Добавил:

prorok030490 chertegik.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

.pdf

Скачиваний:

318

Добавлен:

07.11.2017

Размер:

15.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Максимальные нормальные напряжения от ударного действия падающего груза Q равны

s d = kds st =137,44 × 0,807 = 110,88 МПа.

vst bvsp

0,50l

				Для ответа на второй вопрос
B			задачи		рассмотрим	деформиро-
		z	ванное состояние балки при заме-
	v	z	ванное состояние балки при заме-
	v		не ее	правой опоры пружиной, c
	sp
			заданной		податливостью a (рис.
B1			заданной		податливостью a (рис.
			11.6). При такой замене прогиб
VB			балки	от	статического	действия
			груза массой Q равен:

Рисунок 11.6	¢	= vst + bvsp ,
	vst

где vsp - осадка пружины от действия опорной реакции VB .

Как следует из чертежа (рис. 11.6), треугольник АВВ1 подобен треугольнику АСС1. Исходя из этого подобия, имеем

vsp = bvsp , тогда b = 0,50 . l 0,50l

Осадка пружины возникает от действия опорной реакцииVB при статическом приложении к балке груза массой Q и равна

vsp = aVB = 24 ×10-6 × 0,50 ×1000 = 1198,8 ×10-5 м.

Прогиб балки в точке С при статическом действии силы Q

v¢st =1,074 ×10-5 + 0,5 ×1198,8 ×10-5 = 600,747 ×10-5 м.

Вычисляем величину динамического коэффициента при подпружиненной правой опоре

kd¢ =1 +	2h			2 ×10 ×10-2
kd¢ =1 +	1 + v¢st	=1 +	1 +	600,747 ×10-5 = 6,86 .

Максимальные нормальные напряжения от ударного действия падающего груза Q при замене правой опоры на пружину равны

s d¢ = kd¢s st = 6,86 × 0,807 = 5,53 МПа.

Для ответа на третий вопрос задачи находим вес балки, используя данные сортамента:

G = 48,6 × 2,4 ×9,81 =1144,24 Н.

Заменяем распределенную массу балки сосредоточенной, используя известное значения коэффициента приведения масс (рис. 11.3)

290

			G = kG =		17	×1144,24 = 555,77 Н.
			G = kG =			×1144,24 = 555,77 Н.
			0	35
				35
Тогда значение динамического коэффициента при учете массы
ударяемого тела будет равно ( Dst = vst )
kd¢¢ =1 + 1 + v			2h			2 ×10 ×10-2
kd¢¢ =1 + 1 + v	st	(1	+ G Q)	=1 +		1 + 1,074 ×10-5 (1 + 555,77 1000) = 110,41.
	st		0

Максимальные динамические напряжения в случае изгибного удара при учете собственной массы балки равны

s d¢¢ = kd¢¢s st =110,41× 0,807 = 89,10 МПа.

Таким образом, при учете собственной массы балки величина динамических уменьшается на

sd -s d¢¢ ×100% = 110,88 - 89,10 ×100% = 19,67% .
sd	110,88

Замена жесткой опоры в точке В пружиной заданной податливости позволяет уменьшить максимальные динамические напряжения в

sd = 110,88 = 20,05 раз.

sd¢ 5,53

§11.4 КОЛЕБАНИЕ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Рассмотрим колебания системы с одной степенью свободы в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m (рис. 11.7). Предположим, что масса балки мала по сравнению с массойm и ею можно пренебречь. В этом случае ось изогнутой балки определяется только одним параметром у (отклонением массы m от равновесного состояния). Такую балку

A		т	B		принято называть системой с	од-
A		т	B	z	ной степенью свободы. Если массу
			(t)	z	ной степенью свободы. Если массу
		a	у		m отклонить от положения равно-
					m отклонить от положения равно-
					весия и отпустить, то балка вместе
		i			весия и отпустить, то балка вместе
		l			с массой начнет колебаться. Такие
		l			колебания называют собственными
	y	Рисунок 11.7			колебания называют собственными
	y				или свободными. Так как на систе-
					или свободными. Так как на систе-
му действуют силы сопротивления, то колебания будут постепенно за-
тухать и через некоторое время балка вернется в состояние равновесия.
		Рассмотрим движение массы в произвольный момент времениt.
На массу действует сила инерции, которая, как известно из курса «Тео-
ретическая механика», равна

291

i = -m d 2 y . dt 2

Прогиб балки от действия этой силы в точке закрепления массыm можно определить следующим образом

y(t )= d11i ,

где d11 - прогиб от силы, равной единице, приложенной в точке закрепления массы m.

Величину этого прогиба можно легко определить с помощью методов, рассмотренных в главе 8. После подстановки получаем

		y(t )= -d11m				d 2 y(t )		.
		y(t )= -d11m						.
							dt 2
Отсюда получаем		дифференциальное уравнение									свободных или
собственных колебаний системы
	d 2 y(t )		+ w2		у(t )= 0 ,						(11.15)
			+ w2		у(t )= 0 ,						(11.15)
где		dt 2
где					1
		w2 =			1		.				(11.16)
		w2 =					.				(11.16)
				d11m
Как известно из курса математического анализа, решение одно-
родного дифференциального уравнения имеет вид
y(t)= C1 coswt + C2 sin wt ,
где C1 и C2 постоянные интегрирования.
C1 = A ×sin l и					C2		= A ×cos l .
Тогда для перемещений получаем следующее уравнение
		y(t)= A ×sin(wt + l).									(11.17)
Скорость движущейся массы равна
V =		dy(t )	= Aw cos(wt + l).								(11.18)
V =			= Aw cos(wt + l).								(11.18)
		dt
Постоянные A и l , входящие в уравнения (11.17) и (11.18), опре-
деляем их начальных условий.
Пусть при t = 0 имеем y(t )= y0 и dy dt = V0 . Тогда из уравнений
(11.17) и (11.18) получаем
y0 = A ×sin l и V0							= Aw cos l .
Решая эти уравнения, находим									y0
A = у 2	+ (V w)2				и		l = arctgw ×		y0	.
A = у 2	+ (V w)2				и		l = arctgw ×			.
0	0								V0
									V0

292

	Рассмотрим график изменения перемещений				массы от		времени
(рис. 11.8). Максимальное отклонение массы от равновесного состояния
возникает тогда, когда sin(wt + l)=1. Как следует из уравнения (11.17)
эта величина равна постоянной А . Таким образом,				А представляет со-
бой амплитуду колебаний. Время Т, за которое масса совершает один
полный цикл колебаний называется периодом колебаний. Как следует из
рис. 11.8, каждые Т секунд отклонение y(t )			получает одинаковые значе-
ния. Тогда из уравнения (11.17) получаем
	у(t )= A × sin(wt + l)= A ×sin[(w(t + Т )+ l)].
Отсюда следует, что wT = 2p или w = 2p T .
	Используя выражение (11.16), получаем
	w =	1
	w =	d11m .				(11.19)
	Величина w называется круговой частотой собственных колеба-
ний и равна числу колебаний массы за 2p секунд.
	Рассмотренное решение является приближенным, так как в нем не
учитывались силы внутреннего неупругого сопротивления, которые за-
y(t)	T		висят от материала балки и
y(t)	T		ряда других факторов. Од-
	T		ряда других факторов. Од-
			ной из наиболее распро-
sinl			страненных			гипотез	учета
sinl	A		затухания		колебаний		явля-
=A			затухания		колебаний		явля-
=A			ется гипотеза			Фойгта,	в со-
0			ется гипотеза			Фойгта,	в со-
y		t	ответствие		с	которой внут-
0	A	t	ответствие		с	которой внут-
0	A		ренние силы трения при ко-
			ренние силы трения при ко-
	Рисунок 11.8		лебаниях		системы		заменя-
	Рисунок 11.8		ются	действием			диссипа-
тивной внешней силы R , приложенной в точке закрепления массы. Эта
сила принимается пропорциональной скорости движения колеблющей-
ся массы
	R = -c × dy(t ),
где c - постоянный для данного		dt
где c - постоянный для данного		материала коэффициент пропорцио-
	нальности между силой и скоростью.
	Использование гипотезы Фойгта удобно с точки зрения математи-
ческого решения задачи, но она плохо согласуется с экспериментальны-
ми данными. Однако для систем с одной степенью свободы гипотеза
Фойгта может достаточно успешно применяться при правильном выборе
соответствующих параметров диссипации.

293

Диссипативная сила совпадает с направлением силы инерции системы (направлена в сторону противоположную скорости), тогда суммарный прогиб системы в точке закрепления массы т будет равен

		æ	2				ö
y(t )= -d			d y(t )			dy(t)
		çm ×			+ c ×		÷.
	11
		ç	dt	2		dt	÷
		è					ø

В результате получаем следующее дифференциальное уравнение


	d 2 y(t )	+ 2b		dy(t )	+ w2 у(t )= 0 ,	(11.20)
				dt
	dt 2
где обозначено 2b = с т и w2			=1 (d11m).
Уравнение (11.20) называется уравнением затухающих колебаний
механической системы. Для			случая,		когда w > b , решение	уравнения
(11.20) имеет вид
	y(t)= Ai e-bt sin(				w2 - b 2 + l),	(11.21)

где Ai e-bt - амплитуда колебаний.

Из формулы (11.21) следует, что колебания системы происходят с уменьшающейся амплитудой и частотой

w1 = w2 - b 2 .

y(t)

y(t)	t+T)
	y(

T T

Рисунок 11.9

bT = ln

График затухающих колебаний, приведенный на рис. 11.9, показывает, что собственные колебания быстро затухают. Для оценки скорости затухания найдем отношение двух отклонений массы, изме-

tренных через один период колебаний Т :

	y (t )	=	e - bt	= e	b T	,
	y (t + T )	=	e - b (t + T )	= e		,
	y (t + T )		e - b (t + T )
откуда получаем
y(t )	= g .			(11.22)
y(t + T )	= g .			(11.22)

Величину g называют логарифмическим декрементом затухания,

который характеризует скорость затухания собственных колебаний системы с одной степенью свободы.

294

§11.5 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Если на систему действует внешняя силаF (t ), изменяющаяся во времени по некоторому закону, то система будет совершать вынужденные колебания. При совместном действии силы инерции i и возмущающей силы F (t ) балку в отклоненном состоянии(рис. 11.10) можно рассматривать как находящуюся в состоянии равновесия. Тогда перемещение массы можно записать следующим образом

y(t)= d11[i + F (t )].

После подстановки получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы

F(t)

Рисунок 11.10

d 2 y(t)		+ w2 у(t )=	1	F (t ).	(11.23)
dt 2
			т
			Полное решение		неоднород-
	B	ного дифференциального уравнения
	(t)	z (11.23) состоит из частного решения


	у	(11.17) и частного решения, завися-

		щего от вида правой части. Рас-
		смотрим случай, когда			возмущаю-
		щая сила изменяется по гармониче-
		скому закону с частотой q ,

F (t )= F ×sinqt .

Тогда частное решение уравнения (11.23) будем искать в виде y(t)= C ×sinqt .

Подставляя это решение в уравнение (11.23) имеем

C =	F	=			F					.
C =	m(w2 -q 2 )	=	mw	2	æ		q	2 ö		.
					ç1	-			÷
					ç1	-			÷
					ç		w	2 ÷
					è		w	ø

Учитывая равенство (11.16), окончательно получаем

C =		Fd11			=		yst		.	(11.24)

	1 -			q 2		1 -		q 2
			w2					w2

где yst = Fd11 - статический прогиб балки от действия силы F . Таким образом, полное решение уравнения (11.23) имеет вид

y(t )= A ×sin(wt + l)+	yst	sin qt .	(11.25)
	1 -q 2 w2

295

Первое слагаемое этого выражения представляет собой собственные колебания системы, а второе - вынужденные колебания. Величины А и l определяют из начальных условий.

Максимальное отклонение стержня от своего первоначального положения (амплитуда вынужденных колебаний) может быть найдено, если принять sinqt = 1. Тогда получаем

max

yst

= k

(11.26)

1 -

q 2

где

kd =1 (1 -q 2 w2 ) - динамический коэффициент при

вынужденных

колебаниях системы.

Построим график изменения дина-

мического коэффициента (по абсолют-

5,0

ной величине) в зависимости отношения

4,0

q w

(w -

частота собственных колеба-

ний,

а q - частота вынужденных колеба-

3,0

Область

ний

системы). Из рисунка 11.11 видно,

резонанса

что если частота вынуждающей силы

2,0

приближается к частоте свободных коле-

баний, то наступает явление резонанса.

1,0

При

резонансе колебания

неограниченно

возрастают, что на практике приводит к

0,5 1,0 1,5 2,0 q w

разрушению

сооружения.

Резонансной

Рисунок 11.11

считается область 0,7 £ q w £ 1,3 .

Учитывая сказанное, в динамических расчетах всегда необходимо определять частоту свободных колебаний w и сравнивать ее с частотой вынуждающей силы. Необходимо чтобы частота вынужденных колебаний q была меньше частоты свободных колебанийw, в противном случае возможно появление резонанса. На практике требуется, чтобы q £ 0,7w . Для соблюдения этого условия обычно изменяют частоту сво-

бодных колебаний w = g yst т. к. частоту вынужденных колебаний q в большинстве случаев изменить нельзя. Частота собственных колебаний w увеличивается при увеличении жесткости сооружения, уменьшении длин пролетов и т.д.

§ 11.6 УСТАЛОСТНАЯ ПРОЧНОСТЬ

Многие конструкции строительных сооружений, а также различные детали машин и механизмов, подвергаются в процессе эксплуатации воздействие нагрузок, циклически изменяющимся во времени. Если уровень напряжений, вызванный этими воздействиями, превышает опреде-

296

ленный предел, то в материале возникает процесс накопления повреж-

дений. Процесс постепенного накопления повреждений в материале под

действием переменных напряжений, приводящих к его разрушению, на-

зывается усталостью. Свойство материала противостоять усталости на-

зывается выносливостью.

В качестве иллюстрации физической природы процесса усталост-

ного разрушения рассмотрим следующий пример. Пусть тяжелое колесо

насажено на вал круглого поперечного сечения, который вращается в

подшипниках с постоянной угловой скоростьюw (рис. 11.10). Единст-

венной внешней нагрузкой, действующей на вал, является собственный

вес колеса G . Расчетная схема вала представляет собой балку, нагру-

женную сосредоточенной силой. Наибольший изгибающий момент М

будет возникать под точкой приложения силы. Хотя внешние силы и яв-

ляются постоянными величинами в вале будут возникать циклически

изменяющиеся напряжения.

Это явление происходит в результате того,

- 1

что

части

вращающе-

гося

вала

поперемен-

но

оказываются

то

растянутой, то в сжа-

той зонах.

Рассмотрим

на

пряжения,

возникаю-

щие

в точке A ,

при-

надлежащей

внешне-

му

контуру

попереч-

Рисунок 11.10

ного

сечения

- вра

щающегося вала. По-

ложение этой точки в полярной системе координат определяется углом

j и радиусом сечения r . В произвольный момент времени величину уг-

ла j можно определить через круговую частоту вращения колеса j = wt.

Переходя к прямоугольным координатам имеем

y = r × Sinj

Тогда нормальные напряжения в исследуемой точке будут равны

s =	My	=	Mr × Sinwt	=	M	Sinwt = s max Sinwt .	(11.27)
	J x		J x
				Wx

Таким образом, нормальные напряжения будут изменяться по синусоиде в диапазоне - s min £ s £ s max (рис. 11.11).

Многочисленные эксперименты показывают, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов возникает опасностьусталостного разрушения материала, которое может произойти при уровнях

297

напряжений, значительно меньших, чем предел прочности. Число циклов до разрушения зависит от величиныsmax, и может изменяться в

достаточно широких преде-

цикл изменения

лах. При

больших

уровнях

напряжений

для

разрушения

max

достаточно

5¸10

циклов,

при уменьшении напряжений

min

разрушение материала может

наступить при гораздо боль-

Рисунок 11.11

шем числе

циклов

или

вооб-

ще не наступить.

Циклом

изменения

- на

пряжений называется

совокуп-

ность напряжений за один пе-

mах

риод. Экспериментально

уста-

новлено, что

закон

изменения

min

напряжений

а также

частота

изменения напряжений

не

-су

Рисунок 11.12	щественно влияют на усталост-

ное разрушение. Основными характеристиками являются величины мак-

симального s max и минимального s min				напряжения цикла (рис. 11.12). Рас-
смотрим следующее соотношение
	R =		smin	.			(11.28)

		smax
Эта величина называется коэффициентом асимметрии цикла.
Введем две следующие величины:
sm =	smax + s min	и s а		=	smax -smin	,	(11.29)

2				2

где sm - средние напряжения цикла; sа - амплитуда цикла.

Цикл называетсясимметричным, когда smax = -smin, R = -1. Если smin = 0 или smax = 0, то R = 0 и цикл называется нулевым или пульсационным. При простом растяжении или сжатии (smax = smin) коэффициент асимметрии цикла R = 1. Циклы, имеющие одинаковый коэффициент асимметрии называются подобными. Различают знакопостоянные циклы, когда максимальное и минимальное напряжения имеют один знак, и знакопеременные циклы, когда знаки разные. Знакопеременные циклы более опасны, чем знакопостоянные. Самым опасным является симметричный цикл изменения напряжений(R = -1). Значения коэффициентов асимметрии для различных видов циклов приведены в табл. 11.1.

298

Таблица 11.1 – Характеристики различных видов циклов

Вид цикла

Характеристики цикла

Асимметричный цикл

min

max

s max

> 0 ;

s m

> 0 ;

< R < +1.

s min

> 0 .

s a

> 0 .

Пульсирующий цикл

max

s max

> 0 ;

s m = s max

2 ;

R = 0 .

s min

= 0 .

s а

= s max

2 .

Асимметричный цикл

max

> 0 ;

min

max

< 0 .

¹ 0 .

-1 < R < 0 .

s min

s а

Симметричный цикл

max

s max

> 0 ;

s m

= 0 ;

min

R = -1.

s min

< 0 .

s а

= s max .

max

Асимметричный цикл

min

s max > 0 ;

s m < 0 ;

- ¥ < R < -1.

s min

< 0 .

s а

¹ 0 .

Пульсирующий цикл

s max

= 0 ;

s m

= s min

2 ;

min

R = ±¥ .

s min

< 0

s а

= s min

Асимметричный цикл

max

min

s max

< 0 ;

s m

< 0

;

< R < +¥ .

s min

< 0 .

s a

< 0 .

Таким образом любой цикл нагружения может быть представлен

как сумма среднего напряжения циклаsm

и напряжения, меняющегося

по симметричному циклу с амплитудой sа

299

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>