Бусыгин

451

Задача потребителя при данной цене p и долях α1 и α2 имеет вид v(α1x, α2x) – px →max x>0 ,

где x = x1 + x2 — это суммарный объем потребления двух неотличимых благ, причем x1 = α1x и x2 = α2x. При дифференцируемости функции v( ) дифференциальная характеристика внутреннего решения задачи потребителя имеет вид

Задача производителя обычная, только цены на два блага одинаковы: p1 = p2 = p:

p (y1 + y2) – c(y1, y2) →max y1>0,y2>0 .

При дифференцируемости функции издержек дифференциальная характеристика внутреннего решения задачи производителя имеет вид

Равновесие в данной модели — это такая цена -p, доли α-1, α-2, объемы потребления x-1, x-2 и объемы производства y-1, y-2, которые удовлетворяют следующим условиям:

1)Объемы потребления x-1 и x-2 являются решением задачи потребителя при цене -p и долях

α-1 и α-2.

2)Объемы производства -y1, -y2 являются решением задачи производителя при цене -p.

3)Рынки сбалансированы, т.е. x-1 = -y1 и x-2 = -y2.

4) Доли α-1 и α-2 являются долями продаж соответствующих благ на рынке, т.е. x-1 = α-1(x-1

+ x-2) и x-2 = α-2(x-1 + x-2).

Как известно, дифференциальная характеристика внутреннего Парето-оптимума имеет вид

Таким образом, для Парето-оптимальности внутреннего равновесия требуется выполнение условий

В частности, предположим, что v(x1, x2) = V(x1 + βx2), где функция V( ) имеет положительную производную. Здесь единица 2-го блага заменяет для этого потребителя β единиц 1- го. При этом

∂∂v = V′ и ∂∂v = βV′. x1 x2

Если β> 1, то равенство ∂v/∂x1 = ∂v/∂x2 не может быть выполнено.

Покажем, что в равновесии недопроизводится «более ценное» второе благо. Для этого мы укажем Парето-улучшение в дифференциалах для состояния равновесия. Пусть производство и потребление 2-го блага меняется на величину dx2 = dy2 > 0, и суммарное производст-

451

452

во двух благ не меняется, т.е. dx1 = dy1 = – dx2. При этом в первом приближении издержки производства не меняются:

Таким образом, затраты 3-го блага в производстве не меняются. Поэтому потребление 3- го блага не меняются (dz = 0).

Изменение полезности тогда составляет величину

Модель Акерлова: классическая постановка

Следующий пример демонстрирует модель Акерлова для простого случая двух градаций качества. Назовем товар высокого качества «грушей», а плохого — «лимоном»160. Каждый продавец знает, лимон или грушу он продает, полезность в деньгах сохранения лимона у себя равна c1, а груши — c2 (c2 > c1). Полезность лимона для типичного покупателя равна v1 >c1, а груши — v2 >c2, причем покупатель узнает только в процессе использования, лимон или грушу он купил. Он знает только вероятность µ попадания лимона среди всех продаж. Соответственно, вероятность попадания груши есть 1 – µ. Предположим, что покупатель нейтрален к риску. Цена p, которую он заплатил бы за покупку не превышает p′= µv1 + (1 – µ)v2. Если окажется, что эта цена не ниже резервной цены груши c2, то можно ожидать, что в равновесии происходит торговля и лимонами и грушами. Если же p′< c2, то никто из продавцов не вынесет на продажу груши, хотя их потенциальная полезность для покупателя выше. Это приводит к неоптимальности. Действительная вероятность µ′≠µ появления лимонов среди продаж станет выше. Когда покупатели узнают об этом по опыту, резервная цена покупателей еще более понизится. Такой рынок разрушается. Заметьте: если продавцы тоже не знают, лимон или грушу они продают, и являются, как и покупатели, нейтральными к риску, то торговля сохранится, и равновесие будет Паретооптимальным, так что добавление информации (несимметричное) ухудшает положение!

На рынке, описываемом некоторым вариантом модели Акерлова ситуация меняется, если возможно посредничество. Пусть есть эксперты по грушами и лимонами, которые могут, затратив c денежных единиц, отличить их. Посредники либо торгуют сами, либо дают платные советы. Если посредники дорожат репутацией, то оценивают товар достоверно. Перед потребителем выбор: покупать «кота в мешке» самому или заплатить за совет специалиста (либо покупать товары у посредников). Еще одним возможным решением проблемы асимметричности информации является гарантия. В момент совершения сделки покупатель не может определить качество товара, но это качество выявляется в процессе использования. Продавцу хорошего товара выгодно взять на себя обязательство замены или ремонта некачественного товара. Наличие гарантии служит сигналом для покупателя, что этот товар хороший. Сигнализированием называют действия владельцев лучшего товара, направленные на информирование покупателей о качестве товара. Сигнал должен быть такой, чтобы владельцам «лимонов» было бы трудно произвести его.

В модели Акерлова перед владельцем товара стоит только выбор продавать или не продавать товар. Ситуация усложняется, если продавец сам является производителем товара и может повлиять на его качество. Здесь появляется другой эффект — моральный риск . Его можно также показать на примере гарантий. Фирме, дающей гарантию, трудно отличить,

160 В английском языке в одном из значений слово lemon — «некачественный товар».

452

453

вызвано ли повреждение товара его плохим качеством при покупке или действиями покупателя. Покупатель поэтому, имея гарантию, может обращаться с товаром менее аккуратно.

Продемонстрируем влияние асимметричной информированности субъектов рыночных отношении на структуру рыночных сделок следуя оригинальному подходу Акерлова на примере рынка некоторого неделимого товара (например, подержанных автомобилей), которое может приобретаться в количестве, не превышающем 1.

Предположим, что существуют n градаций качества этого блага, причем доля блага типа s равна µs (µs > 0). По виду они неотличимы, отличаясь только по внутренним характеристикам. Оценки покупателей (продавцов) товара типа s совпадают и равны vs (соответствен-

но, cs).

Покупатели и продавцы имеют квазилинейные предпочтения и нейтральны по отношению к риску, так что если благо типа s продается по цене p, то покупатель получает выигрыш (потребительский излишек)

vs – p,

а продавец — выигрыш

p– cs.

ВПарето-оптимальном состоянии экономики благо должно принадлежать тому, кто его больше ценит.

Если бы как продавцы, так и покупатели были полностью информированы (точнее, информация об оценках продавцов и покупателей общеизвестна), то в результате обменов (в равновесии) достигался бы Парето-оптимум. Цены блага разного качества, ps, были бы, вообще говоря, различны и зависели бы от переговорной силы сторон:

ps >cs, если cs >vs

и

cs <ps <vs, если cs <vs.

В дальнейшем мы будем предполагать, что продавцов меньше, чем покупателей, и им принадлежит переговорная сила. Следовательно, в равновесии ps = vs. По сути дела, рынок распадается на n отдельных рынков, на каждом из которых установится своя цена.

Заметим, что если как покупатели, так и продавцы не знают качества, а только распределение, т.е. они одинаково (не)информированы, то в равновесии установится единая цена, и Парето-оптимум достигается и в этом случае: если ожидаемая оценка покупателя выше ожидаемой оценки продавца,

Ev(s~) > Ec(s~)

т.е.

n n

Ûµsvs > Ûµscs s=1 s=1

то сделка происходит, а если ниже, то нет. При этом, если переговорная сила принадлежит продавцам, то в равновесии цена равна

n

p = Ûµsvs.

s=1

При асимметричной информированности, когда покупатели не различают качества предложенных к продаже благ, то устанавливается единая рыночная цена. Наблюдая эту цену,

453

454

рациональные покупатели, считая продавцов тоже рациональными, имеют основания ожидать, что предлагаются к продаже только товары, качество которых s таково, что оценки продавцов cs не ниже этой цены. Будем предполагать, что если продавцу все равно (т.е. p = cs), то он предлагает на продажу это благо. Каждый покупатель оценивает набор предложенных благ в соответствии с ожидаемой полезностью, т.е.

Если cs расположены в порядке возрастания, и продаются первые m(p) типов (для них cs < p), то ожидаемую полезность можно записать в виде

Таким образом, благо приобретается, если величина Vm(p) не превышает цену. При этом, если переговорная сила у продавца, то равновесная цена задается уравнением

p = Vm(p).

Равновесное количество типов, которые продаются, m = m(p), при этом должно удовлетворять соотношению

cm <Vm < cm+1.

Если m(p) = n, то второе неравенство здесь не требуется. Это будет равновесие, в котором продаются товары всех типов. Условие существования такого равновесия, таким образом, выглядит как

n

cn <Vn = Ûµsvs.

s=1

2. Когда ничего не продается.

Предположим, что cs < vs s. Тогда такое равновесие существует. Докажем это на основе индукции. При m = 1, V1 = v1, поэтому если V1 < c2, то существует равновесие, в котором продаются только товары 1-го типа, поскольку c2 > V1 = v1 > c1. В противном случае V1 >c2. Пусть теперь выполнено соотношение Vm–1 >cm. Тогда либо

cm < Vm < cm+1,

либо

Первая ситуация соответствует равновесию, в котором продается m типов благ. Наконец, если не равновесие не существует при m = n – 1, то выполняется соотношение cn <Vn–1, что соответствует равновесию, в котором продаются блага всех n типов.

454

455

Нетрудно придумать ситуации, в которых равновесие неединственно, и в общем случае (без предположения о «хорошем» поведении последовательностей cs и vs) равновесия следует искать полным перебором.

И наконец, рассмотрим условия оптимальности равновесия. Среди всех возможных равновесий при сделанном ранее предположении cs < vs s оптимальным является только такое, в котором продаются блага всех n типов, т.е. Парето-оптимальное равновесие может существовать только если

n

cn <Vn = Ûµsvs.

s=1

Кроме того, в случае, когда равновесие не единственно, все возможные равновесия упорядочены по возрастанию благосостояния. Равновесия с более высоким m(p) доминируют по Парето равновесия с низким m(p).

Пример 1.

Проиллюстрируем сказанное в частном случае рынка со 100 типами благ (автомобилей), на котором cs = 300 + s и vs = 300 + b + s, где b > 0 — различие в оценках продавцов и покупателей, не зависящее от типа автомобиля.

Если покупателей больше, чем продавцов, то равновесие оптимально, если все автомобили проданы (m = 100), поскольку выгоды от торговли положительны при каждой возможной сделке: vs – cs = b > 0.

Возможны разные случаи информированности и соответствующие равновесия.

(1) Полная информированность продавцов и покупателей. По сути дела, рынок распадает-

ся на 100 отдельных рынков, на каждом из которых установится своя цена ps = vs. Все 100 типов автомобилей будут продаваться, т.е. равновесие состояние Парето-оптимально.

При неполной информированности покупателей и/или продавцов равновесие зависит от относительной частоты разных типов автомобилей. Мы предположим, что автомобили всех типов имеются в одинаковом количестве.

(2) Полная неинформированность продавцов и покупателей. Ожидаемая оценка автомо-

биля продавцом будет равна

Цена установится на уровне ожидаемой оценки покупателя и будет равна 350,5 + b. Как и в предыдущем случае полной информированности все 100 типов автомобилей будут продаваться, т.е. равновесие Парето-оптимально.

(3a) Продавцы знают качество автомобилей, а покупатели — нет (несимметричная информированность). Если покупатели исходят из априорной гипотезы, что каждый из 100 типов автомобилей будет продаваться с вероятностью 1/100 (характеризуются близоруким поведением), то цена «кота в мешке» окажется равной

p = (301 + b + 400 + b)/2 = 350,5 + b.

При этой цене будут продаваться все те автомобили, для которых

455

456

300 + s <350,5 + b.

Таким образом будет продаваться m = [50,5 + b] типов автомобилей. Величина m не убывает с ростом b, и при b >40,5 равна 100. При b < 40,5 равновесие не Парето-оптимально.

Предположение о близорукости покупателей несовместимо с предположением об их рациональности в случае, когда они знают структуру предложения.

(3b) Продавцы знают качество автомобилей, а покупатели — нет (несимметричная ин-

формированность). Покупатели ориентируются на текущую структуру предложения, и считают свою оценку исходя из данной информации (m худших типов автомобилей будут продаваться с вероятностью 1/m). Тогда при условии, что продаются автомобили m типов, ожидаемая оценка равна

Тогда количество продаваемых типов для возможных равновесий задается соотношениями

cm <Vm < cm+1

или

300 + m <300,5 + m2 + b < 301 + m,

т.е.

m <1 + 2b < m + 2.

Следовательно, равновесное количество типов характеризуется неравенствами

2b – 1 < m <2b + 1.

m

Равновесная цена равна p = Vm = 300,5 + 2 + b.

При b < 1/2 существует единственное равновесие с m = 1. При b >50 равновесие также единственное с m = n, и Парето-оптимально. При b [0,5; 50) существует два равновесия, одно из которых заведомо не оптимально. Так при b = 20 в одном из возможных равновесий m = 40, а в другом — m = 41, причем оба равновесия не оптимальны.

Сравнивая случаи (3a) и (3b), видим, что во втором случае неблагоприятный отбор проявляется сильнее (объемы продаж меньше) и цена ниже, чем в первом, так как в равновесии учитывается реакция продавцов на цену, кроме того, по той же причине разрушение рынка во втором случае происходит при меньших значениях b.

Неединственность равновесия в данном случае с «хорошим» поведением оценок покупателей и продавцов — следствие дискретности распределения типов. В предположении непрерывности распределения типов равновесие оказывается единственным. Более того, естественные предположения о оценках vs и cs, не имеющие аналогов для дискретных распределений (например, непрерывность соответствующих зависимостей) делают модель с непрерывным распределением более простым инструментом анализа феноменов неблагоприятного отбора. Покажем это.

456

457

Предположим, что возможные типы блага, s, описываются интервалом числовой прямой [s1, s2], и пусть f( ) — плотность распределения этих типов, известная покупателям, такая что f(s) > 0 при s (s1, s2). Как и в дискретном случае, оценки покупателей (продавцов) товара типа s совпадают и равны v(s) (соответственно, c(s)), покупатели и продавцы имеют квазилинейные предпочтения и нейтральны по отношению к риску. Будем предполагать, что функция c( ) является непрерывной и возрастающей, и c(s) < v(s) s.

Если функция c(s) возрастает, и продаются товары с качеством не выше s, то оценка покупателей при асимметричной информированности равна

V(s) = E(v(s~) | s~<s) = øv(t) f(t) dt / øf(t) dt.

По аналогии с дискретным случаем, граничное качество -s в равновесии либо задается уравнением

c(s-) = V(s-),

если это уравнение имеет решение, либо равно -s = s2. Второй вид равновесия (когда продаются товары всех типов) возможен при выполнении условия c(s2) <V(s2). Единая для всех типов блага равновесная цена -p равна

-p = V(s-).

Если c(s2) > V(s2), то существует решение уравнения c(s-) = V(s-), поскольку c(s1) < V(s1) = v(s1), а функции c( ) и V( ) непрерывны. В этом случае существует равновесие, в котором имеет место неблагоприятный отбор. Если же c(s2) <V(s2), то существует равновесие без неблагоприятного отбора. Таким образом, при сделанных предположениях хотя бы одно равновесие существует.

Пример 2.

Пусть, по аналогии с Примером 1, качество s~ имеет равномерное распределение на [1; 100], c(s) = 300 + s, и v(s) = 300 + b + s, где b > 0.

Найдем равновесие при несимметричной информированности. Ожидаемая оценка покупателя равна

Граничное качество -s в равновесии с неблагоприятным отбором задается уравнением

300 + -s = 300,5 + b + -2s .

Таким образом, -s = 2b + 1 и -p = 301 + 2b. Такое равновесие существует при 2b + 1 < 100, т.е. при b < 49,5. При b >49,5 в равновесии продаются все типы блага и равновесная цена равна

-p = V(100) = 350,5 + b.

Можно интерпретировать функцию V–1(p) как функцию спроса (которая, в отличие от привычной функции спроса, возрастает), а функцию, которая совпадает с c–1(p) при s [c(1); c(100)] и равна 100 при p >c(100) — как функцию предложения. Точка пересечения соответствующих кривых определяет равновесие (см. Рис. 92).

457

458

Рисунок 92. Равновесие при b=20 и b=60

Проведенный выше анализ феномена неблагоприятного отбора основывается на обобщении понятия (по Вальрасу) равновесия на случай асимметричной информации. Так как при этом не осуществляется полная спецификация соответствующей игры, с таким равновесием совместимы разные интерпретации поведения игроков и их информационных структур. Так, естественно предполагать, что покупатели, в дополнение в цене блага, знают, в каких пропорциях предлагаются товары разных типов; при этом в равновесии это знание согласуется с ценой, по которой благо продается. Можно также исходить из предположения, что априорное распределение типов благ и оценки продавцов общеизвестны; пропорции предложения разных типов блага вычисляются покупателем на основе этой информации с учетом рыночной цены блага.

Другой (более строгий) подход к анализу данной ситуации — специфицировать соответствующую игру, (т.е. описать возможные действия, последовательность ходов и ожидания игроков — покупателей и продавцов и т.д.) и охарактеризовать решение этой игры, что и будет проделано с следующем параграфе. Преимущество этого подхода состоит в том, что используется стандартное определение равновесия игры, т.е. нет необходимости заново определять равновесие. Это позволяет стандартным образом, специфицируя соответствующую модификацию игры, изучать различные аспекты неблагоприятного отбора и институты, регулирующие эти феномены (гарантии, сигнализирование, репутация).

Модель Акерлова как динамическая игра

Рассмотрим вариант модели Акерлова, в котором рынок с асимметричной информацией моделируется как динамическая байесовская игра.

Благо дискретное. Предполагается, что каждый продавец либо предлагает единицу товара на продажу, либо нет (y = 0, 1). Каждый покупатель либо покупает единицу товара, либо нет (x = 0, 1).

Пусть s — качество товара. Асимметричность информации состоит в том, что продавец знает качество своего товара, а покупатель — нет. Цену обозначим через p.

Если продавец продал товар по цене p, то его прибыль равна величине Π= p – c(s), где c(s)

— его предельные издержки, при данном качестве. Будем предполагать, что функция c( ) является возрастающей. Как и в классической постановке модели, c(s), можно интерпретировать как альтернативные издержки, т.е. выигрыш продавца от альтернативного использования товара. Если продавец не продал товар, то Π= 0.

Будем предполагать, что предпочтения покупателя квазилинейны, т.е. его потребительский излишек при покупке товара по цене p составляет величину u = v(s) – p. Оценка v( )

— возрастающая функция. Предполагается, что у всех покупателей одинаковые предпочтения. Если он не купил товар, его потребительский излишек равен нулю.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда покупатель знает качество товара. Тогда дерево игры в этой ситуации имеет вид, изображенный на Рис. 93.

458

Рисунок 93. Дерево игры для модели Акерлова при полной информированности

Для поиска равновесия этой игры используем обратную индукцию. Рассмотрим решение покупателя. Если v(s) > p, то покупатель покупает, если v(s) < p, то нет. Будем также предполагать, что если покупателю безразлично, приобретать товар или нет, то он поступает благожелательно по отношению к продавцу и покупает товар. Учитывая это, при сворачивании дерева игры получаем следующие выигрыши продавца:

Если v(s) >c(s), то есть в принципе есть смысл производить товар, то p = v(s) дает максимум прибыли. Если v(s) < c(s), то продавец не будет предлагать товар или же может назначить цену p > v(s), с тем, чтобы покупатель его не купил.

Таким образом, в равновесии при всех уровнях качества s, таких что v(s) >c(s), благо будет продаваться и цена будет p = v(s), Т.о. любое равновесие является Паретооптимальным.

Рассмотрим теперь модификацию этой игры, предположив, вслед за Акерловым, что продавцам известен их тип, а покупателям известна только статистическая информация о возможных типах продавца — распределение типов s, причем покупатели нейтральны по отношению к риску.

Формально можем рассматривать эту модель как динамическую байесовскую игру и найти в ней совершенное байесовское равновесие — совокупность согласованных стратегий и ожиданий. В игре «нулевой» ход делает природа — она выбирает тип продавца. Дальше при каждом s дерево игры совпадает с деревом, изображенным на Рис. 93.

Найдем решение данной игры (совершенное байесовское равновесие). Напомним, что в совершенном байесовском равновесии ожидания определяются равновесными стратегиями игроков в соответствии с правилом Байеса, если это возможно, т.е. в ситуациях, возникающих в игре с ненулевой вероятностью. С другой стороны, при данных ожиданиях и данных стратегиях других игроков, стратегия каждого игрока является оптимальной.

Таким образом, чтобы охарактеризовать равновесие в данной игре, следует задать:

Стратегию продавца: для каждого типа s продавать/не продавать и, если продавать, то по какой цене p.

Стратегию покупателя: покупать или не покупать при данной цене p.

Ожидания: покупатель, видя цену p, должен предложить, каким должно быть распределение качества. (Это распределение не обязательно совпадает с первоначальным).

Заметим прежде всего, что потребитель при данной цене p решает задачу

Eu =E(v(s~) – px) →max x=0,1.

Отсюда следует, что покупатель покупает благо, если его ожидаемая полезность не меньше нуля.

459

460

Дальнейшее свертывание данной игры невозможно, поскольку стратегия продавца зависит от ожиданий покупателя, которые, в свою очередь, зависят от стратегии продавца.

Ясно, что товары не могут продаваться по разным ценам. Пусть s′ продается по p′, а s″ — по p″, причем p′> p″. Но раз товар покупают по p′, то продавец s″ мог назначить p′, а не p″. Следовательно, цены всех продаваемых товаров в равновесии должны быть одинаковы. Т.е. p(s) = -p для товара любого качества s, которое продается.

Теперь посмотрим на решение продавать/не продавать по цене -p. Если c(s) > -p, то продавать невыгодно, а если c(s) < -p, то выгодно.

Будем предполагать, вслед за Акерловым, что множество возможных типов составляет замкнутый отрезок числовой прямой, т.е. множество [a; b]. Заметим, что если распределение непрерывное, то без потери общности можно считать, что это равномерное распределение на отрезке [0; 1], т.е. s~~ U[0; 1].

Заметим, что логически возможны ситуации равновесия, когда продаются товары любого качества, когда часть товаров продается, а часть нет и когда все товары не продаются.

Охарактеризуем последовательно все три типа равновесия и условия, при которых они существуют.

1. Предположим, сначала что существует равновесие, при котором продаются товары всех уровней качества.

Тогда ожидания потребителей относительно уровня качества совпадают с априорными, и товар покупается тогда и (в предположении благожелательности потребителя) только тогда, когда ожидаемый потребительский излишек неотрицателен, т.е.

Eu =E(v(s~) – px) >0.

Таким образом, продавец, максимизируя прибыль, будет продавать по максимальной цене, удовлетворяющей этому условию, т.е. по цене

1

-p = Ev(s~) = øv(s)ds.

0

Продавец любого типа заинтересован продавать благо по данной цене только если -p > c(s) s, что эквивалентно условию -p >c(1), поскольку функция c( ) возрастает (мы предполагаем здесь благожелательность продавца, т.е. что он будет продавать благо, даже если -p = c(s)). Следовательно, такое равновесие существует тогда и только тогда, когда

1

øv(s)ds >c(1).

0

2. Рассмотрим теперь равновесие, в котором часть благ продается, а часть — нет. Тогда в равновесии стратегии продавцов должны быть такими: существуют числа (p-, -s) такие, что продавец не продает при s > -s, и назначает цену p = -p, если продает. (Мы не будем рас-

сматривать стратегии продавца следующего типа: если продавцу невыгодно продавать товар некоторого качества s по цене -p, то он выставляет его на продажу и назначает цену такую, чтобы его не купили).

Значит, в равновесии если благо продается, то s <c–1(p-).

Если потребителю предложен товар по цене p = -p = c(s-), то он ожидает, что не продаются товары с качеством s > -s (потому что таковы стратегии продавцов). При этом -s = c–1(p-).

Если потребителю предложен товар по цене p = -p = c(s-), то он ожидает, что не продаются товары с качеством s > -s (потому что таковы стратегии продавцов). Следовательно (по

460