Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка по Теоретической механике

.pdf
Скачиваний:
225
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.27 Mб
Скачать

Пример Д10. Механическая система (рис. Д10) состоит из обмо­ танных нитями блока 1 радиуса Ri и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней R2 и rs, радиус инерции относительно оси вращения р2), а также из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система дви­ жется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары

сил с моментом М, приложенной

к блоку 1.

 

 

Д а н о:

Pi =

О, Р2 = 30 Н,

Р3 = 40 Н, Pt =

20

Н, М = 16 Н-м,

#1 = 0,2 м,

Дг =

0,3 м, Г2= 0,15 м, рг=0,2

м.

О п р е д е л и т ь :

ускорение груза 3,

пренебрегая трением.

 

 

93

Решение. 1. Рассмотрим движение механической системы, состоя­ щей из тел 1, 2, 3, 4, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на эту систему, — идеальные.

Д ля определения аз применим общее уравнение динамики:

 

26/12+ 26Л*" =

0,

(!)

где 26Л £— сумма элементарных работ

активных сил;

2 6 Л |— сумма

элементарных работ сил инерции.

 

 

2.

Изображаем на чертеже активные силы Р±, Рз, Ра и п

сил с моментом М. Задавшись направлением ускорения аз, изображаем на чертеже силы инерции F$, FI и пару сил инерции с моментом MS, величины которых равны:

 

F$ =

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MS =

------ pl«2 .

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

а . . . .

ft

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

3.

Сообщая системе возможное

перемещение

и составляя

урав

ние (1),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Рз sin 60° — Ff)6s3— TW"6<p2 -

 

 

 

 

- M6(p, =

0 .(

Выразим все перемещения через 6ф2:

 

 

 

 

 

 

 

6,S'j

^?2^ф2 ;

6 s 4 = Ггбф2 ;

 

 

 

 

 

 

 

6ф1

 

Гг

 

 

 

 

 

 

 

( 4 )

 

 

Ж "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив величины

(2)

и

(4)

в

уравнение (3),

приведем

его

к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рг

,

 

 

Pi

 

fi

1

 

 

 

 

g J "

 

g -ple-г-

-

0 .4Г2 —

 

j

6ф 2 =

0 .

( 5 )

Входящие сюда величины e2 и а, выразим через искомую величи­

ну а3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аз

 

 

 

 

 

Гг

 

 

 

 

 

 

S2 — •~RT 04 =

е2г2 ■

Яг -аз.

 

 

 

 

Затем, учтя, что 6ф2 Ф 0,

приравняем

нулю

выражение,

стоящее

в (5) в квадратных скобках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из полученного в результате уравнения найдем

 

 

 

 

 

аг ■

P 3 R2 sin 60° — M(r2/Ri)

g-

 

 

 

 

 

 

Р2 p i/R2

+

Ра(г1/Яг

 

 

 

 

 

P3 R2 +

 

 

 

 

 

Вычисления дают следующий

о т в е т :

а 3 =

—0,9 м/с2. Знак ука­

зывает, что ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рис. Д10.

94

Задача Д11

Механическая система состоит из тел /, 2, .... 5 весом Pi, Р2 , ..., Р 5 соответственно, связанных друг с другом нитями, намотанными на

ступенчатые

блоки

1 и

2

(рис. Д 11.0 — Д11.9, табл. Д !1).

Радиусы

ступенчатых

блоков

1

и 2

равны соответственно Ri — R,

п = 0,4R,

Р 2 = R< г 2 =

0,8/?. При вычислении моментов инерции все блоки, катки

и

колеса считать однородными сплошными цилиндрами радиуса R.

 

На

систему

кроме

сил тяжести действует сила F, приложенная

к

телу

3 или 4

(если

тело 3 в систему не входит, сила приложена

в точке В к тележке),

и пары сил с моментами Mi, М2 , приложенные

к

блокам 1

и 2;

когда

М < 0 , направление момента противоположно

показанному на рисунке.

На участке нити, указанном в таблице в столбце «Пружина», включена пружина с коэффициентом жесткости с (например, если в столбце стоит АВ, то участок АВ является пружиной, если AD, то AD —

пружина и т .д .);

в начальный

момент времени

пружина не деформи­

рована.

 

 

 

Составить для

системы уравнения Л агранжа и найти закон изме­

нения обобщенной

координаты

х, т. е. х = f(t),

считая, что движение

начинается из состояния покоя; определить также частоту и период колебаний, совершаемых телами системы при ее движении (о выборе координаты х см. «Указания»).

Прочерк в столбцах таблицы, где заданы веса, означает, что соответствующее тело в систему не входит (на чертеже не изображать), а ноль — что тело считается невесомым, но в систему входит; для колес,

обозначенных номером

4, Р4 — их

общий

вес

(вес платформы такой

тележки не учитывается).

 

 

 

 

Указания. Задача

Д 11 — на

применение

к

изучению движения

системы уравнений Л агранжа. В

задаче

система

имеет две степени

свободы; следовательно, ее положение определяется двумя обобщенны-

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а Д11

Номер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условия

P i

Р*

Р 3

Р а

P i

F

Ml

Mi

Пружина

0

4 Р

0

 

3Р

 

4Р

0

0

A B

1

0

2Р

3Р

0

0

r 2P R

K E

2

0

2Р

Р

■ 0

2P R

0

A B

3

0

2 Р

5Р ,

0

0

2P R

B D

4

Р

4Р

0

- P R

0

K E

5

4Р

3Р

Р

0

0

B D

6

2Р

0

Р

0

0

- P R

K E

7

4Р

2Р

ЗР

0

2P R

A B

8

— .

А Р

2Р

0

0

0

S P R

B D

9

2Р

0

 

Р

-0

2P R

0

AB

95

Рис. Д11.2

i

ми координатами qi и q^ и для нее должны быть составлены два уравнения.

Решение начать с выбора обобщенных

координат, обозначив их

<7i = х и qi — ф или q\, = х и tfz — y. З а

координату х принять

удлинение пружины, отсчитываемое в сторону того из тел 3, 4 или 5 сис­ темы, к которому пружина прикреплена; например, если пружина прикреплена к этому телу в точке В и ее длина в произвольный мо­

мент

времени равна ЛЯ, то i = АВ

/0, где

k — длина

недеформй-

рованной пружины. З а координату <р

принять

угол поворота крайнего

блока

(этот блок может быть и невесомым), отсчитывая

q> от началь­

ного положения. Если в систему ни один блок не входит, а входят лишь тела 3 и 4, за координату у принять расстояние тела 4 от

<>8

начального положения. Соот­

 

ветствующие примеры даны

 

на рис. Д11.10. Дальнейший

 

ход решения разъяснен в при­

 

мере Д11.

 

 

Пример Д 11. Механиче­

 

ская система (рис. Д11) со­

 

стоит из барабана 1 радиуса

 

R, к которому приложена п а­

 

ра сил с моментом М, тележки

 

2 и катка 3 (барабан и ка­

 

ток — однородные

цилинд-

 

ры\); веса всех тел равны соот-

г и и . 1 1 1 1

ветственно Pi, Рг, Рз; весом

колес тележки пренебречь. Тележка соединена с барабаном намотанной на него нитью, а с катком — пружиной BD, коэффициент жесткости которой равен с. Система начинает движение из состояния покоя;

пружина в этот момент не деформирована.

 

 

Д а н о :

R,

с,

Pi =

2Р; Р2 = 4Р;

Р3 = 2Р; M = 4PR, а =

30°.

О п р е д е л и т ь :

1)

х =

f(t), где х — удлинение пружины

(или переме­

щение центра D катка по отношению к тележке 2 ) ; 2)

частоту

k и

период т колебаний.

 

 

 

 

 

Решение.

1. Д ля решения задачи

воспользуемся

уравнениями

Лагранжа. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. Вы­

берем вкачестве

обобщенных координат угол поворотабарабана ф

иудлинениепружины

x(q1 = tp,. q-i = х). Тогда уравнения Лагранжа

будут иметь вид

 

й - t

дт \ _ _ £ L _

п ■

дт

J L - n

/1».

df \

дф /

dq>

 

1’

dt

\ дх )

дх

2'

2. Определим кинетическую

энергию Т системы, равную сумме

энергий всех тел:

T = T i

+

T2 +

T3 .

 

(2)

 

 

 

Так как барабан вращается вокруг оси О, тележка движется

поступательно, а каток — плоскопараллелыю, то

 

 

 

Г,=, J-Zoco?; T2= -L-~-vl,

 

 

 

Тз = ~2------— 2~1о“ з

,

(3)

где /о —(Pi/2g)R2, ID— (P3/2g)Rl (Рз — радиус катка 3).

Все входящие сюда скорости надо выразить через обобщенные скорости ф и х. Очевидно, что o>i = ф, р2 = R<o1 = ЛфДля определения vD рассмотрим движение катка как сложное. Учитывая, что х определя-

99

ет

положение

точки

D

по

отношению

 

к

тележке, получим

vp =

=

tio + vWp, где численно

xt'S-— х, t>op =

v2 =

R(f>. Тогда,

принимая во

внимание, что при возрастании

ф и х скорости t»2>т и v Dmt направлены

в разные стороны и что точка Е для

катка — мгновенный

центр

скоростей, получим

 

 

 

 

 

х —Дф

 

 

 

 

 

 

 

b>3 = w

=

 

 

 

 

VD= x - R y ,

_

^

_ .

 

 

 

Подставляя все

найденные

значения

скоростей и значения 10 и

ID в равенства

(3) и учитывая,

что Pi =

Рз =

2Р, а Р2 =

4Р, получим

окончательно из (2)

следующее выражение для

Т:

 

 

 

 

7 ’ =

- y ( 4 ^ V - 3 / ? ^ + - | - ? ) -

 

< 4 >

 

Отсюда находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ г =

 

— (8Я2ф - 3 ^ ) ,

д<р

= 0 ;

 

 

 

 

аф

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

g

- =

§

- (

-

3 ^ + 3 i),

f

 

= 0 .

 

(5)

3. Теперь определим обобщенные силы Qi и Q2. Изображаем действующие на систему активные силы: силы тяжести Pi, Р2, Рз, силы упругости F и F', где численно F' = F — сх, и пару с моментом М.

а) Для определения Qi сообщим системе возможное перемещение, при котором координата ф получает приращение 6<р>0, а х не изме­ няется, т. е. = 0 (пружина при таком перемещении системы не изменяет свою длину). Тогда тележка и центр D катка получают одинаковые перемещения бs2 = бs D — R&<f и элементарная работа дей­ ствующих сил будет равна

ЬА\ = Мбф — Рг sin30°-Ss2 — Рз sin 30°• 8sDF'Ss2 + F8sD.

Заменив здесь все величины их значениями, найдем в результате,

что

б Л г= (М —0,5Р2Я — 0,5Р3/?)6ф = ЯЯ8ф.

' (6)

б) Для определения Q2 сообщим системе возможное перемещение, при котором координата х получает приращение 6 х > 0, а ф не изме­ няется, т. е. бф = 0 (барабан не поворачивается и тележка не переме­ щается). Тогда элементарную работу совершат только силы Рз и F, учтя, что Рз = 2Р, получим

6Л2 — Рз sin 30° • бх Fbx = (Р сх)Ьх .

(7)

Коэффициенты при бф и бх в равенствах (6) и (7) и будут искомыми обобщенными силами; следовательно,

Qi = PR ; Q2 = P — CX .

(8)

100

Подставляя величины (5) и (8) в уравнения (1), получим следую­ щие дифференциальные уравнения движения системы:

— -(8/?2ф _ з Rx) - PR ,

3 + Зх) =

Р -

сх .(9)

£>

§

 

 

- 4. Для определения х — f{t)

исключим из уравнений

(9)

<р.

Получим дифференциальное уравнение вида

х + k2jc — а ,

'где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 =

Р

_И _

 

 

 

(10)

 

 

15

15 ё

 

 

 

V

Общее решение

уравнения

(10), как известно из высшей

мате­

матики, имеет вид х =

х\ + х2,

где х\ — общее решение

однородного

уравнения х + k2x — 0,

т. е. xt — Cisin(kt) + C2cos(kt),

а

хг — частное

решение уравнения

(10). Будем

искать

решение х2 в

виде х2 =

А =

= const. Подставляя

значение х2 в уравнение

(10), получим А =

a/k 2.

Таким образом, общее решение уравнения (10)

имеет вид

 

 

х =

Ci sin(А^) +

C2cos(kt) +

a/k2 ,

 

 

(И )

где Ci и С2 — постоянные интегрирования. Д ля их определения найдем еще производную i от х по времени:

х = Cikcos(kt) — C2ksin(kt).

(12)

По начальным условиям при t = 0 х = 0, х = 0

(движение

начинается из состояния покоя и пружина в этот момент не деформи­

рована). Подставляя эти величины в уравнения ( 11) и

( 12), найдем

из них, что С1 = 0 , С2 — — a /k 2.

 

Окончательно получим искомую зависимость х = f(t)

в виде

х = —£-( 1 — caskt) ,

(13)

где значения а и к? даются последними двумя из равенств (10). Таким образом, центр D катка совершает по отношению к тележке коле­ бания, закон которых дает равенство (13). Круговая частота k и пе­ риод т этих колебаний:

Задача Д12

Механизм, расположенный в вертикальной плоскости (рис. Д12.0 — Д12.9), состоит из ступенчатых колес J и 2 с радиусами Ri — 0,4 м, г\ = 0,2 м, Ri = 0,5 м, г2 = 0,3 м, имеющих неподвижные оси враще-

101

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

Д12

 

Номер

 

 

 

 

; т 5

 

 

 

 

 

условия

mi

т 2

т 3

m t :

Cl

С2

С з

 

0

 

 

 

8

'

9

 

 

 

 

12

16

 

 

1200

 

 

 

| ллл

1

10

8

4

___

1000

2

16

12

6

— ■

800

 

 

3

20

6

,

1500

____

___

Рис. Д12.4

4

18

4

1000

■'

5

18

14

6

1000

___

___

 

6

12

8

4

_

1200

 

7

16

10

4

800

___

___

 

8

20

16

8

!

1200

 

 

9

10

6

4

1000

 

 

Ять

Рис, Д12.7

Рис. Д12.9

ния; однородного стержня 3 длиной 1 = 1,2 м, закрепленного шар­ ниром на одном из концов; грузов 4 и 5, подвешенных к нитям, намо­ танным на колеса. На стержне расстояние АВ = 2//3.

Стержень 3 соединен с колесом

2 невесомым стержнем 6. Колеса

1 и 2 или находятся в зацеплении

(рис. О—4), или соединены неве­

сомым стержнем 7 (рис. 5—9). К колесам и стержню 3 прикреплены пружины.

В табл. Д12 заданы массы иг, тел (кг) и коэффициенты жест­ кости Ci пружин (Н /м ). Прочерки в столбцах таблицы означают, что соответствующие тела или пружины в систему не входят (на чертеже эти тела и пружины не изображать); в результате в каждом конкрет-

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.