Юзвишин И.И. - Основы информациологии - 2000

e-λt =

(λt) k

k!

e-λt; (17.35)

б) пуассоновский и Эрланга

(λt) k-1

(k-1)!

e-λt≈

(λt) k-1

1/λ(k-1)!

e-λt; (17.36)

в) Эрланга и экспоненциальный при k=0 и а=1

(λt) k-1

1/λ(k-1)!

e-λ-1≈

(λt) -1

1/λ(-1)!

e-λt =

1

t

e-λt=(17.37)

г) пуассоновский и экспоненциальный при k=1

(λt) k

k!

e-λt = λte-λt (17.38)

Таким образом, установленная взаимная аппроксимация основных законов распределения входящих потоков при определенных расчетных параметрах позволяет отметить, что суммарный поток (4÷5≤ П∑≤∞) информации, поступающий в техническую, биологическую или космическую систему, аппроксимируется (простейшим) пуассоновским законом плотности распределения случайных событий поступления информации.

405

Следствие. Аппроксимацию законов можно интерпретировать следующим образом. Пусть бесконечное (счетное) число потоков информации поступает на вход определенной системы. Спроектируем эмпирические и теоретические законы распределения каждого из Пn потоков в виде

кривых на некоторую регламентированную во времени числовую ось 0t. Предположим, что потоки имеют различные законы распределения: нормальный, экспоненциальный, пуассоновский, биномиальный, геометрический, равномерный (прямоугольный), логарифмически-нормальный, распределение Эрланга, Вейбулла и др. Все эти законы характеризуются соответственно функциями распределения, плотностями вероятностей и их параметрами. Если по статистическим данным и теоретическим расчетам простроить стандартные кривые указанных законов распределения случайных величин для каждого n-го бесконечного потока информации на числовой оси 0t с предельными значениями времени 0≤t≤Tp и проанализировать эти кривые законов распределения, то нетрудно убедиться, что суммарный поток, включающий в себя большое количество независимых стационарных потоков, будет обладать всеми свойствами пуассоновского (простейшего) потока, что и было доказано в теореме.

Таким образом, на оси 0t в пределах кривых, определяющих п → ∞ независимых входных потоков информации со всеми Δti моментами их поступления, может быть составлен суммарный поток, обладающий свойствами пуассоновского распределения.

Следовательно, доказана важная теорема о генерализационном законе распределения суммарного потока информации из бесконечного числа частных потоков с различными законами распределения, после чего задача дальнейшего исследования, расчета и проектирования входных и выходных потоков, а также переходных состояний любых технических, биологических, космических и других систем значительно упрощается.

Примечание.Определение суммарной интенсивности (плотности) информационных потоков, зависящих от абсолютной температуры и энергии частиц в i-ом состоянии и в интервале частот от v до v+Δv, можно произвести использовав статистику Бозе-Эйнштейна:

ω(ν,T) dν=

8πν2

c2

∙

ћν

e-ћν/kT-1

dν. (17.39)

Проинтегрировав выражение (17.39), получим информационный поток частот излучения. Выражение (17.39) является универсальным для определения информационных потоков излучения, начиная от элементарных частиц и заканчивая Вселенной в целом.

406

399 :: 400 :: 401 :: 402 :: 403 :: 404 :: 405 :: 406 :: Содержание 406 :: 407 :: 408 :: 409 :: 410 :: Содержание

17.3. Методика расчета центрального ядра информационных систем

Кроме показателей и характеристик, обеспечивающих надежность и необходимую производительность ЛИСМО, в качестве основных требований при их создании выдвигаются ограничения по времени вопросов и ответов ЛИСМО и

406

качеству (достоверности) последних. В качестве целевой функции при этом рекомендуется принимать критерий наименьших проектируемых (приведенных) капитальных затрат на приобретение и ввод в эксплуатацию средств ЛИСМО с учетом эксплуатационных расходов.

Если ЛИСМО состоит из т однородных технически и программно совместимых персональных компьютеров (ПК), каждый из которых состоит из п групп разнотипных унифицированных модулей и в каждой группе xj однотипных модулей со стоимостью аij за каждый, то капитальные затраты на центральное ядро ЛИСМО со стоимостью сi i -го ПК можно записать в виде следующей системы линейных алгебраических уравнений:

a11x1+a12x2+...+ainxn=c1;

a21x1+a22x2+...+a2nxn=c2;

(17.40)

...........................

am1x1+am2x2+...amnxn=cm.

Аналогично запишем модель эксплуатационных затрат с учетом каждого j-го модуля i-гo ПК информационной системы.

b11x1+b12x2+...+binxn=l1;

b21x1+b22x2+...+b2nxn=l2;

(17.41)

...........................

bm1x1+bm2x2+...+bmnxn=lm,

где bij - эксплуатационные затраты по каждому однотипному xi модулю; li - суммарные приведенные эксплуатационные затраты по каждому ПК.

Системы (17.40) и (17.41) можно записать соответственно, обозначив приведенные капитальные затраты на всю ЛИСМО через С, а эксплуатационные через L:

C= m

∑

i=1 n

∑

j=1

aijxj= m

∑

i=1

ci; (17.42)

L= m

∑

i=1

характеристик j-го устройства его характеристикам в реальном масштабе времени; Ti - суммарное время подготовки и решения i-й задачи.

Систему (17.46) запишем в следующем виде:

m

∑

i=1 n

∑

j=1

kjtij≤

m

∑

i=1

Ti≤tз; i {1,m}, j {1,n} (17.47)

или

m

∑

i=1

[Ti+(±t'i )]=tз; |t'i|/Ti= αi<<1, (17.48)

где t'i - разница между заданным (расчетным) и фактическим временем решения i-й задачи.

Может быть несколько случаев:

αi ≤ α

m

∑

i=1

Ti = min {

m

∑

i=1

Ti}= Т < tз; (17.49)

408

αi=α

m

∑

i=1

Ti=T>tз;(17.50)

αi≤ α

m

∑

i=1

Ti= T=tз.(17.51)

Для досрочного решения задач должно выполняться условие (17.49), а для своевременного решения - (17.51); условие (17.50) приводит к эффективным затратам в соответствии с выражениями (17.40) и (17.41); потери в этом случае тоже могут определяться по условию (17.44).

Определим форму ограничения целевой функции эффективности капитальных вложений по качеству решения задач. Предположим, что поток обнаруженных ошибок в результате решения некоторых задач описывается показательным законом распределения вероятностей случайно обнаруженных ошибок Y=(y1, у2, y3, ..., yn) с плотностью f(у), по которой определим функцию распределения, т.е. вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

F(y)=P(k1<Y<k2)=1-exp(-λy), (17.52)

где λ- интенсивность появления ошибок.

Используя формулу НьютонаЛейбница и произведя соответствующие преобразования, запишем вероятность обнаружения ошибок для заданного интервала в процессе решения конкретных задач

P(k1<Y<k2)=exp(-λk1) - ехр(-λk2). (17.53)

Зная вид показательного распределения ошибок, например f(у)=2ехр(-2у), по уравнению (17.53) определим вероятность того, что за один прогон массива количество обнаруженных ошибок окажется не менее одной и не более трех

Р(1<Y<3)=ехр(-2) - ехр(-6) ≈ 0,123.

Пусть в заданном интервале ошибок pi - вероятность обнаружения ошибки в i-й задаче, qi– вероятность достоверности информации (не обнаружение ошибки в этом интервале). Тогда

qi = l-[exp(-λk1)-exp(-λk2)] . (17.54)

По теореме умножения независимых событий определим с учетом регламентированного (ограничения) количества ошибок Q0 вероятности достоверности информации по всем п решаемым задачам в течение tз

n

∏

С учетом отмеченного имеем:

ξ n=Ψ n(ξ1,ξ2,...,ξ n-1,ε n)

Функцию распределения состояний системы для п независимых моментов ε n и случайных величин ξ1,...ξ n-1, можно записать следующим образом:

FΨ(ξ,ε)(xi)=P(ξ1<x1,ξ2,...,ξ n-1<x n-1),I э{n}.(17.61)

Так как определенное состояние ξ n ИСМО зависит только от ξ n-1и n-го элементарного момента (события) ε n из множества Eb, то зависимости между случайными величинами ξ1,...,ξ n будут марковскими, если их можно выразить следующими функциями:

Ψ0(...,ε0)=Ψ; Ψ1(...,x0,ε1)=Ψ1(x0,ε1);

Ψ2(x0,x1,ε2)=Ψ2(x1,ε2);

(17.62)

Ψ3(x0,x1,x2,ε3)=Ψ3(x2,ε3);

..................

Ψ n(x0,x1,...,x n-1,ε n)=Ψ n(x n-1,ε n).

Случайные величины (ξ i < xi) T вероятностного пространства при i=0,l,2,...,n образуют цепь Маркова, которая в зависимости от значения i {п}может принимать целый ряд состояний, адекватно описывающих (n-1) состояний ИСМО:

411

2

i=0

ξ i={ξ0,ξ1,ξ2};

3

ξ i={ξ0,ξ1,ξ2,ξ3};

..................

n

i=0

ξ i={ξ0,ξ1,...,ξ n}.