2.3.5. Цилиндрическая система координат

2.3.6. Сферическая система координат

Положение точки Q (рис. 2.13) может быть определено и с помощью так называемой системы сферических координат r, λ, θ. В данной системе r – длина радиус-вектора точки Q, т. е. расстояние от центра О системы координат до точки Q по прямой; λ – полярный угол (называемый часто сферической долготой), составленный полярной полуосью ОР и проекцией r0 длины радиус-

вектора OQ на основную плоскость, а θ – угол между полуосью OZ и полярным

радиусом r. Угол θ чаще называют сферической широтой. Пределы изменения сферических координат:

Координатными поверхностями системы сферических координат являются:

−при r = const и переменных λ и θ – сфера радиуса r с центром в точке O, отсюда и происхождение названия системы – сферическая СК;

−при θ = const и переменных r и λ – полуконические поверхности;

−при λ = const и переменных r и θ – полуплоскости, ограниченные полуосью OZ.

Сферическая система координат также может быть связана с пространственной прямоугольной декартовой СК.

Совместив начало пространственной прямоугольной СК с центром О

сферической СК и выбрав положительные направления полуосей ОХ, ОУ и ОZ как это показано на рис. 2.13, будем иметь

а обратный переход может быть выполнен по формулам

2.3.7. Полярные координаты на поверхности

При изучении геометрии различных поверхностей очень большое значение приобретают системы полярных координат, центры (полюса) и полярные оси которых располагаются непосредственно на самой поверхности. Например, такие полярные СК очень широко используются в геодезии при решении

различных задач, особенно задач, связанных с определением координат точек земной поверхности.

Из большого количества различных поверхностей, на которых могут быть построены системы полярных координат, рассмотрим только наиболее простые и часто используемые в геодезической практике – плоскость, сфера, эллипсоид.

Плоскость

Полярными координатами точки Q (рис. 2.14) на плоскости называются длина радиус-вектора r – расстояние по прямой от заданной точки О (полюса) до точки Q и полярный угол φ – угол между заданной полярной осью ОР и радиус-вектором OQ . Полярный угол условимся считать положительным при отсчете от полярной оси против хода часовой стрелки (в геодезии принято обратное).

системы (точка О), полярную ось объявляем положительной полуосью абсцисс ОХ, а за полуось ординат ОУ примем ту ось, в которую перейдет ось абсцисс при повороте ее на угол π/2 в положительном направлении, тогда положение точки Q может быть определено и с помощью прямоугольных

Обратный переход (связь) выполняется по формулам:

плоскими кривыми, а сложными кривыми двойной кривизны (обладающими и кривизной, и кручением), причем они и не геодезические линии. Система координатных линий ортогональна.

Расстояние между двумя геодезическими окружностями, измеряемое вдоль ортогональных к ним геодезических линий, остается постоянным во всех точках этих окружностей, что следует из построения координатных линий. Поэтому геодезические окружности – геодезические параллельные линии, аналогичные параллельным линиям на плоскости.