III. Репрезентативность выборки

“Тайну вы, надеюсь, сохраните”

За день до выборов в бундестаг в газетах публикуются данные опросов населения, предсказывающие с точностью до 1% исход изби­рательной кампании. Читатели удивлены: эти результаты получены на основании 1800 интервью. Выбор этих 1800 опрашиваемых, создание “репрезентативной выборки” часто считается неким тайным сред­ством демоскопии.

В действительности математико-статистический аппарат соста­вляет ту часть демоскопического метода, которая наиболее понятна, легче всего усваивается, а также достаточно разработана, по этим во­просам имеется богатая специальная литература.

Прогнозы выборов в государственные органы убедительно доказы­вают, что выборочный метод можно применять при организации опросов, то есть в работе с людьми. Рассмотрение такого рода приме­ров делает понятным, как по результатам опросов нескольких сотен и тысяч людей можно судить о поведении и установках миллионов.

Про американца доктора Джорджа Гэллапа часто говорят, что он изобрел “исследование общественного мнения”, “выборочный опрос”. Это не так, репрезентативные опросы развивались постепенно начиная с конца XVIII века. Гэллап привлек всеобщее внимание к ис­следованиям общественного мнения и добивался доверия к выбороч­ному методу. Особое значение имела его драматическая борьба в 1936 году с американским журналом “Literary Digest”, когда Гэллап проводил выборочные опросы с несколькими тысячами интервью, а его про­тивники подготовили неверный прогноз на основании колоссального исследования с рассылкой 10 млн. анкет.

Сравнительно небольшая ошибка в прогнозе Гэллапа в 1948 году -5% отклонения от действительных результатов голосования, но прежде всего выбор для опроса “не тех” людей - снова оживила все сомнения. К тому же возникла теория пригодности выборочного ме­тода только для обществ ярко выраженной социальной интегрированности, как, например, американское. Утверждалось, что в Германии будто бы выборочный метод неприменим. Эта точка зрения снова была убедительно опровергнута прогнозами выборов в ФРГ.

Вероятностные расчеты, на которых базируется выборочный метод и которые объясняют также степень точности прогнозов выборов, де­лались уже в XVII веке. Но лишь в начале XX века была найдена связь между математикой, лежащей в основе “закона больших чисел”, и опросами населения.

В следующем разделе объясняется “закон больших чисел” и его применение в репрезентативных опросах.

Математическая основа выборочного метода - “закон больших чи­сел”.

Если из большого мешка с орехами достать любые 10 штук и 5 из них будут пустыми, можно делать выводы о содержимом всего мешка. Педант, однако, возразит, что ничего еще не известно об остальных орехах в мешке, и он будет, безусловно, прав: утверждать можно лишь то, что в мешке сверху не менее 5 пустых и не менее 5 полных орехов. Но если признать его абсолютную правоту, то, следуя его образу мыс­лей, пришлось бы вообще отказаться от оценок и выводов, так как в действительности невозможно или почти невозможно получить пол­ные и точные сведения о всех предпосылках для различного рода оце­нок и выводов.

Если теперь человек, который вытащил 5 пустых орехов, сделает из этого вывод, что в мешке “почти половина” всех орехов пустые, то он имеет для этого определенное основание. Большинство оценок, с по­мощью которых мы ориентируемся в нашем поведении, основано на еще более скудном опыте.

Правда, статистик считает выборку в 10 штук недостаточной и с по­мощью вероятностных расчетов объясняет, почему он так неохотно делает выводы на основании такого небольшого количества. Легко вычислить, что в нашем случае имеется в виду, когда говорят “почти половина”, то есть насколько оценка соответствует действительному содержанию мешка.

При этом важно не то, сколько штук каждого сорта имеется, а то, ка­ково соотношение или каков состав в процентах. Статистические данные о больших количествах чего-либо обычно даются в процентном выражении. Если содержимое мешка хорошо, то есть равномерно пе­ремешано, для нас безразлично, каков его объем: содержит ли он 2000, 20 000 или два миллиона орехов.

Статистик может лишь строить предположения о том, какова веро­ятность того, что доля пустых орехов в нашем мешке не превысит определенной величины. Так, покупатель может интересоваться., ка­кова вероятность того, что не более 80% орехов пустые. В выбранном примере с 10 орехами, из которых 5 плохих, можно с вероятностью 49 из 50 утверждать, что пустых орехов в мешке не более 80%. Иначе го­воря, шансы находятся в отношении 49:1, что в мешке не больше 80% пустых орехов. И они находятся в отношении только 3:1, что в мешке максимум 60% гнилых орехов.

Рис.9

Человека, которого интересует этот мешок орехов, не удовлетво­рят такие неточные сведения. Он попытается выяснить точнее, какую часть содержимого мешка будут составлять пустые орехи. Статистик ему посоветует увеличить выборку, то есть взять из мешка не 10, а, мо­жет быть, 100 орехов. Если получится результат 50 пустых на 50 целых орехов, то можно предположить с вероятностью 95 из 100, что часть полных орехов в мешке составляет от 40 до 60% и с вероятностью 99 из 100, что в мешке не меньше 35% и не больше 65% плохих орехов.

Если заинтересованный человек не удовлетворится этим расчетом, то из мешка нужно будет достать еще больше орехов, например 1000 штук. Если в этом случае снова окажется 500 пустых орехов и 500 пол­ных, то имеется вероятность 95 из 100, что мешок содержит полных орехов не меньше 47 процентов и не больше 53 процентов. Мы видим, что надежность предсказания о содержимом мешка увеличивается с увеличением числа проверяемых орехов, с увеличением выборки. Как получаются эти данные о надежности статистических предсказаний, показывают рисунки 9 и 10.

Рассмотрим сперва рис. 9. Кривая показывает, в каких границах может колебаться количество полных орехов в содержимом мешка, если выборка из 100 орехов привела к результату 50 : 50. Кривая протянулась точно через 100 клеточек в пределах от 45 до 55 процентов. Следовательно, имеется вероятность в две трети за то, что в мешке нахо­дится не меньше 45 процентов и не больше 55 процентов полных орехов.

Если продолжать уточнение предсказания, то надо принять в расчет также в не заштрихованную часть внутри кривой на рисунке 9. Как это происходит, показано на рис. 10. Здесь заштрихованная часть покрывает точно 95 клеточек, но теперь в пределах границ от 40 до 60 процентов. Тем самым получают 95 процентов вероятности, что содержимое мешка состоит не менее чем на 40 процентов и не более чем на 60 процентов из полных орехов. Изображенная на рисунках 9 и 10 кривая принимает другую форму, если выборка составляется уже не из 100 элементов, а из 1000 элементов. Теперь допуск ста­новится еще меньше, чем на выборке из 100 единиц: рис. 11 является доказательством того, что это утверждение справедливо. Для сравнения здесь еще раз дан контур для вы­борки в 100 единиц. При выборке в 1000 единиц допуски больше 5 процентов крайне редки.

рис. 10

Точность измерения проще всего можно охарактеризовать так называемым “сред­ним квадратичным отклонением”, которое играет большую роль в физических, астрономических и геодезических измерениях. Вероятность того, что эффективная ве­личина лежит в пределах этих отклонений, составляет две трети. Вдвое большие откло­нения имеют ожидаемую величину в 1/20; кроме того, вероятность резко снижается до самых малых величин.

Это “среднее квадратичное отклонение” (часто его называют также “стандартной ошибкой”) для двух приведенных выше примеров: при выборке в 100 элементов она со­ставляет 5 процентов, при выборке в 1000 элементов только 1,6 процента. При выборке в 2000 элементов она уменьшится еще до 1,1 процента. При удвоении выборки так назы­ваемая стандартная ошибка не уменьшается вдвое. Для того, чтобы уменьшить ошибку вдвое, нужно увеличить выборку в четыре раза. Точность измерений, таким образом, растет намного медленнее - так в подзорной трубе для удвоения изображения соответ­ственно требуется вчетверо больше усилий.

Надежность статистического вывода зависит не только от объема выборки, но и от соотношения выборки и величины всей группы, которую хотят рассмотреть особо. До сих пор мы удовлетворялись констатацией, что в наших выборках поровну пустых и полных орехов. А что можно сказать, если из 100 элементов 10 пустых и 90 полных оре­хов? Теория учит, что тогда мы имеем дело с меньшими допусками (рис. 12). Тогда от­клонения больше 5 процентов бывают значительно реже. Количество не заштрихованных клеточек в поле кривой тогда составляет 10, и мы имеем 9 шансов из 10 за то, что ме­шок содержит не менее 5 и не более 15 процентов пустых орехов. Если еще раз исполь­зовать изображение кривой с соотношением 50 : 50 плохих и хороших орехов (рис. 13), то сразу можно заметить, что там вероятность отклонения более 5 процентов была зна­чительно ближе. 33 клеточки оставались вне заштрихованного участка поля кривой: так что у нас один шанс из двух третей за то, что мешок заполнен не менее чем на 45 и не бо­лее чем на 55 процентов пустыми орехами.

Каков должен быть объем выборки, зависит от требуемой точности выводов или лучше от того, какая точность решения данной проблемы необходима и достижима. Для некоторых естественнонаучных и меди­цинских исследований возможность статистической оценки 50 случаев уже значительна. Иногда это могут быть также и миллионы отдельных процессов, сведения о которых автоматически фиксируются измери­тельными инструментами.

О «законе больших чисел» в статистике говорят тогда, когда порядок стандартной ошибки тот же, что и при распространенных измерениях в торговле и на производ­стве. Измерения с ошибкой менее 1,6 процента в повсе­дневной жизни в общем проводятся только относительно времени и длины. Большинство весов, например буханки хлеба, имеют значительно большие допуски, почтовые весы редко имеют точность больше 2 процентов (это учиты­вается почтой).

Рис. 11

Рис. 12.

Рис.13.

Существует так называемый допуск при разливе, который становится действительно заметным только при 10 процентах и более. У дешевых измеритель­ных электрических инструментов допускаются отклонения около 5 процентов, на тахометрах автомобилей не ред­кость показания с ошибкой в 10 процентов. Пока расчет вероятности осуществляется правильно и указаны его предпосылки (для особого статистического случая), то результаты выборки в пределах от 200 до 2000 элемен­тов вполне могут конкурировать с измерениями, которые считаются в повседневной жизни достаточно надежными и обязательными.

В основе всех этих примеров лежит «закон больших чисел», местом рождения которого является игорный стол. Со времени его первой формулировки, данной Симо­ном де Пуассоном, прошло более ста лет. В течение этого времени он претерпел многообразные интерпретации. Иные математики обосновывали его преимущественно теоретически, другие главным образом со стороны практи­ческой статистики. В редакции Антуана Огюстена Курно этот закон определяется следующим образом:

1. События, вероятность которых очень невелика, случаются очень редко.

2. Вероятность того, что отклонение относительной повторяе­мости от соответствующей вероятности не превышает заданную величину, будет тем больше, чем больше объем наблюдаемой серии.

Вывод: при достаточно большом объеме наблюдаемой серии относительная повторяемость соответствующей ей вероятности очень редко отклоняется больше, чем на заданную малую величину.

Этот закон приобрел такое же влияние в обла­сти физики, химии, биологии, медицины, физиологии и социальных наук, как и использование интегрально­го и дифференциального исчисления. Но статистикам не дает покоя недоверие, которое оказывают применению любой теории на практике. Имеется много сотен серий опытов с разноцветными шариками или с бросанием монет, игральных костей, а также многочисленные результаты анализа номеров рулетки, в которых проверялась при­годность теории вероятности. Все эти опыты в общей сложности подтвердили пригодность теории, исключая такие эксперименты, где, например, условия благоприятствовали появлению одних и тех же определенных чисел (неравномерные кости).

Вестергаард, например, из мешка, наполненного наполовину красными, наполовину белыми шариками, доставал 100 раз по 100 шариков: из них было 5011 белых шариков, 4989 красных. Так как шарики доставали сериями по 100 штук, то получили 100 выборок. Они оценивались по отдельности. Результат этих расче­тов для белых шариков представлен на рис. 14. Эта иллю­страция показывает, что в 9 из 100 выборок оказалось точно 50 белых шариков. В 11 из этих выборок было 49 белых шариков.

Только две выборки дали лишь 40 белых шариков. Кривая на рис. 14 показывает идеальный крайний случай при бесконечном повторении эксперимента. Если срав­нить ее контуры с контурами кривой на рисунке 9, то выявится полное совпадение.

Рис.14

Как уже сказано, так называемое стандартное отклонение превыша­ется в одной трети случаев, двойное стандартное отклонение - в сред­нем лишь 5 раз при 100 выборках. В результатах эксперимента, изобра­женных на рис. 14, стандартное отклонение составляет 5 процентов. Последующий расчет приводит к выводу, что только 30 выборок дают отклонение больше 5 процентов и 5 выборок находятся за пределами двойного стандартного отклонения, то есть отклоняются от средней величины больше чем на 10 процентов.

Этот и многие другие экспери­менты, а также эксперименты с косвенным доказательством, особенно в физике, не оставляют сомнения, что с помощью вероятностного ис­числения возможно получить достаточно точные результаты. Правда, для этого необходимы определенные предпосылки для расчетов - проблема, которая заслуживает специального рассмотрения. Уже наш пример с орехами в мешке требует дополнительного исследования, не переместились ли пустые орехи наверх вследствие случайного сотря­сения мешка и не накопились ли они там, или не было ли в мешке од­ного сорта в среднем больше, чем другого, и поэтому таких орехов в выборке оказалось больше.

Правило получения корректной выборки из совокупности в про­стейшей формулировке гласит: каждый элемент совокупности должен иметь равные возможности попасть в выборку. Этим предусматрива­ется также, что выборочный метод можно применять всегда там, где имеется совокупность однородных, но различимых членов или состав­ных частей или других единиц. При этом не обязательно, как в нашем примере с орехами, иметь дело с предметами. Те же законы пригодны также для анализа событий и случаев, и поэтому игры в кости или в ру­летку также являются популярными примерами: при этом отдельные броски или туры игры являются единицами совокупности внутри од­ной игровой серии. На таких простых примерах может эксперименти­ровать каждый, кто захочет проверить сам, как с увеличением числа случаев соотношения становятся все более точными.

Для объяснения и простой проверки выборочного метода особенно хороши кости или белые и черные шарики. На практике все же обычно нас интересуют другие совокупности: в анкетном исследовании речь идет большей частью о населении или важных группах населения, то есть совокупностях взрослых людей, или избирателей, или домашних хозяек. Элементы таких совокупностей - люди. Таким образом, выполняется указанное выше условие применения выборочного метода: элементы совокупности однородны, но различимы.

Кто не понимает этого важного пункта, может подумать, что закон больших чисел найден на игральных костях или на белых и черных ша­риках, и поэтому было бы наивным применять его к людям. Это, коне­чно, полное непонимание сути дела. Теория выборочного метода - это математическая модель, которая применима на практике всегда, если имеются определенные условия. Разумен и соответствующим обра­зом применяемый выборочный метод - прекрасный пример того, как человеческий разум может упорядочить многообразие явлений и расч­ленить их в целях познания или для осуществления планомерной дея­тельности. Самое удивительное в этом принципе - его простота. Именно поэтому он может применяться ко всему многообразию пред­метов и явлений, которые для поверхностного наблюдателя не имеют между собой ничего общего.

Практическое применение этого принципа к населению и группам населения несравненно труднее, чем простые статистические экспери­менты, которые можно проводить, сидя за зеленым игорным столом. Если, например, нужно получить выборку населения в Германии, то понадобятся точные и полные данные, как распределяется население по землям, округам, районам и общинам и как люди или семьи регистрируются или учитываются официальными учреждениями.

Практическая трудность состоит, таким образом, в том, что трудно получить точные данные о всей совокупности, выборочная совокуп­ность формируется в процессе кропотливой работы, и затем людей опрашивают. Другое обстоятельство, которое бросается в глаза, на­против, не доставляет столько трудностей: люди в отличие от черных и белых шариков различаются не по паре признаков, а по бесчислен­ным признакам; для каждого из этих бесчисленных признаков соответ­ствующим образом справедлив закон больших чисел, если правильно применен выборочный метод и установлен надежный признак вы­борки.

Снова вернемся к нашему примеру с мешком орехов. Если по тому же принципу, по которому брались орехи из мешка, выбрать из всего населения Федеративной республики около 1000 человек, то их можно, например, делить на мужчин и женщин или на лиц, окончивших на­родную школу, и лиц с более высоким уровнем школьного образова­ния. Те же самые статистические вероятности, которые встречались в примере с мешком орехов, могут быть вычислены также для этой вы­борки и для всего населения. Если при этом выяснится, что на 1000 че­ловек приходится 550 женщин и 450 мужчин, то из этого будет сделан вывод, что все население составляют “приблизительно” 55 процентов женщин и 45 процентов мужчин. Затем можно указать вероятность, что в действительности женщин не менее 52 и не более 58 процентов: веро­ятность 95 из 100. Мы получаем здесь вероятность для оценки точности результатов выборки, как в примере с орехами.

Еще на одном примере следует показать, что выборка населения, если она произведена правильно, подчиняется тем же статистическим законам распределения, что и выборка на орехах или черных и белых шариках. На модели репрезентативной выборки в 4000 человек иссле­довалась частота посещения церкви германским населением. В выборочной совокупности были получены следующие результаты:

Посещение церкви	Июль/август %
Регулярно	30,3
Нерегулярно	24,6
Редко	28,6
Никогда	16,5
	100

Если эту выборочную совокупность из 4000 человек распределить на группы по 40 человек, то получим 100 подвыборок. Это распределе­ние создает такие же условия, как если бы опрашивали 100 репрезента­тивных выборок по 40 человек в каждой. Эти подвыборки не обяза­тельно обнаруживают один и тот же процент лиц, которые ходят в цер­ковь “редко”. В этих подвыборках получаются результаты с большим или меньшим отклонением. По закону больших чисел при этом не­большие отклонения должны встречаться чаще, чем значительные.

В дискуссии о результатах выборочных исследований часто упу­скают из вида, что незначительные различия между двумя результа­тами не должны сразу же становиться основой социологических или психологических интерпретаций. В таких случаях нужно сразу же обра­щаться к теории, так как она объясняет, является ли расхождение между двумя числами существенным или имеет лишь случайный ха­рактер. В дальнейшем эту проблему следует подробнее рассмотреть.

Репрезентативная выборочная совокупность взрослого населения Федеративной республики (900 мужчин и 1100 женщин) отвечала на во­прос: “Каково Ваше мнение: одобряете Вы или не одобряете введение всеобщей воинской повинности?”

37% мужчин и 40% женщин “одобряли”. Так как в обоих случаях речь идет о результатах выборочного исследования и статистические ошибки не исключаются, то возникает вопрос, не кроется ли причина расхождения в относительной неточности измерения и не получим ли мы для мужчин и женщин одинаковые результаты, если опросим все 38 миллионов взрослых.

Расчеты по формуле говорят о шансах около 9 процентов за то, что полученное расхождение может носить характер случайности. Наобо­рот, 91 шанс из 100 говорит за то, что женщины “одобряют” несколько чаще, чем мужчины. Однако для социолога этот результат был бы не­достаточно надежен, и он лишь предположил бы с оговорками, что женщины, по-видимому, чаще одобряют всеобщую воинскую повин­ность, чем мужчины. Напротив, он мог бы с полным правом утверж­дать, что мужчины значительно чаще “не одобряют” (55%), чем жен­щины (41%). Здесь он должен учитывать вероятность ошибки только в 0,0000001%.

Однако не следует допускать ошибку прямо противоположного свойства и оставлять без внимания все результаты, которые статисти­чески не являются значимыми. Не все значения в пределах допуска об­ладают одинаковой вероятностью быть выявленными в выборочном исследовании. Наиболее близкие к “истинному” значению обладают большей возможностью, это показано на рис. 15. Вследствие этого можно сказать: обнаруженное в выборочном исследовании значение (величина) обладает большей вероятностью, чем другие значения в пределах допуска, быть истинным значением. В случае незначимых ве­личин следует, кроме того, проверять, подтверждается ли это другими результатами; тогда их можно использовать для анализа слабо выра­женных тенденций.

Рис. 15

Рис. 15 показывает замеры в отдельности. Они подтверждают теоретические ожи­дания 27,5 процента “редких” посетителей церкви, то есть 11 из 40 опрошенных, име­лось, например, в 18 из 100 подвыборок; напротив, только в одной подвыборке их доля равнялась 10 процентам, то есть 4 из 40 опрошенных. Кривая показывает, какого распре­деления следовало ожидать, если бы исследовались не 100, а любое большое количе­ство подвыборок.

Объяснение к работе со следующими таблицами: для читателя, интересующегося ма­тематикой, даются табл. I и II, где он может найти числовые значения ошибок и гра­ницы надежности.

Предположим, что в выборке из 500 человек 25% составляют холостые. На табл. I ищут n = 500 и p - оценку 25/75. В точке пересечения находят  = 1,94 процента. Теперь можно вычислить с вероятностью 68,269 процента, что доля холостых в действительно­сти находится где-то между 23 и 27 процентами. Наряду с этим остается еще вероят­ность в 31,731 процента, что в действительности имеется меньше 23 процентов и более 27 процентов холостых. Для кого эта надежность слишком мала, тот может поискать на табл. П соответствующую величину для 2  = 3,88 процента. Здесь ожидаемая вероят­ность составляет 95,45 процента, то есть доля холостых приблизительно находится в пределах от 21 до 29 процентов.

Таблица I

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОТКЛОНЕНИЯ

Значения - простое стандартное отклонение (%)

Уровень значимости 68,269%

n - величина выборочной совокупности

р - частота признака в генеральной совокупности (%)

					Р
n	50 50	40 60	30 70	25 75	20 80	15 85	10 90	8 92	5 95	2 98
100	5,00	4,90	4,6	4,33	4,00	3,57	3,00
150	4,08	4,00	3,76	3,54	3,26	2,91	2,45	2,20
200	3,55	3,47	3,26	3,07	2,84	2,53	2,13	1,91	1,55
250	3,16	3,10	2,91	2,75	2.53	2,26	1,90	1,71	1.38	0,89
300	2,90	2,84	2,65	2,50	2,32	2,07	1,74	1,57	1,26	0,81
400	2,50	2,45	2,30	2,16	2,00	1.78	1,50	1,35	1,09	0,70
500	2,24	2,20	2.06	1,94	1,80	1,60	1,34	1,21	0,97	0,63
600	2,05	2,00	1,89	1,78	1,64	1,46	1,23	1,11	0,89	0,57
700	1,89	1,85	1,74	1,64	1,51	1,35	1,13	1,02	0,82	0,53
800	1,77	1,73	1,63	1,53	1,42	1,26	1,06	0,95	0,77	0,50
1000	1,58	1,55	1,45	1,37	1,26	1,13	0,95	0,85	0,69	0,44
1200	1,45	1,42	1,33	1,25	1,16	1,03	0,86	0,78	0,63	0,41
1400	1,35	1,31	1,23	1,16	1,07	0,96	0,81	0,72	0,59	0,38
1600	1,25	1,22	1,15	1,08	1,00	0,90	0,75	0,68	0,55	0,35
1800	1,18	1,16	1,09	1,02	0,95	0,84	0,71	0,64	0,51	0,33
2000	1,12	1,10	1,03	0,97	0,90	0,80	0,67	0,60	0,49	0,31
2500	1,00	0,98	0,92	0,86	0,80	0,71	0,60	0,54	0,44	0,28
3000	0,92	0,90	0,84	0,79	0,73	0,65	0,55	0,50	0,40	0,26
4000	0,79	0,77	0,73	0,69	0,63	0,56	0,47	0,43	0,34	0,22
5000	0,70	0,69	0,65	0,61	0,56	0,50	0,42	0,38	0,31	0,20
6000	0,65	0,64	0,60	0,56	0,52	0,46	0,39	0,35	0,28	0,18
7000	0,60	0,59	0,55	0,52	0,48	0,43	0,36	0,32	0,26	0,17
8000	0,56	0,55	0,52	0,48	0,45	0,40	0,34	0,30	0,24	0,16
10000	0,50	0.49	0,46	0,43	0,40	0,36	0,30	0,27	0,22	0,14
15000	0,41	0,40	0,38	0,35	0,33	0,29	0,24	0,22	0,18	0,11

Примечание. Пустоты в правом верхнем углу объясняются тем, что между малень­ким “n” и маленьким “р” (или при “р” близком к 100%) величина  не может быть выра­жена одним числом. (Биномное распределение заметно асимметрично и отклоняется от нормального распределения, то есть числовые выражения ошибок в направлениях вверх и вниз принимают различные значения.) Стандартную ошибку (“среднюю ошибку”) определяют по формуле

где q == 1 - р базовая вероятность непоявления признака,

Таблица 11