Методичка по Теоретической механике
.pdfПример Д10. Механическая система (рис. Д10) состоит из обмо танных нитями блока 1 радиуса Ri и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней R2 и rs, радиус инерции относительно оси вращения р2), а также из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система дви жется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары
сил с моментом М, приложенной |
к блоку 1. |
|
|
||
Д а н о: |
Pi = |
О, Р2 = 30 Н, |
Р3 = 40 Н, Pt = |
20 |
Н, М = 16 Н-м, |
#1 = 0,2 м, |
Дг = |
0,3 м, Г2= 0,15 м, рг=0,2 |
м. |
О п р е д е л и т ь : |
|
ускорение груза 3, |
пренебрегая трением. |
|
|
93
Решение. 1. Рассмотрим движение механической системы, состоя щей из тел 1, 2, 3, 4, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на эту систему, — идеальные.
Д ля определения аз применим общее уравнение динамики:
|
26/12+ 26Л*" = |
0, |
(!) |
где 26Л £— сумма элементарных работ |
активных сил; |
2 6 Л |— сумма |
|
элементарных работ сил инерции. |
|
|
|
2. |
Изображаем на чертеже активные силы Р±, Рз, Ра и п |
сил с моментом М. Задавшись направлением ускорения аз, изображаем на чертеже силы инерции F$, FI и пару сил инерции с моментом MS, величины которых равны:
|
F$ = |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
||
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
MS = |
------ pl«2 . |
|
|
|
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
а . . . . |
ft |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Сообщая системе возможное |
перемещение |
и составляя |
урав |
|||||||||
ние (1), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Рз sin 60° — Ff)6s3— TW"6<p2 - |
|
|
|
|
- M6(p, = |
0 .( |
||||||
Выразим все перемещения через 6ф2: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6,S'j |
^?2^ф2 ; |
6 s 4 = Ггбф2 ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
6ф1 |
|
Гг |
|
|
|
|
|
|
|
( 4 ) |
|
|
|
Ж " |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставив величины |
(2) |
и |
(4) |
в |
уравнение (3), |
приведем |
его |
||||||
к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рг |
, |
|
|
Pi |
|
fi |
1 |
|
|
|
|
|
g J " |
|
g -ple-г- |
- |
■ |
0 .4Г2 — |
|
j |
6ф 2 = |
0 . |
( 5 ) |
||
Входящие сюда величины e2 и а, выразим через искомую величи |
|||||||||||||
ну а3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аз |
|
|
|
|
|
Гг |
|
|
|
|
|
|
S2 — •~RT 04 = |
е2г2 ■ |
Яг -аз. |
|
|
|
|
||||||
Затем, учтя, что 6ф2 Ф 0, |
приравняем |
нулю |
выражение, |
стоящее |
|||||||||
в (5) в квадратных скобках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из полученного в результате уравнения найдем |
|
|
|
|
|||||||||
|
аг ■ |
P 3 R2 sin 60° — M(r2/Ri) |
g- |
|
|
|
|
||||||
|
|
Р2 p i/R2 |
+ |
Ра(г1/Яг |
|
|
|
|
|||||
|
P3 R2 + |
|
|
|
|
|
|||||||
Вычисления дают следующий |
о т в е т : |
а 3 = |
—0,9 м/с2. Знак ука |
зывает, что ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рис. Д10.
94
Задача Д11
Механическая система состоит из тел /, 2, .... 5 весом Pi, Р2 , ..., Р 5 соответственно, связанных друг с другом нитями, намотанными на
ступенчатые |
блоки |
1 и |
2 |
(рис. Д 11.0 — Д11.9, табл. Д !1). |
Радиусы |
|||
ступенчатых |
блоков |
1 |
и 2 |
равны соответственно Ri — R, |
п = 0,4R, |
|||
Р 2 = R< г 2 = |
0,8/?. При вычислении моментов инерции все блоки, катки |
|||||||
и |
колеса считать однородными сплошными цилиндрами радиуса R. |
|||||||
|
На |
систему |
кроме |
сил тяжести действует сила F, приложенная |
||||
к |
телу |
3 или 4 |
(если |
тело 3 в систему не входит, сила приложена |
||||
в точке В к тележке), |
и пары сил с моментами Mi, М2 , приложенные |
|||||||
к |
блокам 1 |
и 2; |
когда |
М < 0 , направление момента противоположно |
показанному на рисунке.
На участке нити, указанном в таблице в столбце «Пружина», включена пружина с коэффициентом жесткости с (например, если в столбце стоит АВ, то участок АВ является пружиной, если AD, то AD —
пружина и т .д .); |
в начальный |
момент времени |
пружина не деформи |
рована. |
|
|
|
Составить для |
системы уравнения Л агранжа и найти закон изме |
||
нения обобщенной |
координаты |
х, т. е. х = f(t), |
считая, что движение |
начинается из состояния покоя; определить также частоту и период колебаний, совершаемых телами системы при ее движении (о выборе координаты х см. «Указания»).
Прочерк в столбцах таблицы, где заданы веса, означает, что соответствующее тело в систему не входит (на чертеже не изображать), а ноль — что тело считается невесомым, но в систему входит; для колес,
обозначенных номером |
4, Р4 — их |
общий |
вес |
(вес платформы такой |
|
тележки не учитывается). |
|
|
|
|
|
Указания. Задача |
Д 11 — на |
применение |
к |
изучению движения |
|
системы уравнений Л агранжа. В |
задаче |
система |
имеет две степени |
свободы; следовательно, ее положение определяется двумя обобщенны-
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а Д11 |
|
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условия |
P i |
Р* |
Р 3 |
Р а |
P i |
F |
Ml |
Mi |
Пружина |
0 |
4 Р |
0 |
|
3Р |
|
4Р |
0 |
0 |
A B |
1 |
0 |
2Р |
— |
— |
3Р |
0 |
0 |
r 2P R |
K E |
2 |
0 |
2Р |
— |
Р |
— ■ 0 |
2P R |
0 |
A B |
|
3 |
— |
0 |
2 Р |
5Р , — |
0 |
0 |
2P R |
B D |
|
4 |
Р |
— |
— |
— |
4Р |
0 |
- P R |
0 |
K E |
5 |
— |
— |
4Р |
3Р |
— |
Р |
0 |
0 |
B D |
6 |
2Р |
0 |
— |
— |
Р |
0 |
0 |
- P R |
K E |
7 |
— |
4Р |
— |
2Р |
— |
ЗР |
0 |
2P R |
A B |
8 |
— . |
А Р |
2Р |
0 |
— |
0 |
0 |
S P R |
B D |
9 |
2Р |
0 |
|
Р |
-— 0 |
2P R |
0 |
AB |
95
Рис. Д11.2
i
ми координатами qi и q^ и для нее должны быть составлены два уравнения.
Решение начать с выбора обобщенных |
координат, обозначив их |
<7i = х и qi — ф или q\, = х и tfz — y. З а |
координату х принять |
удлинение пружины, отсчитываемое в сторону того из тел 3, 4 или 5 сис темы, к которому пружина прикреплена; например, если пружина прикреплена к этому телу в точке В и ее длина в произвольный мо
мент |
времени равна ЛЯ, то i = АВ |
— /0, где |
k — длина |
недеформй- |
рованной пружины. З а координату <р |
принять |
угол поворота крайнего |
||
блока |
(этот блок может быть и невесомым), отсчитывая |
q> от началь |
ного положения. Если в систему ни один блок не входит, а входят лишь тела 3 и 4, за координату у принять расстояние тела 4 от
<>8
начального положения. Соот |
|
|
ветствующие примеры даны |
|
|
на рис. Д11.10. Дальнейший |
|
|
ход решения разъяснен в при |
|
|
мере Д11. |
|
|
Пример Д 11. Механиче |
|
|
ская система (рис. Д11) со |
|
|
стоит из барабана 1 радиуса |
|
|
R, к которому приложена п а |
|
|
ра сил с моментом М, тележки |
|
|
2 и катка 3 (барабан и ка |
|
|
ток — однородные |
цилинд- |
|
ры\); веса всех тел равны соот- |
г и и . 1 1 1 1 |
ветственно Pi, Рг, Рз; весом
колес тележки пренебречь. Тележка соединена с барабаном намотанной на него нитью, а с катком — пружиной BD, коэффициент жесткости которой равен с. Система начинает движение из состояния покоя;
пружина в этот момент не деформирована. |
|
|
|||||
Д а н о : |
R, |
с, |
Pi = |
2Р; Р2 = 4Р; |
Р3 = 2Р; M = 4PR, а = |
30°. |
|
О п р е д е л и т ь : |
1) |
х = |
f(t), где х — удлинение пружины |
(или переме |
|||
щение центра D катка по отношению к тележке 2 ) ; 2) |
частоту |
k и |
|||||
период т колебаний. |
|
|
|
|
|
||
Решение. |
1. Д ля решения задачи |
воспользуемся |
уравнениями |
Лагранжа. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. Вы
берем вкачестве |
обобщенных координат угол поворотабарабана ф |
иудлинениепружины |
x(q1 = tp,. q-i = х). Тогда уравнения Лагранжа |
будут иметь вид |
|
й - t |
дт \ _ _ £ L _ |
п ■ |
дт |
J L - n |
/1». |
|||
df \ |
дф / |
dq> |
|
1’ |
dt |
\ дх ) |
дх |
2' |
2. Определим кинетическую |
энергию Т системы, равную сумме |
|||||||
энергий всех тел: |
T = T i |
+ |
T2 + |
T3 . |
|
(2) |
||
|
|
|
||||||
Так как барабан вращается вокруг оси О, тележка движется |
||||||||
поступательно, а каток — плоскопараллелыю, то |
|
|
||||||
|
Г,=, J-Zoco?; T2= -L-~-vl, |
|
||||||
|
|
Тз = ~2------— 2~1о“ з |
, |
(3) |
где /о —(Pi/2g)R2, ID— (P3/2g)Rl (Рз — радиус катка 3).
Все входящие сюда скорости надо выразить через обобщенные скорости ф и х. Очевидно, что o>i = ф, р2 = R<o1 = ЛфДля определения vD рассмотрим движение катка как сложное. Учитывая, что х определя-
99
ет |
положение |
точки |
D |
по |
отношению |
|
к |
тележке, получим |
vp = |
||||
= |
tio + vWp, где численно |
xt'S-— х, t>op = |
v2 = |
R(f>. Тогда, |
принимая во |
||||||||
внимание, что при возрастании |
ф и х скорости t»2>т и v Dmt направлены |
||||||||||||
в разные стороны и что точка Е для |
катка — мгновенный |
центр |
|||||||||||
скоростей, получим |
|
|
„ • |
|
|
|
х —Дф |
|
|
||||
|
|
|
|
|
b>3 = w |
= |
|
|
|||||
|
|
VD= x - R y , |
_ |
^ |
_ . |
|
|
||||||
|
Подставляя все |
найденные |
значения |
скоростей и значения 10 и |
|||||||||
ID в равенства |
(3) и учитывая, |
что Pi = |
Рз = |
2Р, а Р2 = |
4Р, получим |
||||||||
окончательно из (2) |
следующее выражение для |
Т: |
|
|
|||||||||
|
|
7 ’ = |
- y ( 4 ^ V - 3 / ? ^ + - | - ? ) - |
|
< 4 > |
||||||||
|
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ г = |
|
— (8Я2ф - 3 ^ ) , |
д<р |
= 0 ; |
|
|
|||||
|
|
аф |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
g |
- = |
§ |
- ( |
- |
3 ^ + 3 i), |
f |
|
= 0 . |
|
(5) |
3. Теперь определим обобщенные силы Qi и Q2. Изображаем действующие на систему активные силы: силы тяжести Pi, Р2, Рз, силы упругости F и F', где численно F' = F — сх, и пару с моментом М.
а) Для определения Qi сообщим системе возможное перемещение, при котором координата ф получает приращение 6<р>0, а х не изме няется, т. е. 6х = 0 (пружина при таком перемещении системы не изменяет свою длину). Тогда тележка и центр D катка получают одинаковые перемещения бs2 = бs D — R&<f и элементарная работа дей ствующих сил будет равна
ЬА\ = Мбф — Рг sin30°-Ss2 — Рз sin 30°• 8sD— F'Ss2 + F8sD.
Заменив здесь все величины их значениями, найдем в результате,
что
б Л г= (М —0,5Р2Я — 0,5Р3/?)6ф = ЯЯ8ф. |
' (6) |
б) Для определения Q2 сообщим системе возможное перемещение, при котором координата х получает приращение 6 х > 0, а ф не изме няется, т. е. бф = 0 (барабан не поворачивается и тележка не переме щается). Тогда элементарную работу совершат только силы Рз и F, учтя, что Рз = 2Р, получим
6Л2 — Рз sin 30° • бх — Fbx = (Р — сх)Ьх . |
(7) |
Коэффициенты при бф и бх в равенствах (6) и (7) и будут искомыми обобщенными силами; следовательно,
Qi = PR ; Q2 = P — CX . |
(8) |
100
Подставляя величины (5) и (8) в уравнения (1), получим следую щие дифференциальные уравнения движения системы:
— -(8/?2ф _ з Rx) - PR , |
3 + Зх) = |
Р - |
сх .(9) |
£> |
§ |
|
|
- 4. Для определения х — f{t) |
исключим из уравнений |
(9) |
<р. |
Получим дифференциальное уравнение вида
х + k2jc — а ,
'где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
Р |
’ |
_И _ |
|
|
|
(10) |
|
|
15 |
15 ё |
|
|
|
V |
||
Общее решение |
уравнения |
(10), как известно из высшей |
мате |
||||||
матики, имеет вид х = |
х\ + х2, |
где х\ — общее решение |
однородного |
||||||
уравнения х + k2x — 0, |
т. е. xt — Cisin(kt) + C2cos(kt), |
а |
хг — частное |
||||||
решение уравнения |
(10). Будем |
искать |
решение х2 в |
виде х2 = |
А = |
||||
= const. Подставляя |
значение х2 в уравнение |
(10), получим А = |
a/k 2. |
||||||
Таким образом, общее решение уравнения (10) |
имеет вид |
|
|
||||||
х = |
Ci sin(А^) + |
C2cos(kt) + |
a/k2 , |
|
|
(И ) |
где Ci и С2 — постоянные интегрирования. Д ля их определения найдем еще производную i от х по времени:
х = Cikcos(kt) — C2ksin(kt). |
(12) |
По начальным условиям при t = 0 х = 0, х = 0 |
(движение |
начинается из состояния покоя и пружина в этот момент не деформи
рована). Подставляя эти величины в уравнения ( 11) и |
( 12), найдем |
из них, что С1 = 0 , С2 — — a /k 2. |
|
Окончательно получим искомую зависимость х = f(t) |
в виде |
х = —£-( 1 — caskt) , |
(13) |
где значения а и к? даются последними двумя из равенств (10). Таким образом, центр D катка совершает по отношению к тележке коле бания, закон которых дает равенство (13). Круговая частота k и пе риод т этих колебаний:
Задача Д12
Механизм, расположенный в вертикальной плоскости (рис. Д12.0 — Д12.9), состоит из ступенчатых колес J и 2 с радиусами Ri — 0,4 м, г\ = 0,2 м, Ri = 0,5 м, г2 = 0,3 м, имеющих неподвижные оси враще-
101
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
Д12 |
|
||
Номер |
|
|
|
|
; т 5 |
|
|
|
|
|
условия |
mi |
т 2 |
т 3 |
m t : |
Cl |
С2 |
С з |
|
||
0 |
|
|
|
8 |
' |
9 |
|
|
|
|
12 |
16 |
|
|
1200 |
|
|
|
| ллл |
||
1 |
10 |
8 |
4 |
— |
— |
— |
___ |
1000 |
||
2 |
16 |
12 |
— |
— |
6 |
— ■ |
800 |
— |
|
|
3 |
20 |
— |
— |
6 |
— , |
1500 |
____ |
___ |
Рис. Д12.4 |
|
4 |
— |
18 |
— |
— |
4 |
— |
1000 |
— |
■' |
|
5 |
18 |
14 |
6 |
— |
— |
1000 |
___ |
___ |
|
|
6 |
12 |
— |
8 |
4 |
— |
— |
_ |
1200 |
|
|
7 |
16 |
10 |
— |
— |
4 |
800 |
___ |
___ |
|
|
8 |
20 |
16 |
— |
8 |
— |
— ! |
1200 |
— |
|
|
9 |
10 |
— |
6 |
4 |
— |
1000 |
— |
— |
|
|
Ять
Рис, Д12.7
Рис. Д12.9
ния; однородного стержня 3 длиной 1 = 1,2 м, закрепленного шар ниром на одном из концов; грузов 4 и 5, подвешенных к нитям, намо танным на колеса. На стержне расстояние АВ = 2//3.
Стержень 3 соединен с колесом |
2 невесомым стержнем 6. Колеса |
1 и 2 или находятся в зацеплении |
(рис. О—4), или соединены неве |
сомым стержнем 7 (рис. 5—9). К колесам и стержню 3 прикреплены пружины.
В табл. Д12 заданы массы иг, тел (кг) и коэффициенты жест кости Ci пружин (Н /м ). Прочерки в столбцах таблицы означают, что соответствующие тела или пружины в систему не входят (на чертеже эти тела и пружины не изображать); в результате в каждом конкрет-