7. Показатель точности

Апостериорное значение МПТ

, (K.33)

содержит в числителе квадратичную форму, получение которой необходимо проконтролировать. Следующая цепочка матричных преобразований даёт необходимое контрольное выражение (использовано выражение (K.19)):

=. (K.82)

Для случая независимых наблюдений формулы (K.82) и (К.33) имеют алгебраические эквиваленты, представленные в символах Гаусса:

, . (К.83)

Вычисление величины ² по формуле (K.33) или (К.83) не контролируется.

8-9. Ковариации и a priori

Вычисление ковариационной матрицы МНК-поправок в измерения

может быть проконтролировано тождеством

= r. (K.84)

Стоящая в левой части формулы (K.84) сумма отношений дисперсий является следом произведения двух матриц: и K^-1, т.е.

tr(*K^-1) = . (K.85)

Покажем это на примере трёх измерений.

Пусть

, а .

Произведение этих матриц равно:

,

где k_ij = K_ij / σ_j², а след матрицы – это и есть искомая сумма (K.84).

Определим интересующий нас след для алгоритма коррелатной версии:

= r. (K.86)

Итак, контрольное тождество (K.84) доказано.

В среднем, дисперсии МНК-поправок в измерения и дисперсии независимых измерений (они же дисперсии истинных поправок) относятся как число избыточных измерений «r» к числу всех измерений «n»:

/ n = r / n. (K.87)

Из последнего соотношения следует, что модули МНК-поправок в измерения в среднем короче модулей истинных поправок , т.е.

/ ≈. (К.88)

Априорная ковариационная матрица уравненных измерений, как это показано в параграфе о статистических свойствах, представляет собой разность ковариационных матриц измерений y_n1 и МНК-поправок к ним :

.

Для контроля вычисления этой матрицы так же существует тождество

= k, (K.89)

доказательство которого аналогично предыдущему.

Во-первых,

= tr(*K^-1), (K.90)

а, во-вторых,

= n–r =k. (K.91)

10. Ковариации a posteriori

Апостериорная ковариационная матрица уравненных измерений получается путём умножения априорной матрицы на апостериорное значение МПТ ². Диагональные элементы матрицы участвуют в контроле процесса построения предваряющих её ковариационных матриц.

Апостериорная ковариационная матрица уравненных измерений

, (K.92)

позволяет использовать контроль (K.90), модулированный делением следа произведения *K^-1 на апостериорное значение МПТ μ²:

. (K.93)