где ξ и η – проекции полного уклонения отвесных линий, соответственно, на плоскость меридиана и первого вертикала.

3.2.3.Определение эллипсоидальных геодезических координат при раздельном способе определения планового и высотного положений точек земной поверхности

При построении наземных геодезических сетей, предназначенных для определения положения точек физической поверхности Земли, во многих странах мира принят принцип раздельного определения планового и высотного положения. С целью определения планового положения точки на земной поверхности строятся специальные (плановые) геодезические сети в виде триангуляции, трилатерации, полигонометрии. Для определения высотного положения точки, строятся сети нивелирования.

Обработка наземных плановых геодезических сетей должна осуществляться на координатной поверхности, в качестве которой, как уже отмечалось выше, в настоящее время используется эллипсоид вращения. Поэтому в геодезии возникает задача – по результатам (элементам) геодезических сетей (сторонам, углам, азимутам) определить геодезические координаты B, L и азимуты А точек поверхности земного эллипсоида.

Эта задача в геодезии получила специальное название – прямая геодезическая задача на эллипсоиде, хотя с точки зрения преобразования координат ее можно трактовать как задачу преобразования эллипсоидальных полярных координат точки в геодезические.

Существует большое разнообразие способов решения этой задачи на эллипсоиде, основанных на интегрировании дифференциальных уравнений (2.62) в системе геодезических координат. Не останавливаясь здесь на анализе этих методов, их достоинствах и недостатках, приведем без вывода один из наиболее простых в практическом отношении, который в геодезической

литературе называется «способом со средними аргументами» и позволяет определить координаты с точностью 0.0003" при S ≤ 60 км.

Прямая геодезическая задача на эллипсоиде

На рис. 3.3 дана геометрическая интерпретация решения прямой

геодезической задачи на эллипсоиде.

Дано: S, А12, В1, L1.

Требуется определить: В2, L2, А21. Решение осуществляется по формулам:

Что касается третьей координаты, геодезической высоты Н (как высоты точки физической поверхности Земли относительно земного эллипсоида), то она определяется как сумма двух слагаемых

подлежат. Из измерений можно получить только их приращения при переходе от одной точки к другой и, если известны для одной из точек Нγi, так и ζ i, то тогда

В этих формулах использованы следующие обозначения:

ϑ – проекции полного уклонения отвесных линий в соответствующих точках на вертикальную плоскость, проходящую через обе точки;

S – расстояние между точками;

∆Нi,i+1 – непосредственно измеренное превышение;

а– большая полуось эллипсоида;

α– сжатие эллипсоида;

ω – угловая скорость вращения Земли; γ э = 978031.97 мгл – нормальное ускорение силы тяжести на экваторе (в

системе ПЗ-90).

3.2.4.Преобразование пространственных геодезических полярных координат в эллипсоидальные геодезические координаты

По аналогии с решением задач на эллипсоиде, преобразование пространственных полярных координат в геодезические принято называть прямой геодезической задачей в пространстве, а обратный переход – обратной геодезической задачей в пространстве.

Из точки n1 (рис. 3.5), как из центра, опишем сферу единичного радиуса. Пересекая поверхность сферы плоскостями меридианов точек Q1 и Q2 и

нормальной плоскостью Q1n1Q2, получим сферический треугольник q1pq2 (рис. 3.6), из которого

N 2 sin B2 в выражении (3.14) вычисляется по широте φ2.

Обратная геодезическая задача в пространстве

Решение обратной геодезической задачи между точками в пространстве состоит в том, что по заданным геодезическим координатам B, L, H двух точек определяются полярные координаты второй точки, т. е. расстояние S между полюсом полярной системы координат и второй точкой по прямой, азимут

нормальной плоскости в первой точке А12, и зенитное расстояние Z12 с первой точки на вторую (см. рис. 3.5).

В треугольнике Q2n1n2 угол при вершине Q2 обозначим через γ. Вычислив в соответствии с выражениями (3.11) и (3.14) N1, N2 и отрезок ∆, из треугольника Q2n1n2 находим

Далее, решая сферический треугольник q1pq2 (рис. 3.6) относительно σ и А12, получим