Поэтапная реализация коррелатной версии
1. Моделирование
Моделирование – важнейший, определяющий этап всей процедуры МНК-опимизации и оценки точности. Система УУС, моделирующих ГП, должна математически отображать связи, существующие между измеряемыми элементами: расстояниями, направлениями, углами, превышениями, вариациями ускорения силы тяжести и т.п.
Виды УУС различны и зависят от геометрии П-В, в котором создаётся ГП. Возможное множество УУС g превышает количество, линейно независимых УУС r. При этом УУС, как ММ, должны обеспечивать в исследуемом ГП:
а) единство координатной привязки (УУ абсцисс, ординат, высот и т.п.);
б) единство масштаба (УУ базисов, жёстких сторон, полюсов, «окон» в плановых сетях и т.п.);
в) единство ориентировки (УУ дирекционных углов, азимутов Лапласа, жёстких углов и т.п.);
г) геометрическую форму его элементов (УУ фигур, горизонта, накрест лежащих углов, замкнутых ходов и т.п.).
Необходимо отметить, что система УУС количественно ограничена числом r, а качественно допускает произвол в рамках одновременного обеспечения единств и форм.
Примеры:
а) УУ абсцисс для одиночного полигонометрического хода, имеющего угловую привязку, записывается следующим образом:
φX = ∑ΔXизм.–Xкон.+Xнач.= 0,
где
∑ΔXизм = s1*cos(αнач.+β1–π)+…+sk* cos(αнач.+β1+…+βp–k*π);
б) УУ полюса в точке пересечения диагоналей геодезического четырёхугольника с измеренными углами выглядит так:
;
в) УУ дирекционных углов в полигонометрическом ходе, имеющем угловую привязку, имеет вид:
φα = ∑βизм.– k*π–αкон.+αнач.= 0;
г) УУ фигур для измеренных углов в треугольнике сети триангуляции – это простейшая линейная функция:
φβ = β1+ β2 + β3 – π = 0;
д) УУ превышений в нивелирном ходе тоже линейно:
φh = h1+ h2 + … +hn – Hкон + Hнач= 0;
Система линейно-независимых УУС будет иметь вид;
r 1(YT1n; ZT1q) = 0r1 → (K.47)
Для гарантии линейной независимости очередного вновь вводимого УУ достаточно включить в него измерение, ранее не задействованное в предшествующих УУ. Тем не менее, может наступить момент, когда все измерения уже задействованы, но количество УУС ещё не достигло числа r. Здесь всё будет зависеть от опыта и внимательности составителя УУ. Он должен удовлетворить все выше перечисленные требования, предъявляемые к УУС.
Из сказанного становится понятным, с какими трудностями логического характера приходится сталкиваться при автоматизации данного этапа. Производственные пакеты прикладных геодезических программ, учитывая указанные проблемы, реализуют не коррелатную версию МНК-оптимизации данных, а параметрическую, вывод которой излагается в следующем разделе.
Формирование ковариационной матрицы измерений Ky рекомендуется выполнять так, что бы её элементы были числами одного десятичного порядка. С этой целью можно прибегнуть к масштабированию СКО измерений, выражая их, допустим, не в радианной мере, а в угловой или не в метрах, а в сантиметрах и т.п. При этом необходимо помнить, что соответствующие «невязки» УУС должны быть выражены в единицах того же масштаба.
Практически при выполнении геодезических работ последние организуются таким образом, чтобы их результаты не были коррелированными. В таком случае ковариационная матрица измерений будет диагональной матрицей, элементы которой можно переобозначить с целью получения дальнейших результатов преобразований в традиционной форме:
Ky = K = diag{m12, m22 … mn2} = diag{π1, π2 … πn}. (K.48)
Величины πi, входящие в ковариационную матрицу некоррелированных измерений (K.48), представляют собой обратные «веса»:
πi = 1/pi.
Покажем это. Веса определяются как величины, обратно пропорциональные дисперсиям. В качестве коэффициента пропорциональности выступает величина 02 1. Известно, что mi2 = 02 / pi. Отсюда окончательно получаем mi2 = 1 / pi = πi.