Параметрическая версия мнк-оптимизации и оценки точности данных (Параметрический способ уравнивания)

Процесс математической обработки результатов измерений в ГП на основе параметрической версии отличается от вышеизложенной коррелатной версии тем, что каждая измеряемая величина Y_i представляется в виде явной функции F_i от вектора линейно независимых параметров X_k1, каковыми могут быть как некоторые измерявшиеся величины, так и другие параметры построения, например, координаты определяемых ГТ сети. При этом возникают те же три задачи, расширенные появлением дополнительных неизвестных – параметров. Первая – это нахождение НДЗ измеренных величин и параметров, вторая – оценка точности измерений и третья – оценка точности НДЗ измеренных величин и параметров, а так же функций от параметров.

Первая задача традиционно называется уравниванием измерений или, с учётом того, что «уравнивание» выполняется под условием минимума суммы квадратов уклонений результатов измерений от некоторых оптимальных значений, – МНК-оптимизацией.

Постановка задачи

Имеем «n» измеренных величин y₁, y₂, … , y_n, вектор реальных значений которых выглядит следующим образом Y_1n^T = (Y₁,…,Y_n). Они образуют некоторую систему и связаны между собой посредством линейно независимых параметров X_1k^T = (X₁,…,X_k). Такая система представляет собой математическую модель ГП и называется системой параметрических уравнений связи (ПУС):

Y_n1 = F_n1(X^T_1k; Z^T_1q), (П.1)

где «k» – число линейно независимых параметров, равное числу необходимых измерений, определяемому целью создания ГП.

Результаты измерений y_i (i = 1, 2, …, n), как это было и в коррелатной версии, характеризуются некоторой ковариационной матрицей

, (К.6)

у которой диагональные элементы представляют собой оценки дисперсий (квадраты СКО) каждой величины, которые находятся следующим образом:

= = (К.7)

Здесь – среднее арифметическое i – ого измерения, равное

= (К.8)

Корреляционные моменты (ковариации) K_ij могут быть оценены по формуле

(K.9)

По-прежнему, предполагается, что:

1) результаты измерений y_i необходимо отягощены только случайными ошибками и представляют собой элементы спектров соответствующих СВ Y_i, т.е. y_i Y_i. Тот факт, что измерения свободны от постоянных систематических ошибок, моделируется условием совпадения математического ожидания СВ Y_i и реального значения Y_i измерявшейся величины:

E(Y_i) = Y_i ; (K.10)

2) координаты опорных точек z_q1 = Z_q1 рассматриваются как безошибочные константы;

3) приближённые значения параметров x₁, x₂, … , x_k трактуются как неслучайные величины, на которые не действует оператор математического ожидания, т.е.

E(x_j) = x_j ; (П.2)

4) обратная ковариационная матрица таких параметров тождественно равна нулевой матрице:

. (П.3)

Резюмируя сказанное, сконцентрируем имеющуюся информацию.

Дано:

Проект ГП.

Схема, чертёж высотной или плановой геодезической сети.

Математическая модель ГП.

Y_n1 = F_n1(X^T_1k; Z^T_1q) – ПУС, где Y_i и Z_t – реальные значения измеряемых величин и исходных данных, X_j реальные значения параметров;

i = 1, 2, …, n; t = 1, 2, …, q; j = 1, 2, …, k.

Числовые данные.

y^T_1n = (y₁, y₂, … y_n) – вектор результатов измерений;

x^T_1k = (x₁, x₂, … x_k) – вектор приближённых значений параметров;

z^T_1q = (z₁, z₂, … z_t) – вектор координат опорных пунктов;

–ковариационная матрица измерений (стохастическое расширение математической модели).

Теоретические посылки.

Y_1n^T=(Y₁, Y₂, … Y_n) – вектор СВ Y_i, являющихся вероятностными моделями измерений;

E(Y_n1) = Y_n1 – условие отсутствия постоянных систематических ошибок в измерениях;

E(x_j) = x_j и – неслучайность приближённых значений параметров;

–априорное значение масштабного показателя точности измерений.

Найти:

1) НДЗ (уравненные значения) измеренных величин Ỹ_n1= и параметров ;

2) апостериорное значение показателя точности измерений – ;

3) апостериорные ковариационные матрицы НДЗ , и функций от НДЗ параметров : , и .

Решение.