j_OC(w)=arctg(Im/Re)=.

Как следует из (11) последнее выполняется при условии

Откуда для частоты генерации находим:

(12)

Подставляя (12) в (11) находим значения модуля передаточной функции:

(13)

Используя (13) в (2) находим коэффициент усиления усилителя, при котором возможна генерация:

Аналогичным образом анализируется и другие схемы RC - автогенераторов.

Л. 22-24

5. Анализ нелинейных цепей

5.1. Общие понятия об элементах нелинейных цепей

Цепи, которые изучались ранее, относятся к классу линейных цепей. Параметры элементов этих цепей. Параметры элементов этих цепей - сопротивлений, индуктивностей, емкостей - не зависит от значений приложенных к ним напряжений или протекающих через них токов.

В действительности любой реальный элемент таким постоянством не обладает и линейная теория оказывается справедливой только в определенных пределах значений напряжений и токов. Существует также обширный класс исключительно важных элементов и устройств, параметры, которых существенно зависят от токов или напряжений. Такие элементы называются нелинейными. Им нельзя приписать какой-то постоянный параметр даже при изменении переменных в ограниченном диапазоне. Для количественного описания свойств нелинейных элементов необходимо задавать зависимости, называемые характеристиками. Рассмотрим в общем виде характеристики основных нелинейных идеализированных элементов.