Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка по Теоретической механике

.pdf
Скачиваний:
244
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.27 Mб
Скачать

ном варианте получается довольно простой механизм, содержащий три или даже два тела. Стержень 6 или 7 входит в состав механизма, когда

внего входят оба тела, соединенные этим стержнем.

Вположениях, изображенных на рисунках, механизм находится в

равновесии. Определить частоту и период малых колебаний системы около положения равновесия. Найти также, чему равно статическое удлинение (сжатие) пружины Хст в положении равновесия.

При подсчетах считать • колеса 1 п 2 сплошными однородными цилиндрами радиусов Ri и /?2 соответственно,

Рассмотрим два примера решения этой задачи.

Пример Д12а. Находящаяся в равновесии механическая система состоит из колеса 1 радиуса Ri, ступенчатого колеса 2 с радиусами Ri и г2 и груза 3, подвешенного на нити, намотанной на колесо 2;

колеса соединены

невесомым

стержнем АВ

(рис. Д12а).

К колесу t

прикреплена вертикальная пружина с коэффициентом жесткости с.

Д а н о: mi =

12 кг, тг =

6 кг, тз — 3 кг, i?i = R2 =

R, ъ = 0,5R,

с — 900 Н/м. Колеса считать

сплошными

однородными

цилиндрами.

О п р е д е л и т ь :

частоту k и период т малых колебаний системы около

положения равновесия и значение Яст.

 

 

Решение. 1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в ка­ честве обобщенной координаты угол ф поворота колеса / от равновес­ ного положения (при равновесии <р= 0 и s D = 0, s3 — 0); при движе­ нии системы, рассматривая малые колебания, считаем угол ф малым.

Поскольку все действующие на систему активные силы потенциаль­ ные (сила тяжестиаи сила упругости), выразим обобщенную силу Q через потенциальную энергию П системы. Тогда исходным уравнением будет

-

U

~

)

)

дТ

= Q , где Q :

dll

 

dt \

дф

 

<}ф

 

<Эф

 

104

2. Определим кинетическую энергию системы, равную сумме энер­ гий всех тел:

Т=,

Г14*Г2 + Гз.

(2)

Так как колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей Оi и 0 2, а груз 3 дви­

жется поступательно, то

 

 

 

Г, = / 01<в?/2 , Г2 = / 02и 1/2 ,

 

Т3 =

т зЬ з/2 ,

(3)

где

 

 

 

/о, =

 

/ 02= т 2Л1/2.

(4)

Все скорости, входящие

в

равенства (3), надо

выразить через

обобщенную скорость ср. Тогда coi = ф. Далее, ввиду малости угла ф

можно считать в каждый момент

времени

v B=

Va, т. е. о)2г2 =

 

откуда

ш2 = о)1^ |/г 2и

из = СО2Л2 =

o)i/?ii?2/ r 2.

Отсюда,

учтя,

что

/?] =

= Д2 =

/?, г2 = 0,5Я,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

coi =

ф,

о)2 = /?1ф/л2 = 2ф ,

v 3

2Яф .

 

 

(5)

Подставляя величины

(4), где Ri =

Яг =

R,

и

(5) в

равенства

(3),

получим из равенства

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т = 0,5а0ф2 ,

где а 0 =

(0,5mi -f 2m2 +

4 т 3)Л2 .

 

(6)

Отсюда находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дТ

 

дТ

п

d /

дТ \

 

 

 

 

 

- д ^ - а^

’ - д ^ =

0 ’ - 1 Г \ ~ W )

= a^ -

 

(7)

3. Определим потенциальную энергию П системы, учитывая, что

для пружины П = 0,5сЛ2, где X — удлинение (сжатие)

пружины, а для

поля сил тяжести

П =

mg zc, где z c — координата

центра

тяжести

(ось г направлена по вертикали вверх).

 

 

 

 

 

 

Тогда для всей системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П = 0,5сХ2 +

m3gzC3-

 

 

 

 

(8)

Определяя Л., учтем, что в положении равновесия пружина может иметь некоторое статическое (начальное) удлинение или сжатие Х„, необходимое для сохранения равновесия (в нашем случае для уравно­ вешивания силы тяжести, действующей на груз 3). При повороте колеса 1 на угол ф пружина получит дополнительное к кстудлинение

s 0 = R i y .

Следовательно, X = X CT-\-sD = XCT-\-R<(.

Для

2с3, направляя ось z из точки Оз вверх, получим Zc3 = —5з-

Чтобы выразить зз через ф, заметим, что зависимость между малыми

перемещениями здесь будет такой же, как

между соответствующими

скоростями. Тогда по аналогии с последним

из равенств (5) s3 = 2Rcp

и z c 3 = — 2Rq>.

 

Подставляя все найденные величины в равенство

(8), получим

 

П = 0,5с(Яст+Яф)2 —2m3gR<f>.

 

(9)

4. Определим обобщенную силу Q и Х„. Сначала находим

 

Q = ---- = - cR(\CT+

R<f) + 2m3gR .

 

( 10)

Входящую

сюда неизвестную величину Хст найдем

из

условия, что

при равновесии,* т. е. когда ф == 0,

должно быть и

Q =

0. Полагая

в (10) ф =

0 и Q = 0, получим cRk„ = 2m3gR, откуда

 

 

Яст= 2m3g/c.

 

(И )

Заменяя в

(10) Л,С1 этим значением,

найдем, что

 

 

 

Q = -

c R \ .

 

( 12)

5. Составляем уравнение Лагранжа. Подставляя значения про водных из равенств (7) и значение Q из (12) в уравнение (1), получим а0ф = —c R \ или, с учетом обозначения в (6),

Ф + А 2Ф =

гДе

k2 = — —

=

--------Т ~а------------------•

( 13)

 

 

ао

 

mi + 4m2 + 8m3

 

Из теории колебаний

известно,

что

когда уравнение

приведено

к виду (13), то в нем k является искомой круговой частотой, а пфиод колебаний т = 2я/6. При заданных числовых значениях mi, m2, и?з и с,

произведя соответствующие подсчеты, получим из (13) и (11)

о т в е ­

ты: k = 5,48 с-1, т = 1,11 с, ХС1=

0;065 м = 6,5 см.

 

Пример Д126. Находящаяся

в равновесии механическая

система

состоит из однородного стержня /, ступенчатого колеса 2 с радиусами ступеней и г2, груза 3, подвешенного на нити, перекинутой через блок 4 и намотанной на колесо 2, и невесомого стержня 5, соединяю­ щего тела 1 и 2 (рис. Д12, б). В точке Оi шарнир; в точке А прикреп­ лена горизонтальная пружина с коэффициентом жесткости с.

Д а н о :

mi =

10 кг, ms*= 12

кг,

.m3 = 4

кг,

m 4 = 0,

Rz =

R,

г2 = 0,5/?',

с =

750

Н/м,

0[Л = 1 = 1

м,

OiB =

1/3.

Колесо 2

считать

сплошным

однородным

цилиндром. О п р е д е л и т ь :

частоту

к и

пе­

риод т малых колебаний системы около положения равновесия и зна­ чение

Решение. 1. Рассмотрим произвольное положение системы, когда она выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания (рис. Д12, в). Система имеет одну степень свободы. Выберем в ка­ честве обобщенной координаты угол ф отклонения стержня от вертика­ ли, считая ф малым, и составим для системы уравнение Лагранжа.

Поскольку

все действующие активные силы (сила упругости и

силы

тяжести)

потенциальные, выразим обобщенную силу Q через

потен­

циальную энергию П системы. Тогда исходным уравнением будет

 

 

d

/

дТ

\

( 1)

 

dt

\

<Эф

/

При исследовании малых колебаний в уравнении сохраняют малые величины ф, ф в первой степени, отбрасывая малые более высокого порядка. Для этого надо найти выражения Г и П с точностью до ф2 и ф2, так как в (1) входят первые производные от Т и П по ф и ф, а при

дифференцировании

многочлена

его

степень

понижается на единицу

2. Определим кинетическую энергию Т системы, равную сумме

энергий всех тел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т = Г, + Г2 + Г3 .

 

 

 

(2 )

Так как стержень 1 и колесо 2 вращаются вокруг осей Оi и С2

соответственно,

а груз 3 движется поступательно, то

 

 

 

 

 

Ti =

/ о

1( й ? / 2

; Тг— / С2с й 2 / 2 ;

 

(3)

где

 

 

 

 

Тз =

m.3vl/2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 0, =

т

,/2/ 3 ; IC2= m 2R2/ 2.

 

(4)

Все

скорости,

входящие в

равенства (3),

надо выразить

через

обобщенную скорость ф. Тогда <oi =

ф. Затем ввиду малости ф

можно

считать

v d = v b =

® i//3 .

Учтя

это,

найдем

ю2 = и о /г 2 = vD/0,5R

и

из = V B

= £02R .

Таким образом,

toi =

ф; сог =

2/ф/ЗЛ;

 

 

 

 

 

 

 

из =

2 /ф /З .

 

 

 

(5)

Подставляя

величины

(4) и

(5)

в равенства

(3), получим

из

(2)

1'

!о<р2 , где ао =

Отсюда находим

d / дТ \

(7)

чЛ .-щ г) = аоф

 

107

3. Определим потенциальную энергйю П системы, учитывая, что

для пружины П = 0,5сХ2, где X — удлинение (сжатие)

пружины, а для

поля сил тяжести

П = mgzc, где z c — координата

центра тяжести

(ось г направлена по вертикали вверх). Тогда для всей системы

П =

0,5cA.2 + 'm gZc1 + m 2g z C2+ m 3g2c3.

<8 )

где величины X, z c„ z C2>г с3должны быть выражены через ф. Определяя Л., учт*м, что в положении равновесия пружина может

иметь некоторое статическое (начальное) удлинёние или сжатие Яст, необходимое для сохранения равновесия (в нашем случае для уравно­

вешивания силы тяжести Рз).

В

произвольном

положении

(см.

рис. Д12, в)

пружина получит дополнительное

удлинение, равное «л,

причем ввиду малости <р можно

считать

=

/«к, Тогда X = ?.ст -|- S/ =

— ^ст-Ыф-

 

 

 

 

 

 

 

Для z Cp

направляя ось z\

из

точки

Оi

вверх,

получим

z c, =

= 0,5/соэф. Разлагая здесь соБф в ряд и сохраняя член с ф2, получим*

1

Ф2

1- (

\

Ф2 N

 

С 0 5 ф = 1

- _

и гс1= ^

1 _ _ у

 

Для 2 с2, в з я в начало координат в точке Сг, получим z C2 — O'.

*

Для г Сз, совмещая

начало

координат

0 3

с положением

центра

тяжести груза 3 при равновесии, получим zc3=

—S3, где S3 — переме­

щение груза. Чтобы выразить s3 через ф, заметим, что зависимость между малыми перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями. Тогда по аналогии с последним из

равенств (5)

S3 =

2/ф/З и Zc3= — 2/ф/З.

 

 

Подставляя все найденные величины в равенство (8 ), получим

П

= ~2-(Хст + / ф) 2

1 ----- ^ ---------- — rti3gl<$ ■

 

(9)

4. Определим обобщенную силу Q и Хст. Сначала находим

 

 

Q =

---- ^

- =

- [ с 1 { Х „ + Щ ---- -----------------1 - т з * / ] .

(Ю)

Входящую сюда неизвестную величину Хст найдем из условия, что

при равновесии,

т. е. когда ф =

0, должно быть и Q = 0.

Полагая

в равенстве

(10)

ф = 0

и Q = 0,

получим clX„— 2mzgl/3 =

0,

откуда

* В случае когда стержень СМ горизонтален (поверните рис. Д12,в на 90°), будет z c = 0,5/sinф, и нужное приближение получится, если считать sin ф = ф.

108

Заменяя в (10) Хст этим зн|чением, найдём окончательно

Q = -г 6Ф , где 6 = {cl —0,5mig)l.

(12)

5. Составляем уравнение Лагранжа, Подставив значения произ­ водных из равенств (7) и значение Q из (12) в уравнение (1), получим аоф = —Ьф или

Ь

9(2cl — mig)

Ф + /г2ф = 0 , где k2

(13)

а0

2(3m i+ 2тг + 4отз)/

Из теории колебаний известно, что когда уравнение приведено к виду (13), то в нем величина k является искомой круговой частотой, а период r = 2 n / k . При заданных числовых значениях, произведя соответствующие расчеты, получим из (13) и (II) следующие о т в е ­ ты: k = 9,49 с-1; т = 0,66 с; Яст= 0,035 м = 3,5 см.

Другое решение. Рассмотрим другой путь решения задачи, пригод­

ный и когда действующие силы не потенциальны.

Выберем опять в качестве обобщенной координаты угол ф, считая его малым, и составим для системы уравнение Лагранжа

(14)

Для кинетической энергии Т системы и для соответствующих произ­ водных получим, как и раньше, значения (6) и (7).

Чтобы найти обобщенную силу Q, надо изобразить на чертеже (рис. Д12,б) действующие активные силы, совершающие работу при

перемещении системы,

т. е. силу, упругости

пружины F, приложенную

к стержню

1 в точке

А

и направленную

вправо (пружину считаем

растянутой),

силу тяжести

Pi, приложенную к стержню /

в точке Си

и силу тяжести Р3, приложенную к грузу J ;

обе эти силы

направлены

по вертикали вниз (на рис. Д12,б билы F, Pi,

Р3 не показаны, но при ре­

шении задачи таким путем их надо изображать).

 

Теперь сообщаем системе возможное перемещение, при котором угол <р получает положительное приращение 6<р, и вычисляем работу бЛ

всех названных сил на этом перемещении. Получим

 

бА = (— /=7созф + .Р1-^-5тф)6ф + Рзб5з .

(15)

В равенстве (15) надо выразить бs3 через 6ф. По аналогии с послед­

ним из равенств (5) найдем, что

(16)

6S3 = 2/бф/З .

Определим еще значение силы упругости F. По модулю F =

сХ, где

X — удлинение пружины, слагающееся из начального удлинения Аст и

дополнительного удлинения s^, которое ввиду малости угла ф можно

считать

равным

/ср. Тогда

X = Яст+ /ф и

 

 

 

 

 

F =

с(ХСТ+7ф ).

(17)

Подставив

величины

(16)

и (17) в равенство (15) и учтя,

что

р, = mig, а Рз = п з g и что ввиду малости ф можно считать вшф =

ф,

cos ф =

1, приведем окончательно равенство

(15) к виду

 

 

6Л = [ — с(Яст+ Лр)/ + rftigl<f/2 +

2«з§//3]бф .

 

109

Коэффициент при 6<р в правой части полученного равенства и явля­ ется искомой обобщенной силой. Следовательно,

Q = [ cXzy+ ( m , g / 2 — c[)y +

2m3g / 3 ] l .

 

 

(18) 1

Величину А.ст опять находим учитывая,

что при равновесии,

т. е-.

при ф = 0, будет и Q — 0. В результате получим

для

Ястзначен

ваемое формулой (11). При таком Яст найдем из

(18) окончательно, что-

Q = (mig/2 — cl)lq>.

(19)

Подставляя значения соответствующих производных из равенств

(7) и значение Q, даваемое формулой (19), в уравнение (14), приведем

его окончательно к виду

 

 

 

 

 

Ф + (с/ — mig/2)-^-<p= 0.

 

(20)

 

 

 

ао

 

 

Решение уравнения

(20)

существенно зависит от знака

коэффициента

при ф. Если этот коэффициент положителен, т. е.

 

 

 

 

 

c > m \ g / 2 l ,

-

(21)

то, введя обозначение

 

 

 

 

 

k2 = (cl —m.]g/2)l/ao,

 

(22)

получим, как

известно, решение уравнения (20) в виде

 

 

 

Ф =

Ci s\n(kt) + C2cos(6f).

 

 

Если при

t

=

0ф = фо и ф = фо, то Сг =

фо,С\ = фо/й.Н

всегда можно

выбрать столь малыми, что угол ф во

всевремя движения

тоже будет оставаться малым и, следовательно, система будет совершать малые колебания около положения ее равновесия, определяемого уг­ лом ф = 0. Равновесие системы в таком случае называют устойчивым; условие устойчивости равновесия определяется в данной задаче неравен­

ством

(21).

Если же коэффициент при ф в уравнении (20) будет отрицательным,

т. е.

будет c < m i g / 2 l, то введя обозначение п = (m.ig/2 cl)l/cto,

приведём уравнение (20) к виду <р —п2ф = 0. Решением этого уравнения, как тоже известно, будет

ф = Cte"‘+ C 2e - nl

и, каковы бы ни были начальные условия, множитель е"1, а с ним и угол <р, будут со временем возрастать, т. е. система, выведенная из равновесного положения сколь угодно малым смещением (толчком), будет от этого положения все больше и больше отклоняться. Равновесие системы в таком случае называется неустойчивым.

В решаемой задаче с = 750 Н/м, a m tg/2l л* 49 Н/м и неравенство (21) выполняется. Следовательно, равновесие системы является устойчи­ вым и она может совершать около положения равновесия малые колеба­ ния. Круговая частота k этих колебаний определяется из равенства (22), а период т = 2n/k. Числовые значения искомых величин получаются, конечно, те же, что и в п. 5.

1

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Методические указания....................................................

 

3

Рабочая

программа .........................................................

 

5

Список литературы ............................................................

 

11

Контрольные задания .........................................................

 

12

Содержание заданий, выбор вариантов, порядок выполнения ра­

 

бот, пояснения к тексту задач.........................................

 

12

Задачи к

контрольным заданиям . .

............................................

14

С татика.............................................................................................................

 

 

14

К и н е м а т и к а ......................................................................

'..........................

29

Д и н ам и к а .......................................................................................................

 

50