Наконец, оси координат, лежащие теперь в плоскости экватора, повернем вокруг оси OZ ( OZ3T ) на угол, равный долготе L0 начальной точки Q0 , а у

абсциссы Х4T изменим знак на обратный (так как система ОХУZ – правая, а система Q0 Х T УT Z T – левая), в результате преобразования получим

(3.49)

Обратный переход от X, У, Z к Х Т , У Т , Z Т

Чтобы найти обратные зависимости, решим уравнения (3.49) относительно

ХТ ,УТ , Z Т .

Врезультате решения получим

(3.49 а)

3.2.12. Системы плоских прямоугольных координат в геодезии

В предыдущих разделах были рассмотрены наиболее общие и часто встречающиеся в геодезической практике различные пространственные как общеземные, так и референцные СК, применяемые для определения взаимного положения точек на земной поверхности и в околоземном пространстве.

Действительно, эти координаты, будучи общими, глобальными (едиными) для всей земли в целом, являются очень удобными при решении геодезических задач, связанных с изучением всей Земли как планеты, т. е. c решением геодезических задач между точками, удаленными друг от друга на большие расстояния.

Однако, при производстве массовых наземных топографо-геодезических работ, предназначенных для решения локальных, практических задач, таких как производство топографических съемок, создание геодезического обеспечения строительства и эксплуатации крупных инженерно-технических сооружений и других, т. е. выполняемых, как правило, на сравнительно небольших территориях, применение общеземных и референцных СК становится неудобным и даже обременительным.

Поэтому в практике ведения топографических работ, как правило, используются системы плоских прямоугольных координат. Основным преимуществом системы плоских прямоугольных координат являются их простота и удобство, возможность использования при обработке геодезических измерений формул плоской геометрии и тригонометрии, позволяющих существенно упростить вычисления.

Но земная поверхность или ее математическая модель, эллипсоид вращения, не является плоскостью и потому не может быть предложена система плоских прямоугольных координат, в которой без искажений могло бы быть выражено взаимное положение точек земной поверхности. Исследования кривизны земного эллипсоида показывают, что только весьма небольшие участки его поверхности можно принимать за плоскость. Так, например, при искажениях, не превышающих 1 мм, можно принимать за плоскость участок земной поверхности радиусом не более 5 – 6 км.

Поэтому получение систем геодезических плоских прямоугольных координат возможно лишь путем отображения поверхности эллипсоида, как математической модели Земли, на плоскость по тому или иному математическому закону (в той или иной картографической проекции).

А так как в математической картографии существует большое количество различных проекций отображения одной математической поверхности на другую, то, следовательно, можно предложить и большое разнообразие различных систем плоских прямоугольных координат.

Очевидно проблема выбора той или иной проекции отображения эллипсоида на плоскость с целью получения системы плоских прямоугольных координат, именно для геодезии, заключается в том, чтобы выбрать ту из них, которая наилучшим образом удовлетворяла бы физико-географическому расположению данной страны и была бы удобной для производства топографогеодезических работ на ее территории.

Указанным условиям для нашего государства в наибольшей степени отвечает равноугольная (конформная) поперечно-цилиндрическая проекция эллипсоида на плоскость. Теоретические основы этой проекции были разработаны Ф. Гауссом в тридцатые годы XIX столетия. В настоящее время, эту широко распространенную проекцию сокращенно называют проекцией Гаусса.

В наше время, наряду с проекцией Гаусса, в различных странах применяются и другие системы плоских прямоугольных координат, полученных

спомощью других картографических проекций, например:

−стереографической проекции Руссиля (Франция, Испания, Бельгия);

−конформной конической проекции Ламберта (США, Канада, Мексика);

−поперечно-цилиндрической равнопромежуточной проекции шара на плоскость по Зальднеру (Германия, Россия до 1930 г.) и др.

Каждая из этих проекций имеет свои достоинства и недостатки.

Невозможность отображения на плоскости без искажений всей поверхности Земли привело к тому, что в геодезии на плоскость отображается только часть поверхности эллипсоида, очень небольшая по сравнению со всей поверхностью Земли. Конечно, это приводит к множеству различных систем плоских прямоугольных координат для государств с большими территориями.

Внашей стране с 1930 г. применяется проекция Гаусса.

В этой проекции вся поверхность земного эллипсоида разделяется меридианами на области (зоны), простирающиеся от северного до южного

Трехградусные зоны используются только для производства крупномасштабных топографических съемок масштабов 1:5000 и крупнее.

Каждая из этих зон изображается на плоскости независимо от остальных, образуя самостоятельную систему координат. Осями абсцисс и ординат служат соответственно изображения на плоскости осевого меридиана зоны и экватора.

Крайним западным меридианом первой 6-градусной зоны является Гринвичский меридиан, и счет зон ведется от Гринвича на восток от 1 до 60.

Территория России расположена в 28 6-градусных зонах (с 5 по 32).

При таком расположении 6-градусных зон, номер зоны (n) и долгота (L0) осевого меридиана зоны будет определяться следующими выражениями

где N – номер колонны листа карты масштаба 1:1 000 000.

В системе 3-градусных зон осевые меридианы располагаются через 3° по долготе и совпадают поочередно с граничными и осевыми меридианами 6- градусных зон. Причем осевые меридианы первых 6-градусной и 3-градусной зон совпадают.

Долготы осевых меридианов 3-градусных зон определяются по формуле:

где n' – номер трехградусной зоны.

Графически взаимное расположение 6-градусных и 3-градусных зон можно показать на рис. 3.14.

осевой меридиан

изображение осевого меридиана

Рис. 3.15. Геометрическая интерпретация проектирования геодезической сети с эллипсоида на плоскость: а) на эллипсоиде; б) на плоскости

Обозначая углы на плоскости между хордами через βi′ , из рис. 3.15, б

где δпр и δлев – поправки за кривизну изображения геодезических линий

соответственно правого и левого направлений.

Кроме того, необходимо определить и ориентировку хорды 1'-2'. На плоскости ориентирование геодезических построений осуществляется с помощью дирекционного угла D (угла, заключенного между линией параллельной изображению осевого меридиана на плоскости и хордой,

стягивающей изображение геодезической линии на плоскости). Из рис. 3.15, б видно, что

Формулы (3.56) и (3.57) приближенные. Ошибка вычисления по (3.56) не превышает 1 – 2", а по (3.57) – 0.2 – 0.3".