Статистические свойства векторов-оценивателей алгоритма параметрической версии

Для решения задачи оценки точности измерений необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические аспекты, связанные с числовыми характеристиками промежуточных и окончательных значений случайных векторов, задействованных в алгоритме параметрической версии.

Числовые характеристики случайных векторов, реализующих алгоритм параметрической версии, – это их математические ожидания (МО) и ковариационные матрицы (КМ). Математические ожидания позволяют проверять гипотезу о несмещённости оценивающих функций (ОФ), каковыми являются полученные векторы алгоритма. Ковариационные матрицы содержат на диагоналях квадраты СКО компонентов векторов и позволяют судить об их точности. Получаемые данные сведены в Таблицу П.1.

Таблица П.1.

Вектор		Математические ожидания	Ковариационные матрица
1	2	3	4
1	yn1	E(y) = Y	Ky = K
2	xk1	E(x) = x
3	Хk1	E(Х) = Х
4	vn1	E(v) = 0	Kv = K
5	Ln1	E(L) = A*X	KL = K
6	Gk1	E(G) = N*X	KG = N
7	k1	E() = X	= N-1
8	n1	E() = 0	=K–AN-1AT
9	k1	E() = X
10	n1	E() = Y

Статистические свойства векторов-оценивателей параметрической версии мнк-оптимизации

2. Оценка точности измерений

Оценка точности измерений, как и прежде, заключается в нахождении апостериорного значения m² МПТ:

, (K.28)

априорное значение которого s₀² полагается равным единице, т.к. E(σ²) = 1:

. (K.29)

Вывод необходимой формулы вновь использует «след» квадратной матрицы и аналогичен выводу, сделанному в разделе «Коррелатная версия МНК-оптимизации геопространственных данных».

Выражения для истинных «v» и МНК-поправок «» к измерениям содержат одни и те же свободные члены «L»:

v_n1 = A_nk*x_k1 – L_n1

. (П.20)

Соотношения (П.20) позволяют установить связь между этими поправками:

v = –A*(– x). (П.21)

Практически мы будем иметь лишь МНК-поправки к измерениям . Следовательно, можно будет вычислить лишь квадратичную форму , математическое ожидание которой и позволит оценить апостериорное значение показателя точности m².

С помощью формулы (П.21) приходим к зависимости квадратичных форм:

v^TK^-1v = + (–x)^T*A^TK^-1A*(–x).

Отсюда, учитывая, что A^TK^-1A = N, получаем обратную зависимость:

= v^TK^-1v – (–x)^T*N*(–x). (П.22)

Поскольку квадратичная форма (П.22) является скаляром, то, используя свойства следа квадратной матрицы, мы получаем такой результат:

E() = E(tr()) = E(tr(v^TK^-1v)) – E(tr((–x)^T*N*(–x))) =

=E(tr(vv^TK^-1)) – E(tr((–x)(–x)^T*N)) = tr(E(vv^T)K^-1) – tr(E((–x)(–x)^T)*N) =

=tr(K_{n n}K_nn^-1) – tr(K_X*N_{k k}) = tr(I_{n n}) – tr(N_{k k}^-1*N_{k k}) = tr(I_{n n}) – tr(I_{k k}) = n – k. (П.23)

Фактически апостериорное значение МПТ измерений будет оцениваться по той же формуле, что и в коррелатной версии, так как n – k = r:

. (П.24)

Естественно, что математическое ожидание m² тождественно равно единице:

. (П.25)

Практически дробь (П.25) будет отличаться от единицы. Вновь, как это было сделано в коррелатной версии, проверяем на уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве параметра s² его априорному значению:

. (П.26)

Технология проверки нулевой гипотезы (П.26) реализуется так, как это было выполнено в случае коррелатной версии с использованием того же теста

(П.27)

и той же квантили χ²-распределения с (n – k) степенями свободы:

, (П.28)

где

, а . (П.29)

Если c_э² Ï c_Т², то нулевая гипотеза Н₀ – отвергается.