Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка по Теоретической механике

.pdf
Скачиваний:
225
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.27 Mб
Скачать

т

Рис. Д8.0

Шя?,

Рис. Д8.3

Рис. Д8.4

Рис. Д8.5

Рис. Д8.7

83

J

...... .

силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня)

имеют равнодействующую R ", то численно R “=

m a c ,'

где а с' ~ ускорение центра масс С тела, но

линия-

действия силы R “ в общем случае не проходит через точку С (см. пример Д 8 ).

Пример Д8. Вертикальный вал длиной 3а(АВ = = BD = DE = а), закрепленный подпятником А и подшипником D (рис. Д8, а), вращается с постоян­ ной угловой скоростью ш. К валу жестко прикреплен

вточке Е- ломаный однородный стержень массой т

идлиной 106, состоящий из двух частей У и 2, а в

 

точке

В прикреплен невесомый

стержень

длиной

Рис. Д8.9

/ = 56 с точечной массой т з на конце; оба стержня

лежат

в одной плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

Д а н о :

to = 8 с-1,

m =

mi +

m2 =

10

кг, тз = 2 кг,

а = 30°,

Р = 150°, ф =

60°, а = 0,3 м,

6 =

0,1 м.

О п р е д е л и т ь :

реакции

подпятника А и подшипника D, пренебрегая весом вала.

 

Решение.

1. Изображаем

учетом заданных

углов) вал

и при­

крепленные к

нему в точках

В

и

Е стержни

(рис. Д8, б). Массы и

веса частей 1 и 2 ломаного

стержня пропорциональны длинам этих

частей и соответственно равны т\ =

0,6т;

тч = 0,4т;

 

Pi = 0,6mg;

Р2 =

0,4mg ;

P 3 = m 3g .

(1)

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение задан­ ной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем

<0

84

вращающиеся вместе с валом координатные оси Лед так; чтобы стерж­ ни лежали а плоскости ху, и Изобразим действующие на систему силы: активные силы — силы тяжести Pi, Яг, Рз и реакции связей — составляющие реакции подпятника Ха, YA -и реакцию цилиндрического подшипника R D.

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его

материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения ank, направленные к оси вращения, а численно апц = и2/;*, где А* — расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции F$ будут направлены от оси вращения, а численно 'FS = КгпкЧкп = ktrikvphk, где Д/и*— масса элемента. Так как все Ft про­ порциональны hk, то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2 — прямоугольник (рис. Д8, б).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как мо­

дуль

главного

вектора

сил

инерции любого тела имеет значение

R “ =

тас, где

т — масса

тела,

а с — ускорение

его

центра

масс,

то для частей стержня соответственно получим

 

 

 

 

 

 

ЯГ = m i a c t , R 2 = т 2а С2 ■

 

 

(2)

 

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторо­

ну, противоположную ее ускорению и численно будет равна

 

 

 

 

 

 

F S = т з а з ■

 

 

 

(3)

 

Ускорения

центров

масс

частей 1 и 2 стержня

и груза 3

равны:

 

 

а с 1 =

w2ACi , а С2 =

а>2АС2, а3 ~ a>2h3 ,

 

(4)

где АС1, Ас2 — расстояния

центров масс частей стержня

от оси

враще­

ния, а А3 — соответствующее расстояние груза:

 

 

 

 

 

hci =

3&sin30° = 0,15

м ,

 

 

 

 

 

 

Лс2 =

66sin30° =г 0,3

м ,

 

 

(5)

 

 

Аз =

/sin 60° = 56 sin 60° =

0,43 м .

 

 

 

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5),

получим числовые

значения R “, R§ я Ff.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R ! = 0,6mw2ACi = 57.6Н ,

 

 

 

 

 

R $ = 0,4ma)2Ac2= 76,8

H ,

 

 

(6)

F S = отз<о2Аз = 55,0 H .

При этом линии действия равнодействующих R? и R$ пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, линия

85

u

 

 

2

от вершины

треугольника?

действия R\

проходит на расстоянии

Е, где

Н =

66 cos 30°.

о

 

 

 

 

 

3.

Согласно принципу

Д а л а м б е р а ,

приложенные

внешние силы

(активные и реакции связей)

и силы инерции образуют уравновешенную

систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим

 

2 F kx = 0 ; X A + R d+ M + № - F $ = 0 ;

 

 

 

2 ^ = 0; Ул- Р , - Р 2- Р з = 0;

 

.

^,M/i(Fk) = 0 ; — Ro-2a Pit ta

 

+

 

 

-

RWi -

RIH2 + Fffl» = 0 ,

 

 

 

 

где Hi, Н2,

Н3 — плечи

сил Rf, R$, F$

относительно точки А,

равные

(при подсчетах учтено, что Н =

66cos30° = 0,52

м)-

 

 

Н\ = З а —( 2 /3 ) # =

0,55

м,

Я 2 =

З а - ( Я

+

26) =

0,18 м , .

 

Я3 =

а +

/cos 60° =

0,55 м .

 

 

^

Подставив в уравнения (7) соответствующие величины из ра­

венств (1), (5), (6), (8) и решив

эту систему уравнений (7),

найдем

искомые реакции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т :

ХА= - 3 3 ,7

Н; Yл =

117,7 Н; R D=

- 4 5 ,7

Н.

 

Задача Д9

Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, находится под действием приложенных сил в равновесии; положение равновесия определяется углами а, р, у, q>, 0 (рис. Д9.0 — Д9.9, табл. Д9а я Д 9б). Длины стержней механизма (кривошипов) равны: h — 0,4 м, U = 0,6 м (размеры /2 и h произвольны); точка Е находится в середине соот­ ветствующего стержня.

На ползун В механизма действует сила упругости пружины F; численно F = сХ, где с — коэффициент жесткости пружины, X— ее деформация. Кроме того, на рис. 0 и 1 на ползун D действует сила Q, а на кривошип OiA — пара сил с моментом М; на рис. 2—9 на криво­ шипы 0[А и 0 20 действуют пары сил с моментами Мi и М2.

Определить, чему равна при равновесии

деформация X пружины,

и указать, растянута пружина или сжата.

Значения всех заданных

величин приведены в табл. Д9а для рис. 0—4 и в табл. Д9б для рис. 5—9, где Q выражено в ньютонах, а М, Mi, Mi — в ньютоно­ метрах.

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом а; для большей наглядности ползун с направляю­ щими и пружину изобразить так, как в примере Д9 (см. рис. Д9, а так­ же рис. Д9.10, б). Если на чертеже решаемого варианта задачи прикрепленный к ползуну В стержень окажется совмещенным с пружи­

86

ной (как на рис. Д9.10, а), то пружину следует считать прикрепленной к ползуну с другой стороны '{как на рис. Д9.10, б, где одновременно иначе изображены направляющие).

Указания. Задача Д9 — на определение условий равновесия механической системы с помощью принципа возможных перемещений. Механизм в рассматриваемой задаче имеет одну степень свободы, т. е. одно независимое возможное перемещение. Для решения задачи нужно сообщить механизму возможное перемещение, вычислить сумму элемен­ тарных работ всех действующих активных сил и пар на этом переме­ щении и приравнять ее нулю. Все вошедшие в составленное уравнение возможные перемещения следует выразить через какое-нибудь одно.

Чтобы найти X, надо из полученного условия равновесия опре­ делить силу упругости F. На чертеже эту силу Можно направить в любую сторону (т. е. считать пружину или растянутой, или сж атой); верно ли выбрано направление силы, укажет знак.

Номер

усло­

вия

a

 

 

 

Т а б л и ц а

Д9а (к

рис. Д9.0 — Д9.4)

 

Углы, град

 

 

Для рис. 0—1 Для рис. 2—4

Р

 

 

с, Н/см

 

 

V

е

М

Q

М, М 2

 

0

90

120

90

90

60

180

100

400

120

460

 

1

60

150

30

90

30

160

120

380

140

440

 

2

30

120

120

0

60

150

140

360

160

420

 

3

0

60

90

0

120

140

160

340

180

400

 

4

30

120

30

0

60

130

180

320

200

380

 

5

0

150

30

0

60

120

200

300

220

360

 

6

0

150

90

0

120

110

220

280

240

340

 

7

90

120

120

90

150

100

240

260

260

320

 

8

60

60

60

90

30

90

260

240

280

300

 

9

120

30

30

90

150

80

280

220

300

280

 

 

 

 

 

 

1 а б л я ц а

0,96 (и

рис. Д9.5 — Д9.9)

 

 

3

Углы,

град

 

 

 

 

 

 

Номер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

усло­

a

 

Р

У

Ф

0

с,Н/см

Л*1

 

м 2

вия

 

 

,,

0

30

 

30

60

0

150

80

200

 

340

1

0

 

60

60

0

120

90

220

 

320

 

2

60

 

150

120

90

30

100

240

 

300

 

3

30

 

60

30

0

120

110

260

 

280

 

4 .

90

 

120

150

90

30

120

280

 

260

. 5

30

 

120

150

0

60

130

300

 

240

 

6

60

 

150

150

90

30

140

320

 

220

 

7

0

 

60

30

0

120

150

340

 

2Q0

 

8

90

'

120

120

90

60

160

360

 

180

 

9

90

150

120

90

30

180

380

 

160

87

Рис. Д9.8

А

 

1ОШ<ГО Г°~\->тт

°~

 

 

/ / / / / / А

 

 

 

о—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

Ь)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Д 9 .10

 

 

 

 

 

 

Пример Д9,

Механизм

(рис. Д9, а), расположенный

в

горизон­

тальной плоскости, состоит из стержней /, 2, 3 и ползунов В, D, соеди­

ненных друг

с

другом

и

с

неподвижной

опорой

О

шарнирами.

К ползуну В

прикреплена

пружина

с

коэффициентом жесткости

с,

к ползуну D приложена сила Q,

а к

стержню

/

(кривошипу) —

пара сил с моментом М.

 

 

у = 60°,

 

 

 

 

 

 

 

Д а н о :

а =

60°, Р =

0°,

ср =

0°, 0 = 1 2 0 ° ,

/ = 0 , 4

м,

АЕ = ED, с — 125 Н/см,

М =

150 Н-м,

Q = 350 Н.

 

О п р е д е л ит ь:

деформацию X пружины при равновесии механизма.

 

 

 

 

 

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с задан­

ными углами

(рис. Д9, б);

при этом

согласно

последнему

из указаний

к задаче Д9 прикрепляем пружину к

ползуну

с

другой

стороны

(так, как если бы было р =

180°).

 

 

 

 

 

 

 

 

Для решения задачи воспользуемся принципом возможных пере­

мещений, согласно которому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 М * = 0 ,

 

 

 

 

 

 

( 1)

где ЬАк — элементарные работы активных сил на соответствующих возможных перемещениях.

89

Изображаем действующие на механизм активные силы: силу Q,

силу упругости F пружины (предполагая, что пружина

растянута)

и пару с моментом М.

 

 

Неизвестную силу

F найдем с помощью уравнения

(1), а зная

F и учитывая, что F =

сХ, определим Я.

 

2. Чтобы составить уравнение (1), сообщим механизму возможное перемещение и введем следующие обозначения для перемещений

звеньев,

к которым приложены

активные силы: 6q>i — поворот

стерж­

ня 1 вокруг оси О, бso

и 8sв — перемещения ползунов

(точек)

D и В.

Из

перемещений

6q>i, 6s0,

8sb независимое от

других — одно

(у механизма одна степень свободы). Примем за независимое возмож­ ное перемещение 6<pi и установим, какими тогда будут бs D и бs B, выра­ зив их через 6q>i; при этом важно верно определить и направления 6sо, 8sв, так как иначе в уравнении (1) будут ошибки в знаках.

При расчетах учтем, что зависимость между возможными переме­ щениями здесь такая же, как между соответствующими скоростями

звеньев механизма

при

его

движении

и воспользуемся

известными;

из-кинематики соотношениями

(ход расчетов

такой же, как

в примере

КЗ).

 

 

 

 

 

. --■

 

 

 

Сначала найдем и изобразим 6s^ (направление б^^ Определяется

направлением 6q>i);

получим

 

 

 

 

 

 

 

6 s /i = / i 6 ( p i ; 6 s , i J - ( X 4 .

 

 

- (2)

Теперь определим

и

изобразим

8sB,

учитывая,

что

проекции

8sв и 6s,i на прямую AD должны быть равны друг другу

(иметь оди­

наковые модули и знаки). Тогда

 

 

 

 

 

6socos30° =

6s,4cos300 и 8 s d =

&sA= h 8 < p i .

 

(3),

Чтобыопределить бsB, найдем сначала

бsE. Для

этого

построим

мгновенный центр вращения

(скоростей) С2 стержня 2

(на пересечении

перпендикуляров к &sAи 8s0, восставленных из точек А и D)

 

и покажем

направление поворота стержня 2 вокруг С2, учтя направление бх^ или

6s D. Так

как

Z.C2AD = /LC^DA =

60°, то

Д Л С 2Д — равносторонний

и G'IE в

нем

высота, поскольку

АЕ == ED.

Тогда перемещение 8sе,

перпендикулярное С2£, будет направлено по прямой ЕА (при изображе­

нии 8s

е учитываем направление поворота вокруг центра С2).

 

 

Воспользовавшись опять тем, что

проекции

бsE и 6s^

на

прямую

ЕА должны быть равны друг другу,

получим

(значение

бse

можно

найти

и составив соответствующую пропорцию)

 

 

 

 

8 s e = бяисозЗО0 =

/i6<picos30° .

 

(4)

Наконец, из условия равенства проекций bsB и 6s£ напрямую BE находим и изображаем 6sв. Численно

6S B = 6s£cos60° = /i6<picos30° •cos60° = 0,43Zi6q)i .

(5)

(6)

или, заменяя здесь 6sD и bsB их значениями (3) и (5) и вынося одно­ временно 6cpi за скобки,

 

(M -t-/iQ - 0 ,4 3 /,F )6 (p i = 0 .

(7)

Так как 6ф1=^0, то отсюда следует, что

 

 

A f-W iQ -0 ,4 3 /,F = 0.

( 8)

Из уравнения

(8) находим значение F и определяем X =

Р/с.

О т в е т : X =

13,5 см. Знак указывает, что пружина, как и предпо­

лагалось, растянута.

Задача Д10

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шки­ вов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 36, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. Д10.0 — ДЮ.9, табл. Д10). Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к одному из шкивов. Радиусы

ступеней

шкива

1 равны:

R i = 0,2

м,

п = 0,1

м, а

шкива

2

R2 = 0,3

м,

/"г =

0,15

м;

их радиусы

инерций

относительно

осей

вращения

равны соответственно pi =

0,1 м и рг = 0,2 м.

 

 

Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего

больший

вес;

веса Р ь ....

Рв шкивов

и грузов заданы в таблице

в ньютонах. Грузы, веса

которых равны

нулю, на чертеже не изобра­

жать (шкивы 1, 2

изображать всегда как части системы).:

 

Указания. Задача

Д10 — на применение к изучению движения

системы общего уравнения динамики

(принципа Даламбера — Лагран­

ж а). Ход

решения задачи

такой же,

как В задаче

Д9,

только

пред­

варительно надо присоединить к действующим на систему силам соответствующие силы инерции. Учесть при этом, что для однородного

тела, вращающегося

вокруг

своей

оси симметрии (шкива), система

сил инерции приводится к

паре

с

моментом

Мн = / 2е, где / 2 —

момент инерции тела

относительно оси

вращения,

г — угловое ускоре­

ние тела; направление М" противоположно направлению 8.

91

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.