3. Математическая обработка геодезических измерений
3.1. Преамбула
Геодезия – информационная отрасль деятельности Человека, обеспечивающая координатизацию пространства-времени (П-В). Под пространством-временем будем понимать, следуя концепции Г.Н. Тетерина, [«ТР и МПГ, Н-ск,2006] «…Землю, околоземное пространство» и существующие в них поля.
Координатизация пространства-времени реализуется путём создания геодезических построений и выполнения в них соответствующих измерений и/или наблюдений.
Геодезическое построение (ГП) представляет собой пространственно-временную структуру, материализуемую системой стационарных или мобильных геодезических точек (ГТ), объединяемых в единое целое, систему. Каждая ГТ характеризуется положением в П-В, размерность которого d варьируется в зависимости от назначения ГП: высотные сети (d = 1), плановые сети (d = 2), 3d-сети и т.д.
Измеряя различные характеристики абсолютного и взаимного положения ГТ и используя числовые данные, собранные ранее, мы получаем числовую модель (ЧМ) этого построения, которую в дальнейшем будем называть геопространственными данными (ГД). Совокупность ГД, действительные (оптимальные по точности) значения которых предстоит оценить, имеет общий объём n единиц и образует вектор объективно существующих, но неизвестных, истинных значений своих элементов Yn1. Числовые значения ГД, полученные в процессе определения характеристик взаимного положения ГТ, образуют случайный вектор ГД yn1, для которого строится его ковариационная матрица
(Ky)nn = {Kij} = Knn, (K.1)
где Kij = E((yi – E(yi))*(yj – E(yj))) – корреляционный момент или ковариация i-го и j-го компонентов вектора yn1.
Не затрагивая фундаментальную проблему установления «исходных геодезических дат» и выбор «систем отсчёта», будем полагать, что в нашем распоряжении имеется хотя бы одна опорная ГТ zd1, положение которой в П-В размерности d известно. Если число опорных ГТ равно s, то вектор координат этих точек будет содержать q = s * d элементов, действительные значения которых могут быть представлены в виде вектора Zq1. Числовые значения этих величин zq1, полученные в ходе предшествовавших исследований и/или наблюдений, характеризуются соответствующей ковариационной матрицей
(Kz)qq. (K.2)
Число «p» вновь координируемых (определяемых) ГТ конкретного П-В обусловливает минимально необходимое количество измерений k = p * d, которые должны быть реализованы в ГП. Объективно существующие связи между элементами ГП позволяют сформировать его математическую модель (ММ). Такая модель обычно представляется либо в форме линейно независимых неявных функций измерений и опорных координат (условные уравнения связи (УУС)), либо в форме явных функций, выражающих каждое измерение через единую систему линейно независимых параметров и опорные координаты (параметрические уравнения связи (ПУС)), либо в форме комбинированных уравнений связи (КУС). Виды уравнений связи определяются топологией пространства, в котором производится координатизация.
Число линейно независимых УУС определяется «числом избыточных измерений» r = n – k. Количество ПУС равно количеству измерений n. Эти последние объединяются в систему с помощью вектора k линейно независимых параметров Xk1.
Условные уравнения связи – это неявные функции r1 истинных значений измеряемых величин Yn1 и координат опорных точек Zq1:
r1(YT1n; ZT1q) = 0r1, (K.3)
а ПУС – это явные функции истинных значений измеряемых величин Yn1 от параметров Xk1 и координат опорных точек Zq1:
Yn1 = Fn1(XT1k; ZT1q). (K.4)
В качестве линейно независимых параметров Xk1 может использоваться как часть компонентов вектора Yn1, так и другие элементы ГП, например, координаты ГТ, что более эффективно, так как определение координат ГТ – это и есть цель создания ГП, обеспечивающего координатизацию П-В. Числовые значения параметров Xk1 подлежат определению. Традиционные алгоритмы математической обработки результатов измерений полагают известными их приближённые значения xk1, которые рассматриваются как неслучайные величины. При этом формально обратная ковариационная матрица этого вектора принимается равной нулевой:
. (K.5)
Практически приближённые значения параметров xk1 вычисляют по некоторой части результатов измерений, что позволяет оценивать их ковариационную матрицу Kx, используя задействованные для этого измерения, а также их ковариационную матрицу Ky.
Уравнения связи (K.3) и (K.4) – это математические модели двух фундаментальных способов точностной оптимизации результатов измерений в геодезических построениях: коррелатного и параметрического.