Поэтапная реализация параметрической версии

1. Моделирование

Моделирование – определяющий этап всей процедуры МНК-опимизации и оценки точности. Система ПУС должна опираться на вектор линейно независимых параметров X_k1 и вектор координат опорных пунктов Z_q1, т.е.

Y_n1 = F_n1(X^T_1k; Z^T_1q), (П.1)

Вектор линейно независимых параметров может быть подвектором X_k1 = Y_k1 измеряемых величин Y_n1. Выбор в качестве линейно независимых параметров части измерений упрощает «k» первых уравнений системы (П.1): они будут простейшими линейными функциями. С остальными r = n–k уравнениями могут возникнуть большие сложности. ГП создаётся с целью координатизации некоторого пространства. В связи с этим удобно и выгодно в качестве линейно независимых параметров выбирать координаты пунктов создаваемого ГП.

В зависимости от вида измерений ПУС представляют собой различные явные функции координат ГТ. Приведём несколько примеров.

1) ПУС измеренного расстояния S_ij в пространстве XYZ между пунктами P_i и P_j:

; (П.40)

2) ПУС измеренного дирекционного угла на плоскости α_ij между пунктами P_i и P_j:

; (П.41)

3) ПУС измеренного плоского угла β_ikj на пункте P_k между пунктами P_i и P_j:

; (П.42)

4) ПУС измеренного превышения h_ij между пунктами P_i и P_j:

h_ij = X_j – X_i = H_j – H_i; (П.43)

5) ПУС измеренной вариации силы тяжести Δg_ij между пунктами P_i и P_j:

Δg_ij = X_j – X_i = g_j – g_i. (П.44)

Количество ПУС всегда равно числу измерений «n».

Производственные пакеты прикладных геодезических программ обычно опираются на алгоритм именно параметрической версии МНК-оптимизации данных в силу её однозначности в смысле ПУС.

Формирование ковариационной матрицы измерений K_y рекомендуется выполнять так, что бы её элементы были числами одного порядка. С этой целью можно прибегнуть к масштабированию СКО измерений, выражая их, допустим, не в радианной мере, а в угловой или не в метрах, а в сантиметрах и т.п. Необходимо помнить об этом при вычислении свободных членов ЛПУС L_n1.

Как отмечалось выше при рассмотрении КВ МНК-оптимизации, геодезические работы организуются таким образом, чтобы их результаты не были коррелированными. Ковариационная матрица измерений становится диагональной, а её элементы можно переобозначить с целью получения дальнейших результатов преобразований в традиционной форме:

K_y = K = diag{m₁², m₂² … m_n²} = diag{π₁, π₂ … π_n}. (K.48)

Величины π_i, входящие в ковариационную матрицу некоррелированных измерений (K.48), представляют собой обратные «веса»:

π_i = 1/p_i,

что было показано ранее.

В параметрической версии больше используется обратная ковариационная матрица, которая в случае некоррелированных измерений принимает вид

K^-1 = diag{1/π₁, 1/π₂ … 1/π_n} = diag{p₁, p₂ … p_n} = P (П.45)

Все процессы первого этапа контролируются только «во вторую руку».

2. Линеаризация

Линеаризованные ПУС получаются путём разложения в ряд Тейлора исходной системы (П.1):

A_{n k} X_k1 – L_n1 = v_{n 1}. (П.8)

Коэффициенты A_{n k}, неизвестные X_k1 и v_n1 , и свободные члены L_n1 этих уравнений традиционно записываются так:

, (П.46)

X_1k^T = (X₁, X₂, …, X_k), (П.47)

L_1n^T = (l₁, l₂, …, l_n), (П.48)

v_1n^T = (v₁, v₂, …, v_n). (П.49)

Выполнив матричные операции в (П.8), мы получим линеаризованные ПУС в алгебраической форме:

. (П.50)

Отметим, что ни нахождение элементов матрицы A_{n k}, ни вычисление свободных членов l_i не имеют контрольных соотношений. Выход один – вычисления «во вторую руку». Кроме того, напомним, что свободные члены линеаризованных ПУС l_i = y_i – F_i(x^T_1k z^T_1q) не имеют «допусков», так как их математическое ожидание не известно. Практически, тем не менее, они должны быть числами того же порядка, что и «невязки» УУС.

Дополнительно отметим, что матрицы коэффициентов условных и параметрических УС ортогональны: B_{r n}*A_{n k} = 0_{r k}, а свободные члены линеаризованных УС связаны между собой соотношением B_{r n}*L_{n 1} = W_{r 1}.