Методичка по Теоретической механике
.pdfт
Рис. Д8.0
Шя?,
Рис. Д8.3 |
Рис. Д8.4 |
Рис. Д8.5 |
Рис. Д8.7
83
J
...... .
силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня)
имеют равнодействующую R ", то численно R “= |
m a c ,' |
где а с' ~ ускорение центра масс С тела, но |
линия- |
действия силы R “ в общем случае не проходит через точку С (см. пример Д 8 ).
Пример Д8. Вертикальный вал длиной 3а(АВ = = BD = DE = а), закрепленный подпятником А и подшипником D (рис. Д8, а), вращается с постоян ной угловой скоростью ш. К валу жестко прикреплен
вточке Е- ломаный однородный стержень массой т
идлиной 106, состоящий из двух частей У и 2, а в
|
точке |
В прикреплен невесомый |
стержень |
длиной |
|||||
Рис. Д8.9 |
/ = 56 с точечной массой т з на конце; оба стержня |
||||||||
лежат |
в одной плоскости. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
Д а н о : |
to = 8 с-1, |
m = |
mi + |
m2 = |
10 |
кг, тз = 2 кг, |
а = 30°, |
||
Р = 150°, ф = |
60°, а = 0,3 м, |
6 = |
0,1 м. |
О п р е д е л и т ь : |
реакции |
||||
подпятника А и подшипника D, пренебрегая весом вала. |
|
||||||||
Решение. |
1. Изображаем |
(с |
учетом заданных |
углов) вал |
и при |
||||
крепленные к |
нему в точках |
В |
и |
Е стержни |
(рис. Д8, б). Массы и |
веса частей 1 и 2 ломаного |
стержня пропорциональны длинам этих |
|||
частей и соответственно равны т\ = |
0,6т; |
тч = 0,4т; |
|
|
Pi = 0,6mg; |
Р2 = |
0,4mg ; |
P 3 = m 3g . |
(1) |
2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение задан ной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем
<0
84
вращающиеся вместе с валом координатные оси Лед так; чтобы стерж ни лежали а плоскости ху, и Изобразим действующие на систему силы: активные силы — силы тяжести Pi, Яг, Рз и реакции связей — составляющие реакции подпятника Ха, YA -и реакцию цилиндрического подшипника R D.
Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его
материальной точкой.
Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения ank, направленные к оси вращения, а численно апц = и2/;*, где А* — расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции F$ будут направлены от оси вращения, а численно 'FS = КгпкЧкп = ktrikvphk, где Д/и*— масса элемента. Так как все Ft про порциональны hk, то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2 — прямоугольник (рис. Д8, б).
Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как мо
дуль |
главного |
вектора |
сил |
инерции любого тела имеет значение |
||||||
R “ = |
тас, где |
т — масса |
тела, |
а с — ускорение |
его |
центра |
масс, |
|||
то для частей стержня соответственно получим |
|
|
|
|||||||
|
|
|
ЯГ = m i a c t , R 2 = т 2а С2 ■ |
|
|
(2) |
||||
|
Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторо |
|||||||||
ну, противоположную ее ускорению и численно будет равна |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
F S = т з а з ■ |
|
|
|
(3) |
|
|
Ускорения |
центров |
масс |
частей 1 и 2 стержня |
и груза 3 |
равны: |
||||
|
|
а с 1 = |
w2ACi , а С2 = |
а>2АС2, а3 ~ a>2h3 , |
|
(4) |
||||
где АС1, Ас2 — расстояния |
центров масс частей стержня |
от оси |
враще |
|||||||
ния, а А3 — соответствующее расстояние груза: |
|
|
|
|||||||
|
|
hci = |
3&sin30° = 0,15 |
м , |
|
|
|
|||
|
|
|
Лс2 = |
66sin30° =г 0,3 |
м , |
|
|
(5) |
||
|
|
Аз = |
/sin 60° = 56 sin 60° = |
0,43 м . |
|
|
|
|||
Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5), |
получим числовые |
|||||||||
значения R “, R§ я Ff. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
R ! = 0,6mw2ACi = 57.6Н , |
|
|
|
|||||
|
|
R $ = 0,4ma)2Ac2= 76,8 |
H , |
|
|
(6) |
F S = отз<о2Аз = 55,0 H .
При этом линии действия равнодействующих R? и R$ пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, линия
85
u |
|
|
2 |
от вершины |
треугольника? |
действия R\ |
проходит на расстоянии |
||||
Е, где |
Н = |
66 cos 30°. |
о |
|
|
|
|
|
|||
3. |
Согласно принципу |
Д а л а м б е р а , |
приложенные |
внешние силы |
|
(активные и реакции связей) |
и силы инерции образуют уравновешенную |
систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим
|
2 F kx = 0 ; X A + R d+ M + № - F $ = 0 ; |
|
|
|||||||
|
2 ^ = 0; Ул- Р , - Р 2- Р з = 0; |
|
. |
|||||||
^,M/i(Fk) = 0 ; — Ro-2a — Pit ta — |
|
+ |
— |
|
||||||
|
- |
RWi - |
RIH2 + Fffl» = 0 , |
|
|
|
|
|||
где Hi, Н2, |
Н3 — плечи |
сил Rf, R$, F$ |
относительно точки А, |
равные |
||||||
(при подсчетах учтено, что Н = |
66cos30° = 0,52 |
м)- |
|
|
||||||
Н\ = З а —( 2 /3 ) # = |
0,55 |
м, |
Я 2 = |
З а - ( Я |
+ |
26) = |
0,18 м , . |
|||
|
Я3 = |
а + |
/cos 60° = |
0,55 м . |
|
|
^ |
|||
Подставив в уравнения (7) соответствующие величины из ра |
||||||||||
венств (1), (5), (6), (8) и решив |
эту систему уравнений (7), |
найдем |
||||||||
искомые реакции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : |
ХА= - 3 3 ,7 |
Н; Yл = |
117,7 Н; R D= |
- 4 5 ,7 |
Н. |
|
Задача Д9
Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, находится под действием приложенных сил в равновесии; положение равновесия определяется углами а, р, у, q>, 0 (рис. Д9.0 — Д9.9, табл. Д9а я Д 9б). Длины стержней механизма (кривошипов) равны: h — 0,4 м, U = 0,6 м (размеры /2 и h произвольны); точка Е находится в середине соот ветствующего стержня.
На ползун В механизма действует сила упругости пружины F; численно F = сХ, где с — коэффициент жесткости пружины, X— ее деформация. Кроме того, на рис. 0 и 1 на ползун D действует сила Q, а на кривошип OiA — пара сил с моментом М; на рис. 2—9 на криво шипы 0[А и 0 20 действуют пары сил с моментами Мi и М2.
Определить, чему равна при равновесии |
деформация X пружины, |
и указать, растянута пружина или сжата. |
Значения всех заданных |
величин приведены в табл. Д9а для рис. 0—4 и в табл. Д9б для рис. 5—9, где Q выражено в ньютонах, а М, Mi, Mi — в ньютоно метрах.
Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом а; для большей наглядности ползун с направляю щими и пружину изобразить так, как в примере Д9 (см. рис. Д9, а так же рис. Д9.10, б). Если на чертеже решаемого варианта задачи прикрепленный к ползуну В стержень окажется совмещенным с пружи
86
ной (как на рис. Д9.10, а), то пружину следует считать прикрепленной к ползуну с другой стороны '{как на рис. Д9.10, б, где одновременно иначе изображены направляющие).
Указания. Задача Д9 — на определение условий равновесия механической системы с помощью принципа возможных перемещений. Механизм в рассматриваемой задаче имеет одну степень свободы, т. е. одно независимое возможное перемещение. Для решения задачи нужно сообщить механизму возможное перемещение, вычислить сумму элемен тарных работ всех действующих активных сил и пар на этом переме щении и приравнять ее нулю. Все вошедшие в составленное уравнение возможные перемещения следует выразить через какое-нибудь одно.
Чтобы найти X, надо из полученного условия равновесия опре делить силу упругости F. На чертеже эту силу Можно направить в любую сторону (т. е. считать пружину или растянутой, или сж атой); верно ли выбрано направление силы, укажет знак.
Номер
усло
вия
a
|
|
|
Т а б л и ц а |
Д9а (к |
рис. Д9.0 — Д9.4) |
|
|
Углы, град |
|
|
Для рис. 0—1 Для рис. 2—4 |
||
Р |
|
|
с, Н/см |
|
|
|
V |
<Р |
е |
М |
Q |
М, М 2 |
|
0 |
90 |
120 |
90 |
90 |
60 |
180 |
100 |
400 |
120 |
460 |
|
1 |
60 |
150 |
30 |
90 |
30 |
160 |
120 |
380 |
140 |
440 |
|
2 |
30 |
120 |
120 |
0 |
60 |
150 |
140 |
360 |
160 |
420 |
|
3 |
0 |
60 |
90 |
0 |
120 |
140 |
160 |
340 |
180 |
400 |
|
4 |
30 |
120 |
30 |
0 |
60 |
130 |
180 |
320 |
200 |
380 |
|
5 |
0 |
150 |
30 |
0 |
60 |
120 |
200 |
300 |
220 |
360 |
|
6 |
0 |
150 |
90 |
0 |
120 |
110 |
220 |
280 |
240 |
340 |
|
7 |
90 |
120 |
120 |
90 |
150 |
100 |
240 |
260 |
260 |
320 |
|
8 |
60 |
60 |
60 |
90 |
30 |
90 |
260 |
240 |
280 |
300 |
|
9 |
120 |
30 |
30 |
90 |
150 |
80 |
280 |
220 |
300 |
280 |
|
|
|
|
|
|
1 а б л я ц а |
0,96 (и |
рис. Д9.5 — Д9.9) |
|||
|
|
3 |
■ |
Углы, |
град |
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
усло |
a |
|
Р |
У |
Ф |
0 |
с,Н/см |
Л*1 |
|
м 2 |
|
вия |
|
|
|||||||||
,, |
0 |
30 |
|
30 |
60 |
0 |
150 |
80 |
200 |
|
340 |
1 |
0 |
|
60 |
60 |
0 |
120 |
90 |
220 |
|
320 |
|
|
2 |
60 |
|
150 |
120 |
90 |
30 |
100 |
240 |
|
300 |
|
3 |
30 |
|
60 |
30 |
0 |
120 |
110 |
260 |
|
280 |
|
4 . |
90 |
|
120 |
150 |
90 |
30 |
120 |
280 |
|
260 |
. 5 |
30 |
|
120 |
150 |
0 |
60 |
130 |
300 |
|
240 |
|
|
6 |
60 |
|
150 |
150 |
90 |
30 |
140 |
320 |
|
220 |
|
7 |
0 |
|
60 |
30 |
0 |
120 |
150 |
340 |
|
2Q0 |
|
8 |
90 |
' |
120 |
120 |
90 |
60 |
160 |
360 |
|
180 |
|
9 |
90 |
150 |
120 |
90 |
30 |
180 |
380 |
|
160 |
87
Рис. Д9.8
А |
|
1ОШ<ГО Г°~\->тт |
°~ |
|
|
/ / / / / / А |
|
|
|
||||
о— |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
Ь) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. Д 9 .10 |
|
|
|
|
|
|
||
Пример Д9, |
Механизм |
(рис. Д9, а), расположенный |
в |
горизон |
|||||||||
тальной плоскости, состоит из стержней /, 2, 3 и ползунов В, D, соеди |
|||||||||||||
ненных друг |
с |
другом |
и |
с |
неподвижной |
опорой |
О |
шарнирами. |
|||||
К ползуну В |
прикреплена |
пружина |
с |
коэффициентом жесткости |
с, |
||||||||
к ползуну D приложена сила Q, |
а к |
стержню |
/ |
(кривошипу) — |
|||||||||
пара сил с моментом М. |
|
|
у = 60°, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д а н о : |
а = |
60°, Р = |
0°, |
ср = |
0°, 0 = 1 2 0 ° , |
/ = 0 , 4 |
м, |
||||||
АЕ = ED, с — 125 Н/см, |
М = |
150 Н-м, |
Q = 350 Н. |
|
О п р е д е л ит ь: |
||||||||
деформацию X пружины при равновесии механизма. |
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с задан |
|||||||||||||
ными углами |
(рис. Д9, б); |
при этом |
согласно |
последнему |
из указаний |
||||||||
к задаче Д9 прикрепляем пружину к |
ползуну |
с |
другой |
стороны |
|||||||||
(так, как если бы было р = |
180°). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для решения задачи воспользуемся принципом возможных пере |
|||||||||||||
мещений, согласно которому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 М * = 0 , |
|
|
|
|
|
|
( 1) |
где ЬАк — элементарные работы активных сил на соответствующих возможных перемещениях.
89
Изображаем действующие на механизм активные силы: силу Q,
силу упругости F пружины (предполагая, что пружина |
растянута) |
|
и пару с моментом М. |
|
|
Неизвестную силу |
F найдем с помощью уравнения |
(1), а зная |
F и учитывая, что F = |
сХ, определим Я. |
|
2. Чтобы составить уравнение (1), сообщим механизму возможное перемещение и введем следующие обозначения для перемещений
звеньев, |
к которым приложены |
активные силы: 6q>i — поворот |
стерж |
||
ня 1 вокруг оси О, бso |
и 8sв — перемещения ползунов |
(точек) |
D и В. |
||
Из |
перемещений |
6q>i, 6s0, |
8sb независимое от |
других — одно |
(у механизма одна степень свободы). Примем за независимое возмож ное перемещение 6<pi и установим, какими тогда будут бs D и бs B, выра зив их через 6q>i; при этом важно верно определить и направления 6sо, 8sв, так как иначе в уравнении (1) будут ошибки в знаках.
При расчетах учтем, что зависимость между возможными переме щениями здесь такая же, как между соответствующими скоростями
звеньев механизма |
при |
его |
движении |
и воспользуемся |
известными; |
||||
из-кинематики соотношениями |
(ход расчетов |
такой же, как |
в примере |
||||||
КЗ). |
|
|
|
|
|
. --■ |
|
|
|
Сначала найдем и изобразим 6s^ (направление б^^ Определяется |
|||||||||
направлением 6q>i); |
получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
6 s /i = / i 6 ( p i ; 6 s , i J - ( X 4 . |
|
|
- (2) |
|||||
Теперь определим |
и |
изобразим |
8sB, |
учитывая, |
что |
проекции |
|||
8sв и 6s,i на прямую AD должны быть равны друг другу |
(иметь оди |
||||||||
наковые модули и знаки). Тогда |
|
|
|
|
|
||||
6socos30° = |
6s,4cos300 и 8 s d = |
&sA= h 8 < p i . |
|
(3), |
|||||
Чтобыопределить бsB, найдем сначала |
бsE. Для |
этого |
построим |
||||||
мгновенный центр вращения |
(скоростей) С2 стержня 2 |
(на пересечении |
|||||||
перпендикуляров к &sAи 8s0, восставленных из точек А и D) |
|
и покажем |
направление поворота стержня 2 вокруг С2, учтя направление бх^ или
6s D. Так |
как |
Z.C2AD = /LC^DA = |
60°, то |
Д Л С 2Д — равносторонний |
и G'IE в |
нем |
высота, поскольку |
АЕ == ED. |
Тогда перемещение 8sе, |
перпендикулярное С2£, будет направлено по прямой ЕА (при изображе
нии 8s |
е учитываем направление поворота вокруг центра С2). |
|
|
||
Воспользовавшись опять тем, что |
проекции |
бsE и 6s^ |
на |
прямую |
|
ЕА должны быть равны друг другу, |
получим |
(значение |
бse |
можно |
|
найти |
и составив соответствующую пропорцию) |
|
|
|
|
|
8 s e = бяисозЗО0 = |
/i6<picos30° . |
|
(4) |
Наконец, из условия равенства проекций bsB и 6s£ напрямую BE находим и изображаем 6sв. Численно
6S B = 6s£cos60° = /i6<picos30° •cos60° = 0,43Zi6q)i . |
(5) |
(6)
или, заменяя здесь 6sD и bsB их значениями (3) и (5) и вынося одно временно 6cpi за скобки,
|
(M -t-/iQ - 0 ,4 3 /,F )6 (p i = 0 . |
(7) |
Так как 6ф1=^0, то отсюда следует, что |
|
|
|
A f-W iQ -0 ,4 3 /,F = 0. |
( 8) |
Из уравнения |
(8) находим значение F и определяем X = |
Р/с. |
О т в е т : X = |
13,5 см. Знак указывает, что пружина, как и предпо |
лагалось, растянута.
Задача Д10
Механическая система состоит из однородных ступенчатых шки вов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3— 6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. Д10.0 — ДЮ.9, табл. Д10). Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к одному из шкивов. Радиусы
ступеней |
шкива |
1 равны: |
R i = 0,2 |
м, |
п = 0,1 |
м, а |
шкива |
2 — |
||
R2 = 0,3 |
м, |
/"г = |
0,15 |
м; |
их радиусы |
инерций |
относительно |
осей |
||
вращения |
равны соответственно pi = |
0,1 м и рг = 0,2 м. |
|
|
||||||
Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего |
||||||||||
больший |
вес; |
веса Р ь .... |
Рв шкивов |
и грузов заданы в таблице |
||||||
в ньютонах. Грузы, веса |
которых равны |
нулю, на чертеже не изобра |
||||||||
жать (шкивы 1, 2 |
изображать всегда как части системы).: |
|
||||||||
Указания. Задача |
Д10 — на применение к изучению движения |
|||||||||
системы общего уравнения динамики |
(принципа Даламбера — Лагран |
|||||||||
ж а). Ход |
решения задачи |
такой же, |
как В задаче |
Д9, |
только |
пред |
варительно надо присоединить к действующим на систему силам соответствующие силы инерции. Учесть при этом, что для однородного
тела, вращающегося |
вокруг |
своей |
оси симметрии (шкива), система |
||
сил инерции приводится к |
паре |
с |
моментом |
Мн = / 2е, где / 2 — |
|
момент инерции тела |
относительно оси |
вращения, |
г — угловое ускоре |
ние тела; направление М" противоположно направлению 8.
91