2. Частотный критерий устойчивости ( критерий Найквиста).

Алгебраический критерий устойчивости работы усилителя равносилен требованию, что модуль петлевого коэффициента усиления не должен обращаться в единицу в правой полуплоскости плоскости p. В этом случае в правой полуплоскости нет и полюсов функции K(p).

Для дальнейшего анализа учета ФЧХ петли ОС необходимо установить взаимно-однозначное соответствие плоскости комплексного переменного p+j и плоскости Правая полуплоскость плоскости p ограничена мнимой осью (j) и полуокружностью радиуса R [|R|= ].

При движении вдоль мнимой оси от j до -j функция плоскости Н отображается кривой, вид которой определяется функциональной зависимостью . Следовательно мнимая ось плоскости p отображается на плоскости Н в кривую, заданную уравнением или

где _k(), _OC() - фазочастотные характеристики усилителя и цепи ОС.

На контуре бесконечно большого радиуса функции стремится к нулю. Действительно, R означает p, а в этом случае в числителе и знаменателе формулы (52) имеет смысл сохранять только члены высшего порядка (так как pⁿ>>p^n-1>>... ; p^m>>p^m-1>>... ). Поэтому на окружности R функция примет вид . При n>m функция , а следовательно и стремятся к нулю при R. Таким образом, полуокружность бесконечно большого радиуса на плоскости p отображается в точку начала координат на плоскости Н. Следовательно, поведение однозначно определяется замкнутой кривой на плоскости Н. В соответствии с правилом обхода контуров движение вдоль мнимой оси (сверху вниз) соответствует обходу замкнутой кривой при изменении частоты от  до . При этом вся правая полуплоскость плоскости p отображается во внутреннюю область замкнутой кривой .

Отсюда следует, что активная цепь устойчива, если ее петлевой коэффициент усиления не охватывает точку (1+j0). В противном случае цепь неустойчива.

Это условие называют критерием устойчивости Найквиста, а кривую называют диаграммой Найквиста (см. рис.).

Исходя из критерия Найквиста, обычно используют сравнительно простой способ определения частотной области устойчивости работы усилителя. Для устойчивости работы усилителя необходимо, чтобы в полосе рабочих частот выполнялось условие K()K_OC()<1 при _k()_OC()=2.

На рисунке приведены АЧХ и ФЧХ устойчивой и неустойчивой цепей

Л. 19-21

1. Генерирование колебаний в электрических цепях

1. Автоколебательная система - устройство с ос.

В цепях, содержащих обратные связи, могут возникнуть изменяющиеся во времени электрические токи без воздействия на эти цепи внешних управляющих сигналов. Такие цепи называют автоколебательными системами, а колебания - автоколебаниями.

Типичная структура автоколебательной системы - это структура с обратной связью, в которой часть выходного сигнала возвращается на вход через цепь обратной связи (см. рис.).

В наиболее общем случае колебательная система включает источник питания, энергия которого, в конечном случае, и преобразуется в энергию колебаний, цепь управления этим преобразованием, избирательную цепь, служащую для отфильтровывания нужных колебаний, и цепь обратной связи. При анализе таких систем, как правило, источник питания рассматривают как составную часть управляющей цепи (активный управляющий элемент, например, усилитель), а избирательную цепь как составную часть либо активного элемента (колебательный контур в составе резонансного усилителя), либо цепи обратной связи (RC - автогенератором гармонических колебаний, мультивибратора и т.д.). Таким образом анализ колебательной системы сводится к анализу активной цепи с обратной связью (см. рис.).

С электротехнической точки зрения активный элемент колебательной системы является нелинейным четырехполюсником, коэффициент передачи которого зависит от действующих в его цепях токов и напряжений, а цепь обратной связи - линейным четырехполюсником. Эти свойства элементов системы определяют ее принцип действия.

Действительно, при соответствующем выборе параметров система с обратной связью становится неустойчивой. При этом малые амплитуды любых колебаний, существующих в системе, например, тепловых или коммутационных колебаний, начинают возрастать. С ростом амплитуды коэффициент передачи активного элемента, как правило, уменьшается, и при некотором его значении нарастание амплитуды колебаний прекращается. Установившиеся значение называется стационарным.

При анализе и расчете автоколебательных систем - автогенераторов решают две основные задачи:

1. определение условий при которых, устройство с обратной связью становится неустойчивым, т.е. самовозбуждаются;

2. определение амплитуды и частоты автоколебаний в стационарном режиме.

Наиболее сложной является вторая задача, в которой исследуется нелинейная система с обратной связью в режиме больших амплитуд, когда нелинейностью пренебречь нельзя. Первую же задачу решить относительно несложно, поскольку при малых амплитудах автоколебания на начальном этапе процесса нелинейный активный элемент может быть эквивалентно заменен линейной схемой замещения, такой как, например, у обычного линейного усилителя с ОС. Некоторые сведения об условиях самовозбуждения можно получить даже в общем случае, не рассматривая конкретной схемы автогенератора.

Действительно, коэффициент передачи по напряжению линейного четырехполюсника, охваченного обратной связью, определяется формулой:

где - коэффициент передачи активного элемента автогенератора, а - коэффициент передачи по цепи обратной связи.

В соответствии с алгебраическим критерием устойчивости система становится неустойчивой когда петлевой коэффициент передачи:

(1)

В силу комплексности величины, входящих в (1), это соотношение разлагается на два условия:

- условие баланса амплитуд

(2)

- и условие баланса фаз

(3).

Первое из них свидетельствует о том, что автоколебания в системе возможны, если активный элемент компенсирует все потери энергии в системе, включая нагрузку; второе условие требует, чтобы при этом колебания на входе и выходе петли обратной связи были синфазными.

В общем случае параметры зависят от частоты. Поэтому условия (2) и (3) обычно выполняются ил только для одной частоты или в достаточно узком диапазоне частот. Чтобы ответить на вопрос “на какой частоте возможны колебания?”, необходимо анализировать конкретную схему.