Нахождение объемов тел вращения с помощью интегралов
– вокруг
оси абсцисс 
;
–
вокруг оси ординат 
.
В
данной статье будут разобраны оба
случая. Особенно интересен второй способ
вращения, он вызывает наибольшие
затруднения, но на самом деле решение
практически такое же, как и в более
распространенном вращении вокруг оси
абсцисс. В качестве бонуса я вернусь
кзадаче
нахождения площади фигуры,
и расскажу вам, как находить площадь
вторым способом – по оси 
.
Даже не столько бонус, сколько материал
удачно вписывается в тему.
Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.
Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
Пример 1
Вычислить
объем тела, полученного вращением
фигуры, ограниченной линиями 
, 
вокруг
оси 
Решение:
Как и в задаче на нахождение площади, решение
начинается с чертежа плоской фигуры.
То есть, на плоскости 
необходимо
построить фигуру, ограниченную
линиями 
, 
,
при этом не забываем, что уравнение 
задаёт
ось 
.
Как рациональнее и быстрее выполнить
чертёж, можно узнать на страницах Графики
и свойства Элементарных функций и Определенный
интеграл. Как вычислить площадь фигуры.
Это китайское напоминание, и на данном
моменте я больше не останавливаюсь.
Чертёж здесь довольно прост:
Искомая
плоская фигура заштрихована синим
цветом, именно она и вращается вокруг
оси 
В
результате вращения получается такая
немного яйцевидная летающая тарелка,
которая симметрична относительно оси 
.
На самом деле у тела есть математическое
название, но по справочнику что-то лень
уточнять, поэтому едем дальше.
Как вычислить объем тела вращения?
Объем тела вращения можно вычислить по формуле:
В
формуле перед интегралом обязательно
присутствует число 
.
Так повелось – всё, что в жизни крутится,
связано с этой константой.
Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.
Функция 
…
что это за функция? Давайте посмотрим
на чертеж. Плоская фигура ограничена
графиком параболы 
сверху.
Это и есть та функция, которая
подразумевается в формуле.
В
практических заданиях плоская фигура
иногда может располагаться и ниже оси 
.
Это ничего не меняет – подынтегральная
функция в формуле возводится в квадрат: 
,
таким образом интеграл
всегда неотрицателен,
что весьма логично.
25. Д.У. С разделяющимися переменными и метод его решения.
Дифференциальное
уравнение называется уравнение
с разделяющимися переменными,
если его можно записать в виде: y’=
,
т.е. если его правая часть есть произведение
2 функций, одна из которых зависит от н,
а другая от х
q(y)
Уравнение
вида 
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Это
уравнение может быть приведено к
уравнению с разделенными переменными
путем деления обеих его частей на
выражение 
или .
Общий интеграл полученного уравнения имеет вид:
.
Пример
Дано
уравнение
или 
.
Разделим
переменные 
и
интегрируем 
.
В результате вычисления получим:
.
Это
выражение можно записать в иной
форме:
т.к.
всякое число можно представить в виде
логарифма другого.
28.Основные понятия комбинаторики: перестановка, размещение и сочетание….
Для вычисления благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов широко используются формулы комбинаторики.
Если
составляются такие комбинации из n
элементов по m,
которые отличаются друг от друга только
составом элементов, то они называются
сочетаниями.
Общее число сочетаний из n
элементов по m
определяется по формуле
.
Если комбинации отличаются не только
составом элементов, но и порядком их
следования, то она называются размещениями.
Их число находится по формуле
.
Если комбинации берутся из всехn
элементов и отличаются только порядком
следования элементов, то они называются
перестановками.
Их число равно
