Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка по Теоретической механике

.pdf
Скачиваний:
225
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.27 Mб
Скачать

 

В этом случае ав также следует представить двумя составляющими

(ав = ахв + с&)

и исходное уравнение

(8)

примет вид

 

 

 

 

ад +

о"я=

+

 

+

о-ва + й л •

 

(13)

При этом вектор апв (см., например,

рис. КЗ.О) будет

направлен

вдоль

В 0 2, а вектор al — перпендикулярно ВОг в любую сторону. Числовые

значений а}, апА и cfBA определяются так же, как в рассмотренном приме­

ре (в частности, по условиям задачи

может быть аА = 0 или <й = О,

если точка А движется прямолинейно).

 

 

 

^

Значение

с(в также

вычисляется

по формуле

cfB= v 1/р =

v

где

I — радиус окружности О2 В,

a

vB определяется

так же, как ско­

рость любой другой точки механизма.

После этого в равенстве (13) остаются неизвестными только значения а'в и ахВА и они, как и в рассмотренном примере, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси. __________

Найдя а\, можем вычислить искомое ускорение ав = лГ(а'в)2+(а% . Величина авл служит для нахождения еАВ (как в рассмотренном примере).

Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К4.0 — К4.4) или круглая пластина

радиуса R =

60 см (рис. К4.5 — К4.9)

вращается вокруг неподвижной

оси по закону <р =

f\(t),

заданному в табл. К4. Положительное направ­

ление

отсчета

угла

q>

показано на рисунках дуговой стрелкой. На

рис. 0,

1, 2,

5,

6

ось вращения перпендикулярна плоскости пластины

и проходит

через

точку

О (пластина

вращается

в своей плоскости);

на рис. 3, 4, 7, 8,

9

ось вращения 0

0 \ лежит в

плоскости пластины

(пластина вращается в пространстве).

 

 

По

пластине

вдоль

прямой BD

(рис. 0—4)

или

по окружности

радиуса R

(рис.

5—9)

движется точка М; закон ее

относительного

движения, т. е. зависимость s = AM — f2{t) (s выражено в сантиметрах, t — в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0—4 и для рис. 5—9; там же даны размеры b и I. На рисунках точка М показана в положении, при котором s = A M > 0 (при s < 0 точка М находится по другую сторону от точки А).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени ti = 1 с.

Указания. Задача К4 — на сложное движение точки. Д ля ее реше­ ния воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует пб условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент

Времени 11 = 1 с, и изобразить

точку именно в этом положении

(а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).

В случаях, относящихся к рис. 5—9, при решении задачи не

подставлять числового значения R,

пока не будут определены положе-

4* *

43

Т а б л и ц а К4

IX

Для всех

O.S

s g

рисунков 1

 

Ф = /,(0

0

 

1

3 1 * - 8 1

2

613- 1 2 е

3

t 2 — 2l3 .

410/2.— 5t3

52(t2— t)

65/ — 4/2

7Xbt — Zt3

8

213-

1 It

9

e e -

3/3

Для рис. 0—4

b, см s = AM = f^t)

12 50(3/ — f ) — 64

16 40{3/2- / 4) — 32

10 80(/2 - 0 + 40

16 60(/4- 3 / 2) + 56

8 80(2/2 — t3) — 48

20 60(<3 — 2/2)

12 40(/2 — 3/) + 32

8

6 0(/— t3) + 24

10 50(/3 — 0 - 3 0

•20 AQ{t — 2/3) — 40

г-

Рис. К4.0

Рис. K4.I

44

Для

рис. 5—9

' /

s = л Л = f 2(t)

я

^ - R { M 2- 2 t 3) '

 

^ R ( 2 f - t 3)

4*

я^ R ( 2 t2- 1 )

л- ? - R ( 3 t - t2)

R

f R ( t 3 - 2 t )

R

~ R ( t 3 - 21)

>

~ R ( t 3- 2 t 2)

 

R

^ ■ R ( t ~ 5 t 2)

R

 

 

^ R { t - 2 t 2)

A M D

Рис. К4.2

--------------■■■■— ■■-—...................

1

Рис- К4-8

Рис. К4.9

 

ние точки М в момент времени t\ — 1

с и угол между

радиусами

СМ и СА в этот мрмент.

 

 

Рассмотрим два примера решения этойзадачи.

 

Пример К4а. Пластина OEABiD (ОЕ = OD, рис. К4а)

вращается

вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону ф = fi(t) (положительное направление отсчета угла ф показано на рис. К4а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по закону s = АВ = /г(0 (положительное направление отсчета s — от Л к В).

Д а н о : R = 0,5 м, ф = /2—0,5/3, s= n^cos(n//3) (ф — в радианах, s — в метрах, t— в секундах). О п р е д е л и т ь : уабс и аа6с в момент времени <, = 2 с.

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины —

45

переносным движением. Тогда абсолют­ ная скорость г>абс и абсолютное уско­ рение йабсТ'очки найдутся по формулам:

 

 

^абс — Иотн + ^пер »

 

 

 

^абс ”

^отнН- ^пер“Ь ^кор >

(1)

 

где, в свою очередь,

 

 

Рис. К4а

О-отн ^отн “f- Оотн, &пер—L Q-ncp4 “ ^пер •

 

 

 

 

Определим все, входящие в равенства (1)

велйчины.

 

1.

О т н о с и т е л ь н о е

д в и ж е н и е .

Это движение

происход

по закону

 

 

 

 

 

s = АВ =

nR cos(nt/3).

(2)

Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t\. Полагая в уравнении (2) t\ = 2 с, получим

s i = z iR c o s ( j i 2 / 3 ) =

— 0 , 5 n R .

Тогда

 

Z.ACB = - ^ - =

— 0,5я .

i\

 

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t\ — 2 с

находится справа от точки А. Изображаем ее на’ рис. К4а в этом

положении

(точка В i).

 

 

 

 

 

 

Теперь

находим числовые значения

^ОТН, ^ОТН) doTH'

 

 

t»OTH =

 

S =

Я2Л

. / , / 0 4

 

 

 

 

----------5-----S in ( n r / d ) ,

 

t

n3R

/

i/n\

Л

UotH

Иотв

 

a 0T„

---- Vотн ----

g

COS ( я г / о ) ,

p

R

 

 

 

 

 

 

 

где рогн — радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу

окружности

R.

Для момента

ti — 2

с,

учитывая, что

R =

0,5 м,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% Т Н

sin(2n/3) =

---- Л

= - — 1,42

м/с ,

 

n3R

cos(2n/3) =

=

0,86

м/с2 , ей™ =

=

4,06

м/с2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 л «мч|д д и р р |щ ||

Знаки показывают, что вектор aJIH направлен в сторону положи­ тельного отсчета расстояний я, а вектор иотн — в противоположную сторону; вектор а"отн направлен к центру С окружности. Изображаем

все эти векторы на рис. К4а.

 

 

 

 

2. П е р е н о с н о е

д в и ж е н и е .

 

Это

движение

(вращение)

происходит по закону ф =

*2_ 0,5£3. Найдем сначала угловую скорость

о и угловое ускорение s переносного вращения:

 

 

ш =

Ф =

— 1,5/2, е =

со =

2 — 3/

 

и при 11 =

2 с

 

 

 

 

 

 

 

(о =

— 2 с-1, е =

— 4 с- 2 .

(4)

Знаки

указывают, что в момент t\

=

2 с направления

со и е проти­

воположны направлению положительного отсчета угла ф; отметим это

на

рис. К4а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д ля

определения и„ер

и а пер находим сначала расстояние hi =

OBi

точки

В |

от оси

вращения

О. Из

рисунка видно, что

hi =

2R \JY —

=

1,41

м. Тогда

в

момент

времени

ti — 2

с,

учитывая

равенства

(4),

получим .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упер =

|со| -hi

=

2,82

м/с ,

 

 

 

 

 

 

Опер =

|е| •hi =

5,64

м/с2 ,

a jeр =

<o2hi = 5,64

м/с2 .

 

(5)

 

Изображаем

на рис. К4а векторы опер и alep с учетом направлений

to и е и вектор й еР

(направлен к оси вращения).

 

 

 

 

3.

К о р и о л и с о в о

 

у с к о р е н и е .

Модуль кориолисова

уско­

рения

определяем

по

формуле

акор =

2|иОТн1 • Ы • sin а,

где

а —

угол между вектором v0TH и

осью

вращения

(вектором <о).

В нашем

случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна

плоскости пластины,

в

которой

расположен вектор

Численно

в момент времени ti =

2

с, так как в

этот

момент |Уотн1 = 1,42 м/с и

|со| = 2 с-1, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

акор =

5,68

м /с2 .

 

(6)

Направление а кор

найдем по

правилу

Н. Е. Жуковского:

так как

вектор Уотн лежит в плоскости, перпендикулярной оси врзщения, то

повернем его на 90° в направлении

со, т. е.

по

ходу

часовой

стрелки.

Изображаем

а кор

на

рис.

К4а.

[Иначе

направление

а кор

 

можно

найти, учтя,

что ок0р=

2(соХ Уо™)-]

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, значения всех входящих в

правые части

равенств

(1) векторов найдены и для определения иа6с

и аа0с остается

только

сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

 

В\ху

4.

О п р е д е л е н и е

иабсПроведем

координатные

оси

(см.

рис.

К4а)

и

спроектируем

почленно

обе

части

равенства

47

Уабс =?ifowi+ »nep на эти оси. Получим для момента времени ti — 2 jc:

' 1'абсЛ=

аств^-ЬОлер,— 0 — |у11С;.!cos45° = — 1,99

м/с ;

Оабс» =

V 0™ y + V a e Py =

|t>oJ + l^nepl COS 45° = 3,41

м/с .

После этого находим

 

 

 

 

^абс “

'Tj~V^6cx~^^a6cy — 3,95 м/с .

 

Учитывая, нто в данном случае угол между von и а„ер равен 45°,

значение рабс можно еще определить по формуле

 

0„бс =

VРотн + Опер +

2|»мн1 |Уаер1 ' COS45° = 3,95

м/с .

5. О п р е д е л е н и е

а а6с. По теореме о сложении ускорений

 

Яабс == Аотн"Ь GOT + &пер “Ь ^пер "Ь ^ко;) ■

(7)

Д ля определения аабс спроектируем; обе части равенства (7) на проведенные оси В \ху. Получим

аабс* =

Оотн+ aKop + Q?epCOs45° — |a5epl cos45° ,

■*абсу

= сйер cos 45° + laiepl cos 45° — |o5T,

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени 1\ = 2 с, найдем, что в этот момент

Яабсх= 9,74 м/с2 ; аабС!/ = 7,15 м/с2 . 1

Тогда

#абс :

Рис. К4б

s -yj alec* + а1бсу = 12,08 м/с2

О т в е т : иабс= 3,95 м/с, а абс= == 12,08 м /с2.

Пример К4б. Треугольная плас­ тина ADE вращается вокруг оси z по закону ф = fi(t) (положительное направление отсчета угла <р показа­ но на рис. К4б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка В

по закону 5

= АВ —

положи­

тельное направление

отсчета

s —

от А к D.

 

 

 

Д а н о :

q> = O.l.f3 — 2,2f,

s =

= АВ = 2 +

15/ — 3t2; ( ф ^ в ради­

анах, s — в

сантиметрах, t — в

се­

кундах) .

О п р е д е л и т ь : уабс

и

а а6св момент времени h =

2 с.

 

Решение. Рассмотрим движение

точки В

как сложное,

считая

ее

движение: по прямой :■AD ' относительным-, ., а вращение пластины ;— переносным. Тогда абсолютная скорость иабС и абсолютное ускорение аабс найдутся по формулам:

 

^ а б с —

^отн +

У п е р »

^-абс —

&оти

I

I

^ к о р »

, (!)

где, в свою очередь,

а аер ■== а ^ Е+

й£„р .

 

 

 

 

Определим все входящие в равенство (1) величины.

 

1. О т н о с и т е л ь н о е

д в и ж е н и е . Это

движение

прямоли­

нейное'и происходит по закону

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

s ~

АВ = 2 -)-15<— З/2 .

 

 

(2)

■ Поэтому

л ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У 0ТН ~

5 =

15 —6 / ,

йотн ~

^отн ~

“—6 .

 

В момент времени 11 =

2 с имеем

 

 

 

 

 

 

Si =

ЛВ| =

2 0 см,

и01„ =

3

см/с,

a 0TB=

 

6 см/с2 .

(3)

Знаки показывают, что вектор иош направлен в сторону пол(?жительного

отсчета расстояния s,

а

вектор

aom — в противоположную

сторону.

Изображаем-эти векторы на рис. К4б.

 

 

2. П е р е н о с н о е

д в и ж е н и е .

Это движение (вращение) про^

исходит по закону ф =

0,U3 — 2,2t.

 

 

 

Найдем угловую скорость to и угловое ускорение е переносного

вращения: :ш = ф = 0,3122 ,2 ; е =

<о =

0 ,6 / и при t\ = 2 с,

 

ш =

— 1 с- 1

, е =

1,2 с- 2 .

(4)

Знаки указывают,

что в момент ti = 2 с направление 8

совпадает

с направлением положительного отсчета угла ф, а направление и ему противоположно; Отметим это на рис. К4, б соответствующими дуговыми стрелками.

 

Из рисунка находим расстояние hi точки В\

от

оси, вращения г:

hi =

ABi sin30° =

10 см. Тогда

в момент ti — 2 с, учитывая

равенства

(4),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f пер — [to|-ft| =

1 0

см/с,

 

 

 

 

 

 

aSep =

Ы -hi =

12

см/с2 , а"„ер =

co2Ai =

10

см/с2 .

(5)

 

Изобразим на рис. К4б векторы у,1Ср и а„ер (с учетом знаков а и е )

и й еР;

направлены

векторы

t>nep и

а'пер

перпендикулярноплоскости

ADE,

а вектор а"кр — по линии В\С к оси вращения.

 

 

 

3.

К о р и о л и с о в о

у с к о р е н и е .

Так как угол между векто­

ром

цотн

и осью

вращения

(вектором

<о)

равен

30°, то

численно

в момент времени 11 =

2

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«кор =

2 - |ь>отн1 -1<в|* sin30°

=

3 см/с2 .

(6 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49

Р

"“"и " 1

m

 

Направление акор найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Д ля этого вектор иотн спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору а"щ) и затем эту проек­ цию повернем на 90° в сторону со, т. е. по ходу часовой стрелки; изучим

направление вектора а кор. Он'

направлен

перпендикулярно плоскости

пластины так же, как вектор v„ep (см. рис. К4б).

 

 

 

 

4. О п р е д е л е н и е

 

оабс-

Так

как

аабс = Uoth+JWj^ а

векторы

Йоги и йпер взаимно ПврПвНДИКуЛЯрНЫ, ТО

Иабс -\J и|гя+ »пёр;

в

момент

времени

ti = 2 с иабс =

10,44 см/с.

 

 

 

 

 

 

5. О п р е д е л е н и е

а абс. По теореме о сложении ускорений

 

 

^ аб с ~

СЕотн "Ь Япер “I- ^пер “1~ Якор •

 

 

 

( ^ )

. Д ля

определения

а абс

проведем

координатные

оси

B\xyz\

и вы­

числим

проекции

а абс

на

эти

оси.

Учтем при

этом,

что

векторы

а^ер и а к0р лежат

на оси

х,

а векторы а;ер -и а отн расположены

в

плос­

кости B\yz\, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проектируя обе части

равенства (7)

на

оси B\xyzi и учтя одновременно равенства (3), (5),

(6), получим для

момента

времени #i =

2 с:

 

 

 

&абсх

l^nepi

Якор — 9

С М /С ,

 

Дабе» = <&!р+котнЫпЗО0 =

13 С М /С 2 ,

 

 

а а6c2j. =

IoothI cos 30° = 5,20 см/с2 .

Отсюда находим значение а абс

 

 

 

 

йабс =

V “абс* +

+ alecz, =

16,64 см/с2 .

О т в е т :

иабс =

10,44

см/с,

а абс =

16,64

см/с1 .

ДИНАМИКА

Задача Д1

Груз D массой /п, получив в точке А начальную скорость Vo, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в “вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 — Д1.9, табл. Д 1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (направлена против движе­ ния); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения

(коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = I или

50

время t\ движения груза от фочки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х — f(t), где х = BD.

Указания. Задача Д1 — на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина I участка, целесообразно

перейти

к переменному х,

учтя, что

 

 

 

 

 

 

 

da,

da*

 

 

 

 

 

 

" d

f

0 x ~ d ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а Д1

Номер

т , кг

Vo, м/с

 

 

 

1, м

<1, с

 

усло­

Q ,

Н

R , Н

F „ Н

вия

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

20

 

6

0,4а

1,5

2,5

2 sin (4/)

1

2,4

12

 

6

0,8а2

Ы

2

4,5

24

 

9

0,5а

3

3sin(2<)

3

6

14

22

0,6у2

5

— 3cos(2f)

4

1,6

18

 

4

0,4а

2

4 cos (4/)

5

8

10

16

0,5а2

4

— 6sin(2/)

6

1,8

24

 

5

0,3а

2

9f2

7

4

12

12

0,8а2

2,5

— 8 cos (4/)

8

3

22

 

9

0,5а

3

2 cos (2/)

9

4,8

10

12

0,2а2

4

--

— 6sin(4<)

51

W ■— ■M W r* ' ... .......

1

“ .....................................................

* * * * * * " '

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.