3.2.13. Связь плоских прямоугольных координат Гаусса – Крюгера с эллипсоидальными геодезическими координатами

Не останавливаясь здесь на дальнейшей детализации применения проекции Гаусса в геодезии, приведем окончательные формулы преобразования (связи) геодезических эллипсоидальных координат B, L в плоские прямоугольные координаты Гаусса – Крюгера [7]

X – длина дуги осевого меридиана от экватора до параллели с широтой данной точки (рис. 3.16), вычисляемая по формуле

Числовые значения коэффициентов di в формулах (3.60) приведены для эллипсоида Красовского.

Ошибка вычисления координат х и у по формулам (3.58) не превышает 0.01

м. Более точные формулы вычисления х и у, а также B и l можно найти в [7, с. 58, формулы (6.14) и (6.15)].

Точность вычислений по формулам (3.64) соответствует точности формул (3.58) при l меньше 3°30', т. е. координаты B и l вычисляются с ошибкой не превышающей 0.005".

3.2.14. Преобразование плоских прямоугольных координат Гаусса – Крюгера из одной зоны в другую

Переход от системы координат с одним осевым меридианом, к системе координат с другим осевым меридианом (из одной зоны в другую), в геодезии получил название «перехода из зоны в зону».

Рассмотрим в общем виде такое преобразование плоских прямоугольных координат Гаусса – Крюгера.

Все системы плоских прямоугольных координат (различных зон), вероятно, могут быть связаны между собой через систему геодезических координат, так как геодезические координаты B и L, являясь едиными для всей поверхности эллипсоида, не связаны с осевыми меридианами зон. Поэтому, наиболее общим, естественным и простым здесь будет путь, основанный на двойном преобразовании координат сначала плоских прямоугольных координат в геодезические, а затем геодезических – в плоские прямоугольные координаты, соответственно, по формулам (3.64) и (3.58).

Если обозначить координаты условной исходной зоны через ха , уа , а координаты в определяемой зоне – через хб , уб , то более детально это можно

показать схематично следующим образом

ха , уа B,la B, L B,lб хб , уб ,

где

la = L − L0(a) ;

lб = L − L0(б) ;

L0(a) и L0(б) – долготы осевых меридианов, соответственно, зоны а и зоны

б, а знак заменяет слова «преобразуется в…».

Этот способ в геодезической литературе получил название аналитического и имеет точность, соответствующую точности формул, применяемых для преобразования координат (3.58) и (3.64).

3.2.15. Перевычисление плоских прямоугольных координат пунктов локальных геодезических построений в другие системы плоских прямоугольных координат

Внастоящее время различные ведомственные организации могут создавать

исоздают свои какие-то локальные геодезические построения на небольшой территории в своих (не государственных) системах координат.

Поэтому на практике в геодезии нередко возникает задача по

перевычислению локальных систем координат в другие системы плоских прямоугольных координат.

Перевычисление координат пунктов локальных геодезических построений, например, в государственную СК или в другую какую-нибудь может быть выполнено, конечно, путем переуравнивания локальной геодезической сети на

основе исходных пунктов (не менее двух), имеющих координаты государственной СК или другой, в которую требуется перевычислить координаты локальной сети.

Этот путь надо считать наилучшим в смысле точности перевычисления, но, как правило, он одновременно является и наиболее трудоемким.

Поэтому часто перевычисление координат локальных геодезических сетей производят по специальным (эмпирическим) формулам, соответствующим тому или другому способу преобразования.

Способов такого перевычисления, очевидно, можно предложить несколько. Приведем один из способов, в котором масштаб в местной системе координат вообще принимается постоянным. Такие системы координат могут применяться на очень ограниченных территориях или при выполнении геодезических работ невысокой точности.

Пусть для локальной геодезической сети по результатам математической обработки получены координаты n пунктов (1, 2, 3, … n) в локальной (старой)

системе

x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , ... xn , yn .

Допустим, что в этой же геодезической сети имеются и два пункта, например 1 и 2, имеющие координаты в другой (новой) системе

x1 , y1 , x2 , y2 .

Требуется вычислить координаты пунктов 3, 4, … n в новой системе x3 , y3 , x4 , y4 , ... xn , yn .

Решая дважды обратную геодезическую задачу на плоскости по координатам старой и новой СК пунктов 1 и 2, находим длину и дирекционный

угол стороны 1-2 в новой системе координат S12 и D12 и в старой – S12 , D12 . По этим результатам определяем угол разворота координатных осей δD и

масштабный множитель m

Тогда на основании формул (2.15) и (2.19) для преобразования приращений

В формулах (3.66) исходным служит пункт 1. Однако практически бывает удобнее производить перевычисления, переходя в любой последовательности от

Дирекционный угол и длина любой стороны сети в новой системе могут вычисляться по формулам

и, кроме того, могут быть получены из решения обратных геодезических задач, что служит контролем вычислений.

Более точный способ (т. е. с учетом изменения масштаба) пересчета плоских прямоугольных координат пунктов городских геодезических сетей в СК-42 или СК-95 и обратно приведен в работе [2]

где

x′ = xГ cosγ − yГ sin γ;

y¢ = yГ cosγ + xГ sin γ;

γ – сближение меридианов в начале городской системы координат; x0 , y0 – координаты начала в СК-42;

a, b, c, d, f – малые коэффициенты, аппроксимирующие изменение масштаба в проекции Гаусса по мере удаления от осевого меридиана.

Обратный пересчет координат из СК-42 в городскую систему координат

Точность преобразования координат по формулам (3.69) и (3.70) примерно соответствует 4 см на 10 км.