Добавил:
ilirea@mail.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Fizika-1.doc
Скачиваний:
367
Добавлен:
22.08.2018
Размер:
3.55 Mб
Скачать

1.Производная функции. Ее физический и геометрический смысл.

у=С:

ý= 0;

y=x

ý=1

у = хμ:

ý=μxμ-1

у = аx:

у = ех то

ý=axlna;

ý= еx;

y=logax

у = lпх

ý=( logae)/x=1/(x lna)

ý=1/x

y=sinx

y=cos x

y = tgx.

y = ctgx.

y'=cosx;

ý = — sin x;

ý =1/cos2x

ý =-1/sin2x

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctgx

y=arcctgx

ý =1/(1-x2)1/2

ý =-1/(1-x2)1/2

ý =1/(1+x2)

ý =-1/(1+x2)

y = v±u:

y' = u'±v'

y=uv

y' = u'v + v'u.

y=u/v:

y' =( u'v- v'u)/ v2

y = f1(u), если u = f2(x),

у'x = у'uu'x

Производной функции f(x) называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке х при стремлении Δх к нулю: ý=lim (Δy /Δx) Δx →0

Производные некоторых функций :

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

По уравнению непрерывной линии у = f(x) найдем угловой коэффициент касательной к ней в данной точке М(х; f(x)), предполагая, что касательная существует.

Функция y = f(x) в прямоугольной системе координат изображается кривой (рис). Возьмем на кривой точку М(х; f(x)) и дадим аргументу х приращение х. По значению аргумента х+х получаем новое значение функции f(x + x), соответствующее точке М(х +х; f(х + х)) на кривой. Проведем секущую ММ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через . Из рисунка следует, что f/x=tg. При х 0 точка М перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке М. Секущая ММ поворачивается вокруг точки М, и величина угла изменяется. При приближении секущей ММ к касательной МТ угол приближается к углу и Угловой коэффициент касательной Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Физический смысл производной:

Пусть дана функция f(x), определенная на некотором интервале ]a, b[ и непрерывная на нем. Дадим аргументу приращение х, тогда функция получит приращение f: Отношение

является функцией от х и выражает среднюю скорость изменения функции f(x) относительно аргумента х на интервале х, х+х.

Предел отношения f/x приращения функции f к приращению аргумента х, когда х стремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называется производной функции f(x) в точке .

Таким образом, производная функции y = f(x):

2.Описание скорости протекания биологических процессов с помощью производной. Градиенты.

Задача нахождения скорости процессов привела к введению в математику понятия производной функции.

Пусть дана функция f(x), определенная на некотором интервале ]a, b[ и непрерывная на нем. Дадим аргументу приращение х, тогда функция получит приращение f:

Отношение

является функцией от х и выражает среднюю скорость изменения функции f(x) относительно аргумента х на интервале х, х+х.

Предел отношения f/x приращения функции f к приращению аргумента х, когда х стремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называется производной функции f(x) в точке .

Таким образом, можно сделать следующий вывод: производная функции y = f(x):

Соседние файлы в предмете Биофизика