Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка по Теоретической механике

.pdf
Скачиваний:
225
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.27 Mб
Скачать

Указания. Задача С З — на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно равновесие каждого из двух узлов, где сходятся стержни и приложены заданные силы, и учесть закон о равенстве действия и противо­ действия; начинать с узла, где сходятся три стержня.

Изображать чертеж можно без соблюдения масштаба так, чтобы лучше были видны все шесть стержней. Стержни следует пронумеро­ вать в том порядке, в каком они указаны в таблице; реакции стержней обозначать буквой с индексом, соответствующим номеру стержня (например, Nt, N2 и т .д .).

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

СЗ

Номер условия

0

 

1

2

3

 

4

 

Узлы

Я, М

L, М

К, М

L, Н

 

К, Н

 

 

НМ, НА,

LM,

LA,

КМ, КА,

LH,

LC,

к н ,

к в ,

Стержни

НВ, МА,

LD, МА,

КВ, МА,

LD,

НА,

КС,

НА,

 

МС, MD,

MB, МС,

МС, MD,

НВ, НС

НС,

HD

Номер условия

5

 

6

7

8

 

9

 

Узлы

М, Н

L, Н

К, н

L, М

 

к, м

 

 

МН, MB,

LH,

LB,

КН, КС,

LM,

LB,

КМ,

КА,

Стержни

МС, НА,

LD,

НА,

KD, НА,

LD, МА,

KD,

МА,

 

НС, HD

НВ, НС

НВ, НС

MB, МС

MB,

МС

 

 

 

 

 

 

А

 

 

В

I

 

I

| z!

 

 

 

 

 

 

А '

] Д

/ —

л-Ч

 

 

 

р

 

 

 

 

Л /

 

/

I /

 

•'к

 

•'D _____м ]/

 

 

 

Рис. СЗ.О

Рис. С3.1

 

Рис. С3.2

 

23

к

—7

/ I

/ I

/ ?

/ I

 

I

/ -

V

- . - T

i

M

i -

}Л7

|

Cj

|

I

1

1

 

 

 

i

A

~ t ?

L

 

f —

/

 

I /

 

i /

 

 

 

 

 

//f

 

д -

 

 

 

 

 

 

Рис. ез.з

 

Рис. С3.4

 

 

 

M

 

 

 

 

 

4'

 

/ 1

 

 

T - + —

- f

'

 

 

^

|

К|

|

!

i

i

I

I

I

L

'

H \

I

 

F —

i ~ 4

 

/

I

/

i

)----------1 -

/

. i

/

i /

 

i

/8

 

 

/L

 

Л У

-—

- I

 

 

Рис. C3.6

Рис. C3.7

 

 

 

 

Л’

/

f

 

_7

-------

/I

 

 

Я

 

 

 

:

*'

,i

>

I

 

I

 

Z .L -— - i i '

Рис. C3.9

 

ЛГ________ ^

/ f

 

/ I в

/

I

 

/ I

A—4 ---------------/ |

1

j

1

!

 

 

r ?

 

 

A \

/

Рис. С3.5

A r

-----------f a

/ I

y '

/ I

/

f/T TI

L \

I

 

/

/£ - T ; 4

D

k

- V

 

Рис. C3.8

Рис. C3.10

24

Пример G3. Конструкция, состоит из невесомых стержней 1, 2, ..., 6,

соединенных яруг с другом* (в узлах К

и М)

и с неподвижными

опорами Л, В, С, D шарнирами (рис. СЗ).

В узлах К и М приложены

силы Р и Q, образующие с координатными

осями углы щ, Pi, Vi и u2,

Р2, V2 соответственно (на рисунке показаны только углы ub pi, yi).

Д а н о :

Р =

100 Н, idi — 60°, (!, =

60°,

Vi == 45°;

Q = 50 II,

«а = 45°, р2 =

60°,

72 = 60°, f = 30°, ф =

60°,

8

= 74°.

О п р е д е ­

л и т ь : усилия в стержнях / —6 .

Решение. 1, Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила Р и реакции Ni, N2 , Ni стерж­ ней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растя­ нутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной систе­ мы сходящихся сил:

 

 

 

 

 

SFkx ■ О, Р cos «1 +

N2 sin

+ Л^з sin ф = 0 ;

 

 

( 1)

2 Fky =

0,

Я cos Pi — N\ — N2 cos г):

0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

2 Fkz =

0 , Pcosvi — Л^зсовф =

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

Решив уравнения (1), (2), (3) при

 

 

 

 

 

заданных числовых значениях силы Р и

 

 

 

 

 

углов,

получим

N 1 =

349

Н,

 

N2

=

 

 

 

 

 

=

- 3 4 5

Н, N3 =

141

Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Рассмотрим равновесие узла М.

 

 

 

 

 

На

узел

действуют сила Q и реакции

 

р ис

 

 

 

Л/г, N4 , Л/'s, ЛГ6 стержней. При этом по

 

 

 

 

 

закону о равенстве действия и противодействия реакция N 2 направлена

противоположно N2, численно же N2'

= N2 . Составим уравнения равно­

весия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2iFkx = 0, Q cosa2 —A/jsinip — Л/ 4 —Л/'ssin 6 sin -ф =

0 ;

 

(4)

 

 

 

 

S'Fty =

0,

Q cosp2 +

Л/2 Соэг|)+Af5 sin 8 cosi|) = 0;

 

 

(5)

 

 

 

 

 

S ffe = 0, Qcosy2 NscosS — N&= 0 .

 

 

(6 )

 

При определении проекций

силы N$ на оси х и у в уравнениях

(4)

и, (5)

удобнее

сначала найти

проекцию Щ этой силы на плоскость

хОу (по

числовой

величине

N1 =

N5 sin 6 ), а

затемнайденную

проек­

цию на плоскость спроектировать на оси х, у.

 

 

 

 

 

Решив

систему уравнений

(4),

(5),

(6 )

иучитывая,

что

N2

=

— Ы2 =

— 345 Н, найдем, чему равны N 4, N s,

N6.

 

 

 

 

О т в е т :

№ = 349 Н;

N2 =

345

Н; N3 = 141 Н;

№ =

50

Н;-

Ns =

329 Н; Ne =

— 6 6 Н. Знаки показывают, что стержни 2 и 6

сжаты,

остальные — растянуты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3—1722

25

Задача С4

Две однородные Прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1 (рис. С4.0 — С4.7) или же двумя подшипниками в точках А и В и двумя невесомыми стержнями 1 и 2 (рис. С4.8, С4.9); все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами.

Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты Pi = 5 кН, вес меньшей плиты Рг = 3 кН. Каждая из плит расположена парал­ лельно одной из координатных плоскостей (плоскость х у — горизон­ тальная).

На плиты действуют пара сил с моментом М — 4 кН-м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направле­ ния и точки приложения указаны в табл. С4; при этом силы Еi и F4 ле­ жат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила Ег — в плоскости, параллельной xz, и сила Е3 — в плоскости, параллельной уг. Точки приложения сил {D, Е, Н, К) находятся в углах или в серединах сторон плит.

Определить реакции связей в точках Л и В и реакцию стержня (стержней). При подсчетах принять а = 0,6 м.

Указания. Задача С4 — на равновесие тела под действием произ­ вольной пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляю­ щие (по всем трем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) — две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (подшипника). При вычислении мо­

мента

силы Е часто

удобно

разложить ее

на две

составляющие

Е' и

Е", параллельные координатным

осям

(или на

три); тогда,

по теореме Вариньона,

тх{Е) =

mx{F') +

m,{F")

и т. д.

 

гЗа

Т а б л и ц а С4

Пример С4. Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис.'С4) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (под­ шипником) в точке В и невесомым стержнем DD'. На плиту в плоскости,

параллельной зсг,

действует

сила

F,

а в

плоскости,-

параллельной

уг, — пара сил с моментом М.

 

 

 

 

 

 

Д а н о :

Я =

3 кН, F = 8

кН,

М =

4 кН -м, и = 60°, Л С =

0,8 м,

АВ ==1,2 м, BE =

0,4 м, ЕН =

0,4 м. О ц р е д е л и т ь :

реакции

опор

А, В и стержня DD'.

 

 

 

'

 

*•

Решение. 1. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют

заданные силы Р, F и пара с моментом М, а также реакций связей.

Реакцию сферического шарнира разложим

на три составляющие ХА>

?а> ZA, цилиндрического (подшипника)

на две составляющие Хн, ZB

(в плоскости, перпендикулярной оси подшипника); реакцию N стержня

направляем

вдоль

стержня от

D к

D',

предполагая, что

он растянут.

2.

Д ля

определения

шести

неизвестных

реак­

ции

составляем

шесть

уравнений

равновесия

,действующей на плиту пространственной системы сил:

 

S /7** = 0,

Х д - \ -

 

 

 

+ Л д - { - Z7cos 60° =

0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

= 0,

Ya — iVcos 30° = 0 ;

рис С4

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

2/?*г = 0,

+

P + ^ s in 3 0 o - F s in 6 0 o = 0 ;

(3)

Zm^Fk) =

О, М — P - A B / 2 + Zb-AB Fsin 60°-ЛВ + ./V sin 30°-ЛВ =

0;

 

 

=

0,

P -^ C /2 -A fsin 3 0 ° -,4 C + /'s m 6 0 ° M C /2 -

(4)

 

 

 

 

 

 

 

-F c o s 6 0 ° - B £ = 0 ;

(5)

 

2 /п г(/?*) =

0; F COS60°-AB —N_COS3 0 ° - A C - X b -AB = 0 .

(6)

Для определения моментов силы F относительно осей разлагаем ее

на составляющие F' и F", параллельные осям

х и

z (F' = Fcosа,

F" = F sin а),

и применяем теорему Вариньона

(см. «Указания»), Ана­

логично можно поступить при определении моментов реакции N.

 

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех за­

данных величин и решив эти уравнения, найдем искомые реакции.

 

О т в е т :

ХА = 3,4 кН; YA 5,1 кН; ZA =

4,8

кН;

Хв = — 7А

кН;

Z B = 2,1

кН;

N 5,9 кН. Знак минус указывает,

что

реакция Хв

на­

правлена

противоположно показанной на рис. С4.

 

 

 

КИНЕМАТИКА

Задача К-1

Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо решить.

Задача К1а. Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0 — К1.9, табл. К.1; траектория точки на рисунках показана условно).

Закон движения точки задан уравнениями: х =

у = /г(0> где х и у

выражены в сантиметрах, t — в секундах.

 

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t\ = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нор­ мальное ускорения и радиус кривизны л соответствующей точке траек­ тории.

Зависимость х = f,(t) указана непосредственно на рисунках, а за-

Номер

усло­

вия

I

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

рис. 0—2

2

l2sin( i H )

-6cOS( f 0

-3sin2( - f 0

9SK T O

3 COS( T 0

10sin( f O

e s i n ^ t )

- 2 sin (-=-*)

9COS(T /)

' - 8sin( ^ )

у = МО

рис. 3—6

3

2t2+ 2

8sin( x /)

{2 + t f

213

2 COS( T 0

2 - 3 i2

2sin(-2-i)

(< + l)3

2 — t3

4COS(T 0

рис. 7—9,

4

4 c o s ( - ^ )

6cos2( i W

4COS(T O

lOcos( ! 0

- 4 C° S2( - J / )

12COS( T M

-3 c o s ( - ^ )

-8c0S( f ' )

9cos( i W

-6C0S( ^ )

Т а б л и ц а КД

s = f(0

5

4COS( T 0

2s i n ( - ^ )

6/ — 2/2

"2sin( f 0

4cos( f 0

-3 s i n ( |< )

3*2— 10*

-2cos( f 0

3sin( ^ )

- 2cos№ )

висимость у == f2(t) дана в табл. К1 (для рис. в —2 в столбце 2, для рис. 3—6 в ртолбце 3, для рис. 7—9 в столбце 4). Как и в задачах С1— С4, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра; -af номер условия в табл. К1 — по последней.

Задана К1 б. Точка движется по дуге окружности радиуса R ■— 2 м по закону s = f{t), заданному в табл. К1 в столбце 5 (s — в метрах, t — в секундах), где s = AM — расстояние точки от некоторого начала

30

л - * - 2 £ x = Z - t

Рис. К1.4 Рис. К.1.5

Рис. К1.6

А, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t\ = 1 с. Изобразить на рисунке векторы а и а, считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета s — от

Ак М.

1Указания. Задача К1 относится к кине­ матике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость

и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются с корость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения.

В задаче все искомые величины нужно определить только

для

момента времени t\ = 1 с. В некоторых вариантах задачи Ю а

при

определении траектории или при последующих расчетах

(для их упро­

щения)

следует

учесть

известные

из

тригонометрии формулы:

cos2a =

1 — 2sin2a = 2cos2a ^

1; ' sin2a =

2sin aco sa .

 

Пример К1а. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

 

х =

— 2 c

o

s

+ 3>

У =

2 sin ( - g - *) “

*

{х, у — в сантиметрах,

t — в секундах).

 

 

Определить

уравнение

траектории точки; для момента времени

<i = 1 с

найти скорость- и

ускорение точки, а также ее

касательйое и

нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке

траектории.

 

Решение. 1. Д ля определения уравнения траектории точки

исклю­

чим из заданных уравнений движения время А. Поскольку t

входит

в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

c o s 2 u = 1 — 2sin2«

или

cos^ -^ -f^ = 1 — 2s.in2^ - ^ - ^ .

(1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих

функций и подставляем в равенство

(1). ПЬлучим

 

 

 

 

/ и д

3 —х

. / я д

у + 1

 

 

 

c° s ( — /) =

2 - .

s,n( V

)

 

 

 

 

 

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 - ж .

,

„ (< /+ 1 )2

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории

точки (параболы, рис. К1а):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = ( у + 1)2+ 1 .

 

 

 

 

 

(2):

 

 

 

2. Скорость точки найдем по ее

 

 

проекциям на координатные оси:

 

 

 

 

 

Ахп

. (

л

\

— У •

 

 

 

 

^ ^ Г = — Ч

 

 

 

 

 

0"= ^

л

/

я

\

 

 

 

 

г = - г сЧ - 8 - у ;

 

 

 

 

 

о=-\/тЯ + и1

 

 

 

 

И при /[ =

1 с

 

 

 

 

 

 

 

v u = 1,11 см/с,

v\g =

 

0,73 см/с,

 

Рис. К1а

 

 

 

а, =

1,33 с м /с .

(3)

32

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.