41. Числовые характеристики случайной величины.( мат. Ожидание, дискрет.Величниа)

Дисперсией дискретной случайной величины называется матем. ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее матем. ожидания. D(x)=M

Теорема. Дисперсия равна разности между матем.ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее матем.ожидания D(x)=M(-

Теорема. Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаний, в каждой из которых вероятность р появления собития постоянна, равно произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании D(x)=npq

–среднее квадратичное отклонение

Коэффициент вариации— это отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значение случайной величины на их вероятности.

Теорема. Матем. ожидание числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании М(х)=nр

44. Биноминальное распределение и ее характеристики.

Случайная величина, принимающая значение с вероятностями , где i=0, 1, 2,..., n, q=1-р, 0<p<1, называется биномиально распределенной случайной величиной

Биноминальное распределение - это распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р = const. Кроме события А может произойти также противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā) = 1 - р = q.

Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний:

где pn - вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит n раз;

qn - вероятность того, что при n испытаниях событие А не наступит ни разу;

- вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз, а событие Āнаступит n-m раз;

- число сочетаний (комбинаций) появления события А и Ā.

Числовые характеристики биноминального распределения:

М(m)=np - математическое ожидание частоты появления события А при n независимых испытаниях;

D(m)=npq - дисперсия частоты появления события. А;

- среднее квадратическое отклонение частоты.

50.Теорема Чебышева. Закон больших чисел.

Неравенство Чебышева.

–неравенство Чебышева.

Это неравенство позволяет оценить вероятность того, что

Теорема Чебышева.

Пусть имеется конечная последовательность независимых случайных величин с одним и тем же матем.ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной. Тогда каково бы ни было положительное число а, вероятность события стремиться к единице при n

Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых

условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачи-

вает случайный характер и становится закономерным (иначе говоря, случайные отклоне-

ния от некоторого среднего поведения взаимно погашаются). В частности, если влияние

на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы

приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в

группе теорем, называемой законом больших чисел

47.Гипергеометрическое распределение. Пусть задано некоторое множество однотипных элементов, число которых равно N; из них K элементов имеют, например, признак А (цвет, стандартность, наполнения), а остальные N-K элементов - признак В. С этого множества наугад берут n еэлементов. Случайная величина X – число элементов с признаком вида А, что случается среди n наугад взятых элементов. Тогда X принимает значения k=0,1,2,...,min(n,K) , а вероятность их появления определяется гипергеометрическим законом распределения

В табличной форме записи этот закон распределения имеет вид

Напомним, что сочетание находим по формулеа факториал функцию по правилу–  При n=k і k=0 сочетание равное единице.Условие нормировки для гипергеометрического распределения имеет видВ зависимости от условия задачи наименьшее значение может составлять m = 0, 1, 2, 3, ..., m. Числовые характеристики этого закона вычисляются по приведенным ниже формулам: 1. Математическое ожидание

2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

3. Для асимметрии

и эксцесса