9.Первообразная функции и неопределенный интеграл. Интегрирование.

Cуществует действие, обратное дифференцированию, интегрирование  нахождение функции F(x) по известной ее производной f(x) = F(x) или дифференциалу f(x)dx.

Функцию F(x) называют первообразной функции f(x), если для всех х из области определения функции F(x) = f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Например, функция F(x) = x⁵ является первообразной функции f(x) = 5x⁴ для х   , так как при любом х (х⁵) = 5х⁴ и dx⁵=5x⁴dx.

Для функции f(x) = 5x⁴ первообразной будет любая функция Ф(х) = х⁵ + С, где С – произвольное постоянное число, так как производная постоянной равна нулю.

В общем случае, если f(x) имеет первообразную функцию F(x), совокупность F(x) + C также будет первообразной для f(x): (F(x) + C) = F(x) = f(x).

Cовокупность первообразных F(x) + С для данной функции f(x) или данного дифференциала f(x)dx называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают f(x)dx.

По определению, f(x)dx = F(x) + C (читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).

Выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением, функцию f(x) – подынтегральной функцией, а С – постоянной интегрирования.

Вычисление интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.Пример. Найти неопределенный интеграл от функции f(x) = cos x, если при х = 0 F(0) = 0.Решение. Функция cos x есть производная от функции sin x, поэтому  cos xdx = sin x + C. Обозначим искомую первообразную F(x) = sin x + C. Подставив в последнее выражение начальные данные x = 0 и F(0) = 0, получим 0 = sin 0 + C, откуда C = 0. Искомая первообразная F(x) = sin x.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла.1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:( f(x)dx)_x = f(x).

По определению,  f(x)dx = F(x) + C. Взяв производную от обеих частей, получим

( f(x)dx)_x = (F(x) + C)_x = F(x) = f(x).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:d f(x)dx = f(x)dx. Взяв дифференциал от обеих частей, получим

d f(x)dx = d(F(x) + C) = dF(x) = F(x)dx = f(x)dx.

3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С: dF(x) = F(x) + C.

Действительно, dF(x) =  F(x)dx =  f(x)dx = F(x) + C.

4. Постоянный множитель r можно вносить за знак неопределенного интеграла:

 rf(x)dx =r f(x)dx.

5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых: (f₁(x) + f₂(x) – f₃(x))dx =  f₁(x)dx +  f₂(x)dx -  f₃(x)dx.Последние 2 св-ва доказываются с помощью дифференцирования.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. формулы, которые можно проверить дифференцированием.1  dx = x + C.2.3.4. a^xdx = a^x/ln a + C.5.  e^xdx = e^x + C.6.  cosxdx = sin x + C.7.  sin xdx =  cos x + C.8. 9. 10.

10.Методы нахождения неопределенных интегралов: Приведение к табличному виду и метод замены переменной (интегрирование по частям).

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла.1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:( f(x)dx)_x = f(x).

По определению,  f(x)dx = F(x) + C. Взяв производную от обеих частей, получим

( f(x)dx)_x = (F(x) + C)_x = F(x) = f(x).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:d f(x)dx = f(x)dx. Взяв дифференциал от обеих частей, получим

d f(x)dx = d(F(x) + C) = dF(x) = F(x)dx = f(x)dx.

3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С: dF(x) = F(x) + C.Действительно, dF(x) =  F(x)dx =  f(x)dx = F(x) + C. 4. Постоянный множитель r можно вносить за знак неопределенного интеграла: rf(x)dx =r f(x)dx.5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых: (f₁(x) + f₂(x) – f₃(x))dx =  f₁(x)dx +  f₂(x)dx -  f₃(x)dx.Последние 2 св-ва доказываются с помощью дифференцирования.

ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ1.. Непосредственное интегрирование. Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличной форме. Пример. Вычислить (2х³ – 3x² + 2х –7)dx.Решение. В данном примере под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма функций. Согласно свойству 5 неопределенного интеграла.(2х³ – 3х² +2х –7)dx = 2x³dx - 3x²dx + 2xdx - 7dx.

Последовательно применяя свойство 4 интегралов и формулы 1 и 2, получаем

(2х³ – 3х² + 2х – 7)dx = 2x³dx -3x²dx + 2xdx - 7dx=

=

2.Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из табличных.В интеграле  f(x)dx сделаем подстановку x = (t), где (t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда: f(x) = f((t)); dx = (t)dt;  f(x)dx =  f((t))(t)dt.Пример. Вычислить  sin⁷x cos xdx.Решение. метод подстановк

3.Интегрирование по частям. Если и = и(х) и -дифференцируемые функции, то откудаИнтегрируя последнее выражение, получаем

(1)

Это и есть формула интегрирования по частям.Способ интегрирования по частям применяется в том случае, когда интеграл в правой части формулы (1) более прост для вычисления, чем исходный.

Пример. Вычислить  x ln xdx.Решение. Обозначим ln x через и тогда xdx = d. Находим:

du = d(ln x) =  d =  xdx;