13-03-2013_09-17-00 / 4_Ковариационная матрица

2. Ковариационная матрица случайного вектора

Квадратная симметрическая ковариационная матрица (КМ) случайного вектора X_n1 представляет собой упорядоченную совокупность парных корреляционных моментов компонентов случайного вектора:

K_X = {K_ij} = = {}. (С.1)

Величины Ẋ = X – E(X) – это центрированные значения компонентов случайного вектора X_n1, которому соответствует матрица K_X.

Условившись вынести [Шметт.] символ оператора математического ожидания E за скобки матрицы, получим матричную запись определения ковариационной матрицы:

K_X={}==

=E=

= E() = E((X_n1 – E(X_n1))*(X_n1 – E(X_n1))^T). (С.2)

В курсе ТВ и МС выводятся формулы для нахождения ковариационных матриц результатов линейного и нелинейного преобразований вектора X_{n 1}.

Когда Y_{m 1} = C_{m n} * X_{n 1} (линейное преобразование), то

K_Y = C * K_X * C^T. (С.3)

Если же Y_m1 = F_m1(X_n1) (нелинейное преобразование), то

K_Y = f_{m n}*K_X*f_{n m}^T, (С.4)

где f_mn = {F/X}_{m n} – матрица частных производных оператора нелинейного преобразования F_{m 1} по компонентам вектора X_{n 1}.

Ковариационная матрица случайного вектора, который был получен в результате некоторой технологии измерений, может иметь более простую структуру, учитывающую некоррелированность и/или равноточность исходных данных. Результаты можно систематизировать, описав четыре варианта структуры КМ, определяемые соотношениями коррелированность-некоррелированность и равноточность-неравноточность.

Виды ковариационной матрицы, обусловленные технологией измерений.

1.Коррелир., неравноточные

Ковариационная матрица

K_X =

2. Некоррелир., неравноточные

Дисперсионная матрица

K_X=D_X=

K_ij ≡ 0

i ≠ j

= = ^  = = ^

3. Коррелир., равноточные

Корреляционная матрица

K_X=^R_X=^

4. Некоррелир., равноточные

Единичная матрица

K_X=^I=^

K_ij ≡ 0

i ≠ j