46. Геометрическое распределение и ее характеристики.

Геометрический закон распределения имеет место в таких науках как микробиология, генетика, физика. На практике эксперимент или опыт осуществляют до первого появления успешной события А. Число проведенных попыток будет целочисленной случайной величиной 1,2,....Вероятность появления события А в каждом опыте не зависит от предыдущих и составляет p, q=1-p. Вероятности возможных значений случайной величины Х определяется зависимостью

Есть во всех предыдущих опытах кроме k-го експернимент дал плохой результат и только в k-му был успешным. Данную формулу вероятностей называют геометрическим законом распределения, поскольку правая его часть совпадает с выражением общего элемента геометрической прогрессии.

В табличной форме геометрический закон распределения имеет вид

При проверке условия нормировки используется формула суммы бесконечной геометрической прогрессии

Вероятностную образующую функцию выражаем по формуле

Поскольку то образующую функцию можно просуммировать

Числовые характеристики для геометрического закона распределения вероятностей определяют по формулам:

1. Математическое ожидание

2. Дисперсию и среднее квадратическое отклонение по формулам

3. Коэффициент асимметрии и эксцесса для геометрического распределения определяют по формуле

Среди дискретных случайных величин только геометрическому закону дано свойство отсутствия последействия. Это означает, что вероятность появления случайного события в k-ом эксперименте не зависит от того, сколько их появилось до k-го, и всегда равна p

49. Формула Лапласа для определения вероятностей для нормального распределения.

В схеме Бернулли (см. предыдущий пункт) распределение вероятностей - биномиальное. При большом количестве проводимых испытаний биномиальное распределение приближается к нормальному с параметрами a = np, σ = √(npq). На этом факте и основано применение приближённых формул Лапласа. Условия применения формул - схема Бернулли (проводимые испытания независимы, вероятность наступления события в каждом испытании постоянна). Тогда вероятность того, что при n испытаниях интересующее нас событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближённо равна

Чем больше n, тем ближе значение вероятности к точному. Значения функции можно вычислить с помощью инженерного калькулятора. Если есть под рукой таблица значений функции плотности стандартного нормального распределения 1/√2π·e(-x2/2), то сначала вычисляем величину x = (k-np)/√npq, а потом смотрим нужное значение.

52. Понятие случайной выборки и статистического ряда.

Эмперическая функция распределения.

Выбор n элементов из генеральной совокупности N элементов называют простым случайным выбором, если все наборы из n > элементов имеют одинаковую вероятность быть выбранными. В этом случае говорят о случайной выборке объема n . Случайную выборку объема n можно получить, извлекая из генеральной совокупности по одному элементы последовательно и чисто случайно. Однако следует понимать, что только для совокупности достаточно больших объемов N извлечение одного или нескольких элементов мало меняет вероятности выбора. Следовательно, на практике случайности выборки можно добиться лишь приближенно.

В настоящее время достаточно надежными методами простого случайного отбора являются:

а) метод, использующий соответствующую программу персонального компьютера;  б)  метод, использующий таблицу случайных чисел.

Статистическое наблюдение можно организовать как сплошное и несплошное. Сплошноепредусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности явления, несплошное –лишь ее части. К несплошному относится и выборочное наблюдение.

Выборочное наблюдение является одним из наиболее широко применяемых видов несплошного наблюдения. В основе этого наблюдения лежит идея о том, что отобранная в случайном порядке некоторая часть единиц может представлять всю изучаемую совокупность явления по интересующим исследователя признакам. Целью выборочного наблюдения является получение информации прежде всего для определения сводных обобщающих характеристик всей изучаемой совокупности. По своей цели выборочное наблюдение совпадает с одной из задач сплошного наблюдения, и поэтому встает вопрос о том, какое из двух видов наблюдения – сплошное или выборочное – целесообразнее провести.

При решении этого вопроса необходимо исходить из следующих основных требований, предъявляемых к статистическому наблюдению:

• информация должна быть достоверной, т. е. максимально соответствовать реальной действительности;

• сведения должны быть достаточно полными для решения задач исследования;

• отбор информации должен быть проведен в максимально сжатые сроки для использования ее в оперативных целях;

• денежные и трудовые затраты на организацию и проведение должны быть минимальными.

При выборочном наблюдении эти требования обеспечиваются в большей мере, чем при сплошном. Преимущества этого метода по сравнению со сплошным можно оценить, если оно организовано и проведено в строгом соответствии с научными принципами теории выборочного метода, а именно обеспечение случайности отбора единиц и достаточного их числа. Соблюдение этих принципов позволяет получить такую совокупность единиц, которая представляет всю изучаемую совокупность по интересующим исследователя признакам, т. е. является репрезентативной (представительной).

При проведении выборочного наблюдения обследуются не все единицы изучаемого объекта, т. е. не все единицы совокупности, а лишь некоторая специально отобранная часть. Первый принцип отбора– обеспечение случайности – заключается в том, что при отборе каждой из единиц изучаемой совокупности обеспечивается равная возможность попасть в выборку. Случайный отбор – это не беспорядочный отбор, а отбор при соблюдении определенной методики, например осуществление отбора по жребию, применение таблицы случайных чисел и т. д.

Второй принцип отбора – обеспечение достаточного числа отобранных единиц – тесно связан с понятием репрезентативности выборки. Так как любое выборочное наблюдение проводится с определенной целью и четко сформулированными конкретными задачами, то понятие репрезентативности как раз и связано с целью и задачами исследования. Отобранная из всей изучаемой совокупности часть должна быть репрезентативной прежде всего в отношении тех признаков, которые изучаются или оказывают существенное влияние на формирование сводных обобщающих характеристик.

В выборочном наблюдении используются понятия «генералъная совокупность» – изучаемая совокупность единиц, подлежащая изучению по интересующим исследователя признакам, и«выборочная совокупность» – случайно отобранная из генеральной совокупности некоторая ее часть. К данной выборке предъявляется требование репрезентативности, т. е. при изучении лишь части генеральной совокупности полученные выводы можно применять ко всей совокупности. Характеристиками генеральной и выборочной совокупностей могут служить средние значения изучаемых признаков, их дисперсии и средние квадратические отклонения, мода и медиана и др.

Исследователя могут интересовать и распределения единиц по изучаемым признакам в генеральной и выборочной совокупностях. В этом случае частоты называются соответственногенеральными и выборочными.

Система правил отбора и способов характеристики единиц изучаемой совокупности составляет содержание выборочного метода, суть которого состоит в получении первичных данных при наблюдении выборки с последующим обобщением, анализом и их распространением на всю генеральную совокупность с целью получения достоверной информации об исследуемом явлении.

Репрезентативность выборки обеспечивается соблюдением принципа случайности отбора объектов совокупности в выборку. Если совокупность является качественно однородной, то принцип случайности реализуется простым случайным отбором объектов выборки. Простым случайным отбором называют такую процедуру образования выборки, которая обеспечивает для каждой единицы совокупности одинаковую вероятность быть выбранной для наблюдения, для любой выборки заданного объема.

Таким образом, цель выборочного метода – сделать вывод о значении признаков генеральной совокупности на основе информации случайной выборки из этой совокупности