3.Производные высших порядков. Частные производные.

Производные второго и высших порядков. Производную f(x) функции у = f(x) будем называть производной первого порядка или просто первой производной этой функции. Производная функции f(x) является функцией от х, её можно дифференцировать .

Производная от производной называется производной второго порядка или просто второй производной.

Вторая производная обозначается символами: икс»), («эф два штриха от икс»), d²y/dx² («дэ два игрек по дэ икс дважды), d²f/dx² («дэ два эф по дэ икс дважды»).

Исходя из определения второй производной, можно записать:

Вторая производная в свою очередь есть функция от х, и её можно дифференцировать.

Производная второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается

Производная (n – 1)-й производной (n – натуральное число) называется производной n-го порядка или n-й производной и обозначается

Например, для функции f(x) = x⁵ можно найти и так далее.

Частной производной первого порядка функции z = f(x,y) по аргументу х в рассматриваемой точке (х; у) называется предел

если он существует.

Частная производная функции z = f(x, y) по аргументу х обозначается одним из следующих символов:

Аналогично частная производная по у обозначается и определяется формулой:

Так как частная производная – это обычная производная функции одного аргумента, то ее нетрудно вычислить. Для этого нужно пользоваться всеми рассмотренными до сих пор правилами дифференцирования, учитывая в каждом случае, какой из аргументов принимается за «постоянное число», а какой служит «переменной дифференцирования».

Замечание. Для нахождения частной производной, например по аргументу х – df/dx, достаточно найти обыкновенную производную функции f(x,y), считая последнюю функцией одного аргумента х, а у – постоянной; для нахождения df/dy – наоборот.

Пример. Найти значения частных производных от функции f(x,y) = 2x²+ y² в точке Р(1;2).Решение. Считая f(x,y) функцией одного аргумента х и пользуясь правилами дифференцирования, находим В точкеР(1;2) значение производной Считаяf(x;y) функцией одного аргумента у, находим В точкеР(1;2) значение производной

4.Применение производных для исследования функций на экстремум.

Условие возрастания функции y = f(x) на отрезке [а, b]

f'(x)>0

Условие убывания функции y=f(x) на отрезке [а, b]

f'(x)<0

Условие максимума функции y=f(x) при x= а

f'(a)=0 и f'' (a)<0

Если при х=а производные f'(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходи­мо исследовать f'(x) в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х) при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x) меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» Если f'(x) не меняет знака при переходе через точку х = а, то в этой точке у функ­ции экстремума нет

Точками экстремумов функции называют точки, в которых функция принимает минимальные или максимальные значения.

Теорема. Производная дифференцируемой функции в точке экстремума равна нулю. Эту теорему называют теоремой о необходимом условии существования экстремума дифференцируемой фунуции в точке.Из теоремы следует, что дифференцируемая функция может иметь экстремумы лишь в тех точках, где ее производная равна 0.

Теорема достаточных условиях существования экстремума дифференцируемой функции в точке:

Если производная функции у=f(х) в некоторой точке х0 обращается в нуль и при переходе через эту точку изменяет свой знак на противоложной, то данная точка является точкой экстремума функции, причем:

1. этот экстремум является максимумом, если при переходе через точку х0 слева направо знак производной изменяется с + на-

2. этот экстремум является минимумом, если при переходе через точку х0 слева направо знак производной изменяется с – на +.