Юзвишин И.И. - Основы информациологии - 2000

n

∑

i=1

P ij = 1, т.е. сумма переходов вероятностей каждой строки матрицы перехода всегда равна единице.

Сделав соответствующие преобразования выражений (17.65) и (17.66), получим матрицу перехода стационарной системы за Z шагов:

M(Z) = [M(1)] z.(17.67)

Пример. Задана матрица перехода системы за один шаг

Требуется определить матрицу перехода ИСМО из i-го в j-е состояние за три шага (Z=3).

Запишем матрицу перехода за три шага в соответствии с выражением (17.67):

( 0,545 0,455 ) M(3)=[M(1)]3= 0,546 0,454 .

Определим вероятности перехода системы за три шага: из 1-го в 1-е состояние Р11=(3)=0,545; из 1-

го во 2-е состояние P12 (3)=0,455; из 2-го в 1-е состояние P21 (3)=0,546; из 2-го во 2-е состояние P22

(3)=0,454.

С учетом того, что

n

∑

j=1

P ij= 1, проверим правильность вычислений:

2

∑

j=1

P 1j =

2

∑

j=1

λn-2,n-1 Pn-2+μn,n-1 Pn-μn-1,n-2Pn-1-

-λn-1,n Pn-1= 0.

Решив систему (17.77) и учитывая, что

n

∑

i=0

Pi = 1, определим вероятность первоначального состояния ИСМО:

P0=1/

n

∑

k=0 k

∏

j=1

(λj-1,j/μj,j-1).(17.78)

Зная вероятность Р0 и подставляя ее в каждое из уравнений (17.77), находим все остальные вероятности состояний ИСМО, представленных в виде размеченного

416

графа на рис. 17.1. Если интенсивности λij, переводящие ИСМО в состояния увеличения (i<j), и интенсивности обслуживания (решения) задач μij, переводящие систему в состояния уменьшения (i>j) при стационарном режиме работы последней, принять постоянными, то общую формулу для вычисления всех Pi можно записать в виде:

Pi=

i

∏

k=1

ηk[

n

∑

k=0 k

∏

i=1

ηj] -1.(17.79)

Коэффициент η является относительной интенсивностью входного потока информации (задач, вопросов и др.) и как один из основных параметров ИСМО определяет производительность и эффективность использования ее технических и программных ресурсов. Фактически λ/μ=η представляет собой среднее число задач (вопросов), поступающее в ИСМО за средний интервал времени решения (обслуживания) одной задачи (ответа). Если за среднее время принять его математическое ожидание M(tотв), то

η=λM(tотв), (17.80)

где М(tотв)=1/μ.

Таким образом, при установившемся режиме функционирования ИСМО по выражениям (17.78) и (17.79) определяются предельные значения вероятностей состояний системы. Необходимо еще определить все вероятности при конкретных начальных условиях, для чего зададим последние и запишем

n

∑

i=0 (17.81)

Pi(t)=P0(t)/t=0+P1(t)/t=0+P2(t)/t=0+...+Pn(t)/t=0 = = P0(0)+P1(0)+P2 (0)+...+Pn(0) = 1.

Очевидно, в начальный момент времени (t=0) состояния системы и их вероятности с учетом выражения (17.69) можно представить следующим образом:

С0 (0)→Р0 (0) = 1;

(17.82)

С1 (0)→Р1 (0) = 0;...Сn (0)→Pn (0) = 0.

Определив начальные и предельные вероятности состояний ИСМО, перейдем к расчету основных характеристик эффективности ее функционирования. Пусть Р0 (0) =1 и система исправна, имеет стопроцентную готовность к эксплуатации задач, все остальные вероятности при заданных начальных условиях Рi (0), где i {1,n} равны нулю - в системе не решается ни одна задача. Следовательно, при начальных условиях Pi(t) является функцией от t и 0 < i ≤n, а предельная вероятность Pn(t) является вероятностью того, что в момент t в ИСМО поступит информация по (n+1)-й задаче, что фактически является отказом в решении (n+1)-й задачи, т.е. Рот ≈ Pn+1 (t) ≈ Рn (t),тогда. вероятность противоположного события Q10(t) = 1 - Pn(t) является относительной пропускной способностью ИСМО, которую определим для предельных состояний (t→∞) системы

417

Q10 =1-

n

∏

k=1

ηk[

n

∑

k=0 k

∏

j=1

ηj]-1. (17.83)

Поскольку Q10 является фактически отношением количества решенных задач или выданных ответов ко всему количеству поступивших задач или вопросов за принятую единицу времени, номинальную (проектную) пропускную способность ИСМО получим в результате произведения Q10 и интенсивности λ, т.е.

Q1н=Q10λ. (17.84)

В ИСМО может поступать неограниченное число вопросов и задач. Очевидно, в этом случае сроки их решения могут и не соблюдаться ввиду того, что по своим техническим параметрам ИСМО не может в определенную единицу пропустить сверхнормативное количество информации. Приведем данные анализа производительности ИСМО и ее загрузки.

Теперь определим, сколько может находиться задач, вопросов и т.д. в очереди.

Для ИСМО, реализующей обработку алфавитно-цифровой информации свыше 1 млрд. АЦЗ в год, многофазовая система оперативного мультипрограммирования обеспечивает рациональное распределение программных, аппаратных и трудовых ресурсов однотерминальной ИСМО, сокращает время ожидания и обслуживания задач, способствует сокращению сроков и повышению качества их решения. Пусть допустимое число задач, находящихся в ИСМО на решении, представляет собой случайную величину Н, принимающую только целочисленные значения, закон распределения которой известен и задан в виде табл. 17.2.

Так как дискретная случайная величина Н принимает конечное множество значений, ее математическое ожидание М(Н) можно определить по формуле:

M(H)=

n

∑

i=0

hi Pi=

n

∑

i=0

iPi=n. (17.85)

418

По этой формуле определяется среднее число задач, которые могут находиться в ИСМО. С учетом формулы (17.85) окончательно получим выражение для определения среднего количества вопросов или задач1 в системе

n=

n

∑

i=0 i

∏

k=1

ηk/

n

∑

k=0 k

∏

j=1

ηj. (17.86)

Величина n может принимать различные значения при разных значениях величины ηi заданной в области значений действительных чисел (1≥ηi >0). В момент t0+Δt(Δt→0) вероятность того, что в ИСМО находится на решении, хотя бы одна задача в соответствии с выражением (17.78) будет равна

PΔt (n>0)=1-[

n

∑

k=0 k

∏

j=1

(λj-1,j /μj,j-1 )] -1 .(17.87)

Теперь определим среднее количество вопросов (задач), которые могут попасть в портфель заказов и ожидать в очереди. Так, если в ИСМО всего п задач и в некоторый момент (Δt)R задач решается, то в портфеле заказов будет N задач, т.е.

N = n-R. (17.88)

Рассчитаем среднее время нахождения одной задачи в ИСМО по следующей формуле:

Tc= n/λ. (17.89)

Определим среднее время нахождения каждой из задач, ожидающих в очереди:

ТK=N/λ. (17.90)

С учетом формул (17.89) и (17.90) получим среднее время решения ИСМО одной задачи, которое представляет собой разницу между средним временем пребывания в ИСМО одной задачи и средним временем нахождения информации (вопроса, задачи) в очереди:

tp =Tc-TK.(17.91)

Таким образом, изложенная методика позволяет определить следующие характеристики однотерминальной ИСМО:

предельные вероятности, определяющие наличие вопросов или задач в системе или их отсутствие, относительный коэффициент загрузки системы, относительную пропускную способность (производительность); номинальную

419

(проектную) пропускную способность; соблюдение или несоблюдение сроков решения задач, время простоя ИСМО; процент недозагрузки или загрузки системы; среднее количество решаемых и ожидающих решения задач; среднее время решения одной задачи; среднее время нахождения одной задачи (ожидающей запуска на решение) в очереди; общее время нахождения в ИСМО задач, вопросов и др.

420

1 Если h не ограничено и интенсивности (λ,μ) переходов ИСМО из состояния в состояние постоянны,

то n =

∞

∑

i=0

(i-n)iηi

413 :: 414 :: 415 :: 416 :: 417 :: 418 :: 419 :: 420 :: Содержание 420 :: 421 :: 422 :: 423 :: 424 :: Содержание

17.6. Методика расчета многотерминальной ИСМО

Рассмотрим модель МИСМО, заданную выражением (17.68) и работающую по принципу on-line при n=2, 3, 4,...,m в режиме разделения времени. Представим марковскую последовательность состояний системы:

C'0 - МИСМО исправна, ни одной задачи и ни одного вопроса в ней нет; С'1– на одном из m терминалов с центральным ядром системы работает один пользователь; C'2 - занято два терминала, а остальные m-2 свободны; С'3 - занято три терминала, остальные m-3 свободны и т.д.; C'j - j- терминалов занято, остальные свободны; С'm - все терминалы заняты и в МИСМО находятся на обслуживании (решении) m задач (вопросов).

Схема графа отмеченных состояний приведена на рис 17.2. По методике, изложенной в предыдущем параграфе, для размеченного графа составим сбалансированные по нулю линейные однородные алгебраические уравнения для всех т состояний МИСМО. После соответствующих преобразований и с учетом установившегося режима многотерминальной сети имеем

Рис 17.2. Схема размеченого марковского графа m- терминальной ИСМО (i <j)

μP1-λP0 = 0; λP0-(λ+μ)P1+2μP2=0;

λP1-(λ+2μ)P2+3μP3=0

λP2-(λ3μ)P3+4μP4=0;

λP3-(λ+4μ)P4+5μP5=0;

(17.92)

......................

λPj-[λ(j+1)μ]Pi+1+(j+2)μPj+2=0;

......................

λPm-2-[λ+(m-1)μ]Pm-1+mμPm=0;

λPm-1-mμPm=0.

Решив систему (17.92), получим следующие формулы для вычисления вероятностей, отвечающих состояниям МИСМО, приведенной на рис. 17.2:

420

P1=(λ/μ)P0;P2=(λ2/2μ2)P0;...;Pj=(λ j/j!μ j)P0;... (17.93)