Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

ГЛАВА 11.

ДИНАМИЧЕСКИЕ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ

§11.1 ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗОК. СИЛЫ ИНЕРЦИИ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Впредыдущих разделах рассматривалось такое нагружение конструкций, когда прикладываемые усилия изменялись настолько медленно, что возможно было считать ихстатическими. В инженерной практике часто встречаются случаи, когда нагрузка достаточно быстро изменяет свое направление или величину. Такое нагружение называется динамическим и вызывает значительные силы инерции в сооружении, которые приводят к появлению дополнительных напряжений и деформаций. Известны случаи, когда строительные конструкции, рассчитанные с большим запасом прочности на статическую нагрузку, разрушались под действием сравнительно небольших динамических сил.

Обозначим через q погонный вес троса. Если груз неподвижен, то

в рассматриваемом сечении троса возникает статическое продольное усилие от веса груза и каната, равное Nst = Q + qz . На движущуюся систему действует сила инерции численно равна произведению массы на ее

283

ускорение и направлена в сторону, противоположную ускорению. В нашем случае

Fi = Q + qz a , g

где g - ускорение свободного падения.

Полное значение усилия Nd определяется равенством

Таким образом, динамические усилия и напряжения выражаются через статические. Влияние динамической нагрузки, как правило, учитывается с помощью так называемогодинамического коэффициента. Динамический коэффициент зависит от вида динамической нагрузки, от размеров, массы, жесткости сооружения и от других факторов. Его величина во многих случаях может быть найдена аналитически, а в тех случаях, когда это затруднительно, - определяют экспериментально. Для рассматриваемой задачи динамический коэффициент равен

Следовательно, при подъеме груза с ускорениема динамическое напряжение может превышать статическое в несколько раз. Если же груз опускать с ускорением а, то в формуле динамического коэффициента (11.1) надо поставить знак минус. При свободном падении груза ускорение равно а =-g, тогда натяжение в каната равно нулю.

§ 11.2 ДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ НАГРУЗОК. ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР

Если динамическая нагрузка прикладывается к телу за весьма малый промежуток времени, например, при падении одного тела на другое, то ее называют ударной нагрузкой. Совокупность явлений, имеющих место при ударном приложении нагрузки, называют ударом. Для стержня, в зависимости от направления удара по отношению к его оси и характера возникающих деформаций, различают продольный удар, вызывающий деформации растяжения или сжатия, поперечный (изгибающий) удар, а также скручивающий удар.

Рассмотрим напряжения и деформации стержня постоянного -по перечного сечения при продольном ударе (рис. 11.2). Кольцевой груз Q

с высоты h падает на нижний недеформируемый выступ стержня длиной l . В момент соприкосновения груза с выступом его скорость мгно-

284

переходит в кинетическую энергию K . При соударении груза с упором кинетическая энергия будет соответствовать работеW , совершаемой грузом при его переходе из крайнего верхнего в крайнее нижнее положение. Эта работа будет равна

Подставляя полученное выражение в уравнение (11.3) получаем

Используя формулы (11.2) и (11.5), перепишем уравнение (11.4) в виде

откуда получаем

285

Формулы (11.8) и (11.10), полученные для растягивающего удара, применимы и для сжимающего удара.

Рассмотрим случай внезапного приложения нагрузки , когда высо-

та падения груза h = 0 . Тогда из формулы (11.10) следует, что sd = 2s st .

§11.3 ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР. ВЛИЯНИЕ СОБСТВЕННОЙ МАССЫ БРУСА НА ВЕЛИЧИНУ ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ

Рассматривая теорию изгибного удара будем, как и ранее, полагая, что в процессе удара во всех его фазах движение системы происходит без потерь энергии. Поэтому, определяя деформации и напряжения в балке при изгибающем ударе, придем к формулам, аналогичным выражениям, полученным для продольного удара. Тогда для динамического изгиба указанные формулы соответственно примут вид

286

где vst - статический прогиб балки в месте удара, зависящий от схемы нагружения и условий опирания.

Так, например, для двухопорной балки с пролетом l , на которую в середине пролета с высоты h подает груз массой Q получаем

Для консольной балки, испытывающей удар от грузаQ падающего с высоты h на ее свободный конец, имеем

Подставляя эти значения в формулу(11.13) находим величину динамического коэффициента, а затем по формулам(11.11) и (11.12) вычисляем динамические деформации и напряжения в балке.

Сопротивление балки ударным нагрузкам зависит как от момента сопротивления сечения, так и от изгибной жесткости. Чем больше податливость (деформируемость) балки, тем большую кинетическую энергию удара она может воспринять при том же расчетном сопротивлении материала. На этом основан принцип работы различных типов амортизаторов, которые обеспечивают определенную податливость опор балки. Наибольший прогиб балки получается тогда, когда во всех ее поперечных сечениях наибольшие напряжения будут одинаковыми(балка равного сопротивления). Поэтому рессоры изготавливают в форме балок равного сопротивления.

287

где G0 = kG - приведенная масса (или вес) тела, подвергнутого удару;

k - коэффициент приведения распределенной массы (или веса) ударяемого тела G к точечной;

Q - масса (вес) падающего груза;

Dst - перемещение системы от статического действия груза Q . Коэффициент k определяется сравнением кинетической энергии

тела с распределенной и точечной массами и зависит от вида удара и способов закрепления концов стержня (рис. 11.3).

Заметим, что изложенный способ учета собственной массы бруса не учитывает местные деформации в месте приложения ударной нагрузки. Если для изгибающего удара их влияние невелико, то оно становится немаловажным при продольном ударе. Еще большую роль играют местные деформации и случае удара тел, размеры которых имеют величину одного порядка.

2)решить аналогичную задачу при условии, что правая опора заменена пружиной, податливость которой равна a = 24 ×10-6 м/Н;

3)вычислить динамическое с учетом собственной массы балки;

4)сравнить полученные результаты.

Решение задачи.

Находим величину опорных реакций балки от статического воздействия груза Q . Используя уравнения равновесия статики, получаем:

åтА = 0 ; VB l - Q × 0,50l = 0 ; VB = Q × 0,50l / l = 0,50Q ;

åтB = 0 ; VAl - Q × 0,50l = 0 ; VA = Q ×0,50l / l = 0,50Q .

Проверка:

å y = 0 ; VA +VB - Q = 0 ; 0,50Q + 0,50Q - Q = 0 .

288

Максимальный изгибающий момент, возникающий в балке от статического действия груза Q , равен

M max = 0,250Ql = 0,250 ×1000 × 2,4 = 599,4 Нм.

Вычисляем величину максимальных нормальных напряжений от статического действия груза Q

289