Методичка по Теоретической механике
.pdf
|
В этом случае ав также следует представить двумя составляющими |
||||||||
(ав = ахв + с&) |
и исходное уравнение |
(8) |
примет вид |
|
|
||||
|
|
ад + |
о"я= |
+ |
|
+ |
о-ва + й л • |
|
(13) |
При этом вектор апв (см., например, |
рис. КЗ.О) будет |
направлен |
вдоль |
||||||
В 0 2, а вектор al — перпендикулярно ВОг в любую сторону. Числовые |
|||||||||
значений а}, апА и cfBA определяются так же, как в рассмотренном приме |
|||||||||
ре (в частности, по условиям задачи |
может быть аА = 0 или <й = О, |
||||||||
если точка А движется прямолинейно). |
|
|
|
||||||
^ |
Значение |
с(в также |
вычисляется |
по формуле |
cfB= v 1/р = |
v%Д |
|||
где |
I — радиус окружности О2 В, |
a |
vB определяется |
так же, как ско |
рость любой другой точки механизма.
После этого в равенстве (13) остаются неизвестными только значения а'в и ахВА и они, как и в рассмотренном примере, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси. __________
Найдя а\, можем вычислить искомое ускорение ав = лГ(а'в)2+(а% . Величина авл служит для нахождения еАВ (как в рассмотренном примере).
Задача К4
Прямоугольная пластина (рис. К4.0 — К4.4) или круглая пластина
радиуса R = |
60 см (рис. К4.5 — К4.9) |
вращается вокруг неподвижной |
|||||||
оси по закону <р = |
f\(t), |
заданному в табл. К4. Положительное направ |
|||||||
ление |
отсчета |
угла |
q> |
показано на рисунках дуговой стрелкой. На |
|||||
рис. 0, |
1, 2, |
5, |
6 |
ось вращения перпендикулярна плоскости пластины |
|||||
и проходит |
через |
точку |
О (пластина |
вращается |
в своей плоскости); |
||||
на рис. 3, 4, 7, 8, |
9 |
ось вращения 0 |
0 \ лежит в |
плоскости пластины |
|||||
(пластина вращается в пространстве). |
|
|
|||||||
По |
пластине |
вдоль |
прямой BD |
(рис. 0—4) |
или |
по окружности |
|||
радиуса R |
(рис. |
5—9) |
движется точка М; закон ее |
относительного |
движения, т. е. зависимость s = AM — f2{t) (s выражено в сантиметрах, t — в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0—4 и для рис. 5—9; там же даны размеры b и I. На рисунках точка М показана в положении, при котором s = A M > 0 (при s < 0 точка М находится по другую сторону от точки А).
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени ti = 1 с.
Указания. Задача К4 — на сложное движение точки. Д ля ее реше ния воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует пб условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент
Времени 11 = 1 с, и изобразить |
точку именно в этом положении |
(а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче). |
|
В случаях, относящихся к рис. 5—9, при решении задачи не |
|
подставлять числового значения R, |
пока не будут определены положе- |
4* * |
43 |
Т а б л и ц а К4
IX |
Для всех |
O.S |
|
s g |
рисунков 1 |
|
Ф = /,(0 |
0 |
|
1 |
3 1 * - 8 1 |
2 |
613- 1 2 е |
3 |
t 2 — 2l3 . |
410/2.— 5t3
52(t2— t)
65/ — 4/2
7Xbt — Zt3
8 |
213- |
1 It |
9 |
e e - |
3/3 |
Для рис. 0—4
b, см s = AM = f^t)
12 50(3/ — f ) — 64
16 40{3/2- / 4) — 32
10 80(/2 - 0 + 40
16 60(/4- 3 / 2) + 56
8 80(2/2 — t3) — 48
20 60(<3 — 2/2)
12 40(/2 — 3/) + 32
8 |
6 0(/— t3) + 24 |
10 50(/3 — 0 - 3 0
•20 AQ{t — 2/3) — 40
г-
Рис. К4.0 |
Рис. K4.I |
44
Для |
рис. 5—9 |
' / |
s = л Л = f 2(t) |
я |
^ - R { M 2- 2 t 3) ' |
|
^ R ( 2 f - t 3) |
4*
я^ R ( 2 t2- 1 )
л- ? - R ( 3 t - t2)
R |
f R ( t 3 - 2 t ) |
R |
~ R ( t 3 - 21) |
> |
~ R ( t 3- 2 t 2) |
|
|
R |
^ ■ R ( t ~ 5 t 2) |
R |
|
|
^ R { t - 2 t 2) |
A M D
Рис. К4.2
--------------■■■■— ■■-—................... |
1■ |
Рис- К4-8 |
Рис. К4.9 |
|
ние точки М в момент времени t\ — 1 |
с и угол между |
радиусами |
СМ и СА в этот мрмент. |
|
|
Рассмотрим два примера решения этойзадачи. |
|
|
Пример К4а. Пластина OEABiD (ОЕ = OD, рис. К4а) |
вращается |
вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону ф = fi(t) (положительное направление отсчета угла ф показано на рис. К4а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по закону s = АВ = /г(0 (положительное направление отсчета s — от Л к В).
Д а н о : R = 0,5 м, ф = /2—0,5/3, s= n^cos(n//3) (ф — в радианах, s — в метрах, t— в секундах). О п р е д е л и т ь : уабс и аа6с в момент времени <, = 2 с.
Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины —
45
переносным движением. Тогда абсолют ная скорость г>абс и абсолютное уско рение йабсТ'очки найдутся по формулам:
|
|
^абс — Иотн + ^пер » |
|
|
|
|
^абс ” |
^отнН- ^пер“Ь ^кор > |
(1) |
|
где, в свою очередь, |
|
||
|
Рис. К4а |
О-отн ^отн “f- Оотн, &пер—L Q-ncp4 “ ^пер • |
||
|
|
|
|
|
Определим все, входящие в равенства (1) |
велйчины. |
|
||
1. |
О т н о с и т е л ь н о е |
д в и ж е н и е . |
Это движение |
происход |
по закону |
|
|
|
|
|
s = АВ = |
nR cos(nt/3). |
(2) |
Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t\. Полагая в уравнении (2) t\ = 2 с, получим
s i = z iR c o s ( j i 2 / 3 ) = |
— 0 , 5 n R . |
Тогда |
|
Z.ACB = - ^ - = |
— 0,5я . |
i\ |
|
Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t\ — 2 с
находится справа от точки А. Изображаем ее на’ рис. К4а в этом
положении |
(точка В i). |
|
|
|
|
|
|
Теперь |
находим числовые значения |
^ОТН, ^ОТН) doTH' |
|
||||
|
t»OTH = |
|
S = |
Я2Л |
. / , / 0 4 |
|
|
|
|
----------5-----S in ( n r / d ) , |
|
||||
t |
• n3R |
/ |
i/n\ |
Л |
UotH |
Иотв |
|
a 0T„ |
---- Vотн ---- |
g |
COS ( я г / о ) , |
p |
R ’ |
||
|
|
|
|
|
|
|
где рогн — радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу
окружности |
R. |
Для момента |
ti — 2 |
с, |
учитывая, что |
R = |
0,5 м, |
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% Т Н |
— |
sin(2n/3) = |
---- Л |
= - — 1,42 |
м/с , |
|
|||
n3R |
cos(2n/3) = |
= |
0,86 |
м/с2 , ей™ = |
= |
4,06 |
м/с2. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 л «мч|д д и р р |щ ||
Знаки показывают, что вектор aJIH направлен в сторону положи тельного отсчета расстояний я, а вектор иотн — в противоположную сторону; вектор а"отн направлен к центру С окружности. Изображаем
все эти векторы на рис. К4а. |
|
|
|
|
|||
2. П е р е н о с н о е |
д в и ж е н и е . |
|
Это |
движение |
(вращение) |
||
происходит по закону ф = |
*2_ 0,5£3. Найдем сначала угловую скорость |
||||||
о и угловое ускорение s переносного вращения: |
|
||||||
|
ш = |
Ф = |
— 1,5/2, е = |
со = |
2 — 3/ |
|
|
и при 11 = |
2 с |
|
|
|
|
|
|
|
(о = |
— 2 с-1, е = |
— 4 с- 2 . |
(4) |
|||
Знаки |
указывают, что в момент t\ |
= |
2 с направления |
со и е проти |
воположны направлению положительного отсчета угла ф; отметим это
на |
рис. К4а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Д ля |
определения и„ер |
и а пер находим сначала расстояние hi = |
OBi |
|||||||||||
точки |
В | |
от оси |
вращения |
О. Из |
рисунка видно, что |
hi = |
2R \JY — |
||||||||
= |
1,41 |
м. Тогда |
в |
момент |
времени |
ti — 2 |
с, |
учитывая |
равенства |
(4), |
|||||
получим . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Упер = |
|со| -hi |
= |
2,82 |
м/с , |
|
|
|
|||
|
|
|
Опер = |
|е| •hi = |
5,64 |
м/с2 , |
a jeр = |
<o2hi = 5,64 |
м/с2 . |
|
(5) |
||||
|
Изображаем |
на рис. К4а векторы опер и alep с учетом направлений |
|||||||||||||
to и е и вектор й еР |
(направлен к оси вращения). |
|
|
|
|||||||||||
|
3. |
К о р и о л и с о в о |
|
у с к о р е н и е . |
Модуль кориолисова |
уско |
|||||||||
рения |
определяем |
по |
формуле |
акор = |
2|иОТн1 • Ы • sin а, |
где |
а — |
||||||||
угол между вектором v0TH и |
осью |
вращения |
(вектором <о). |
В нашем |
случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна
плоскости пластины, |
в |
которой |
расположен вектор |
Численно |
||
в момент времени ti = |
2 |
с, так как в |
этот |
момент |Уотн1 = 1,42 м/с и |
||
|со| = 2 с-1, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
акор = |
5,68 |
м /с2 . |
|
(6) |
Направление а кор |
найдем по |
правилу |
Н. Е. Жуковского: |
так как |
вектор Уотн лежит в плоскости, перпендикулярной оси врзщения, то
повернем его на 90° в направлении |
со, т. е. |
по |
ходу |
часовой |
стрелки. |
|||||||
Изображаем |
а кор |
на |
рис. |
К4а. |
[Иначе |
направление |
а кор |
|
можно |
|||
найти, учтя, |
что ок0р= |
2(соХ Уо™)-] |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, значения всех входящих в |
правые части |
равенств |
||||||||||
(1) векторов найдены и для определения иа6с |
и аа0с остается |
только |
||||||||||
сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически. |
|
В\ху |
||||||||||
4. |
О п р е д е л е н и е |
иабсПроведем |
координатные |
оси |
||||||||
(см. |
рис. |
К4а) |
и |
спроектируем |
почленно |
обе |
части |
равенства |
47
Уабс =?ifowi+ »nep на эти оси. Получим для момента времени ti — 2 jc:
' 1'абсЛ= |
аств^-ЬОлер,— 0 — |у11С;.!cos45° = — 1,99 |
м/с ; |
||
Оабс» = |
V 0™ y + V a e Py = |
|t>oJ + l^nepl COS 45° = 3,41 |
м/с . |
|
После этого находим |
|
|
|
|
|
^абс “ |
'Tj~V^6cx~^^a6cy — 3,95 м/с . |
|
|
Учитывая, нто в данном случае угол между von и а„ер равен 45°, |
||||
значение рабс можно еще определить по формуле |
|
|||
0„бс = |
VРотн + Опер + |
2|»мн1 •|Уаер1 ' COS45° = 3,95 |
м/с . |
|
5. О п р е д е л е н и е |
а а6с. По теореме о сложении ускорений |
|||
|
Яабс == Аотн"Ь GOT + &пер “Ь ^пер "Ь ^ко;) ■ |
(7) |
Д ля определения аабс спроектируем; обе части равенства (7) на проведенные оси В \ху. Получим
аабс* = |
Оотн+ aKop + Q?epCOs45° — |a5epl cos45° , |
■*абсу |
= сйер cos 45° + laiepl cos 45° — |o5T, |
Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени 1\ = 2 с, найдем, что в этот момент
Яабсх= 9,74 м/с2 ; аабС!/ = 7,15 м/с2 . 1
Тогда
#абс :
Рис. К4б
s -yj alec* + а1бсу = 12,08 м/с2 ■
О т в е т : иабс= 3,95 м/с, а абс= == 12,08 м /с2.
Пример К4б. Треугольная плас тина ADE вращается вокруг оси z по закону ф = fi(t) (положительное направление отсчета угла <р показа но на рис. К4б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка В
по закону 5 |
= АВ — |
положи |
|
тельное направление |
отсчета |
s — |
|
от А к D. |
|
|
|
Д а н о : |
q> = O.l.f3 — 2,2f, |
s = |
|
= АВ = 2 + |
15/ — 3t2; ( ф ^ в ради |
||
анах, s — в |
сантиметрах, t — в |
се |
кундах) . |
О п р е д е л и т ь : уабс |
и |
|
а а6св момент времени h = |
2 с. |
|
|
Решение. Рассмотрим движение |
|||
точки В |
как сложное, |
считая |
ее |
движение: по прямой :■AD ' относительным-, ., а вращение пластины ;— переносным. Тогда абсолютная скорость иабС и абсолютное ускорение аабс найдутся по формулам:
|
^ а б с — |
^отн + |
У п е р » |
^-абс — |
&оти |
I |
I |
^ к о р » |
, (!) |
|||
где, в свою очередь, |
а аер ■== а ^ Е+ |
й£„р . |
|
|
|
|
||||||
Определим все входящие в равенство (1) величины. |
|
|||||||||||
1. О т н о с и т е л ь н о е |
д в и ж е н и е . Это |
движение |
прямоли |
|||||||||
нейное'и происходит по закону |
|
|
|
|
|
! |
|
|||||
|
|
|
s ~ |
АВ = 2 -)-15<— З/2 . |
|
|
(2) |
|||||
■ Поэтому |
л ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У 0ТН ~ |
5 = |
15 —6 / , |
йотн ~ |
^отн ~ |
“—6 . |
|
|||||
В момент времени 11 = |
2 с имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||
Si = |
ЛВ| = |
2 0 см, |
и01„ = |
3 |
см/с, |
a 0TB= |
|
— 6 см/с2 . |
(3) |
Знаки показывают, что вектор иош направлен в сторону пол(?жительного
отсчета расстояния s, |
а |
вектор |
aom — в противоположную |
сторону. |
|
Изображаем-эти векторы на рис. К4б. |
|
|
|||
2. П е р е н о с н о е |
д в и ж е н и е . |
Это движение (вращение) про^ |
|||
исходит по закону ф = |
0,U3 — 2,2t. |
|
|
|
|
Найдем угловую скорость to и угловое ускорение е переносного |
|||||
вращения: :ш = ф = 0,312— 2 ,2 ; е = |
<о = |
0 ,6 / и при t\ = 2 с, |
|
||
ш = |
— 1 с- 1 |
, е = |
1,2 с- 2 . |
(4) |
|
Знаки указывают, |
что в момент ti = 2 с направление 8 |
совпадает |
с направлением положительного отсчета угла ф, а направление и ему противоположно; Отметим это на рис. К4, б соответствующими дуговыми стрелками.
|
Из рисунка находим расстояние hi точки В\ |
от |
оси, вращения г: |
|||||||||||
hi = |
ABi sin30° = |
10 см. Тогда |
в момент ti — 2 с, учитывая |
равенства |
||||||||||
(4), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f пер — [to|-ft| = |
1 0 |
см/с, |
|
|
|
||||
|
|
|
aSep = |
Ы -hi = |
12 |
см/с2 , а"„ер = |
co2Ai = |
10 |
см/с2 . |
(5) |
||||
|
Изобразим на рис. К4б векторы у,1Ср и а„ер (с учетом знаков а и е ) |
|||||||||||||
и й еР; |
направлены |
векторы |
t>nep и |
а'пер |
перпендикулярноплоскости |
|||||||||
ADE, |
а вектор а"кр — по линии В\С к оси вращения. |
|
|
|||||||||||
|
3. |
К о р и о л и с о в о |
у с к о р е н и е . |
Так как угол между векто |
||||||||||
ром |
цотн |
и осью |
вращения |
(вектором |
<о) |
равен |
30°, то |
численно |
||||||
в момент времени 11 = |
2 |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
«кор = |
2 - |ь>отн1 -1<в|* sin30° |
= |
3 см/с2 . |
(6 ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
Р |
"“"и " 1 |
m |
|
Направление акор найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Д ля этого вектор иотн спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору а"щ) и затем эту проек цию повернем на 90° в сторону со, т. е. по ходу часовой стрелки; изучим
направление вектора а кор. Он' |
направлен |
перпендикулярно плоскости |
||||||||||
пластины так же, как вектор v„ep (см. рис. К4б). |
|
|
|
|
||||||||
4. О п р е д е л е н и е |
|
оабс- |
Так |
как |
аабс = Uoth+JWj^ а |
векторы |
||||||
Йоги и йпер взаимно ПврПвНДИКуЛЯрНЫ, ТО |
Иабс — -\J и|гя+ »пёр; |
в |
момент |
|||||||||
времени |
ti = 2 с иабс = |
10,44 см/с. |
|
|
|
|
|
|
||||
5. О п р е д е л е н и е |
а абс. По теореме о сложении ускорений |
|||||||||||
|
|
^ аб с ~ |
СЕотн "Ь Япер “I- ^пер “1~ Якор • |
|
|
|
( ^ ) |
|||||
. Д ля |
определения |
а абс |
проведем |
координатные |
оси |
B\xyz\ |
и вы |
|||||
числим |
проекции |
а абс |
на |
эти |
оси. |
Учтем при |
этом, |
что |
векторы |
|||
а^ер и а к0р лежат |
на оси |
х, |
а векторы а;ер -и а отн расположены |
в |
плос |
кости B\yz\, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проектируя обе части
равенства (7) |
на |
оси B\xyzi и учтя одновременно равенства (3), (5), |
|||||
(6), получим для |
момента |
времени #i = |
2 с: |
||||
|
|
|
&абсх |
l^nepi |
Якор — 9 |
С М /С , |
|
|
Дабе» = <&!р+котнЫпЗО0 = |
13 С М /С 2 , |
|||||
|
|
а а6c2j. = |
IoothI cos 30° = 5,20 см/с2 . |
||||
Отсюда находим значение а абс |
|
|
|
||||
|
йабс = |
V “абс* + |
+ alecz, = |
16,64 см/с2 . |
|||
О т в е т : |
иабс = |
10,44 |
см/с, |
а абс = |
16,64 |
см/с1 . |
ДИНАМИКА
Задача Д1
Груз D массой /п, получив в точке А начальную скорость Vo, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в “вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 — Д1.9, табл. Д 1).
На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (направлена против движе ния); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.
В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения
(коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице.
Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = I или
50
время t\ движения груза от фочки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х — f(t), где х = BD.
Указания. Задача Д1 — на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина I участка, целесообразно
перейти |
к переменному х, |
учтя, что |
|
|
|
|
||
|
|
|
da, |
da* |
|
|
|
|
|
|
|
" d |
f |
0 x ~ d ~ |
‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а Д1 |
Номер |
т , кг |
Vo, м/с |
|
|
|
1, м |
<1, с |
|
усло |
Q , |
Н |
R , Н |
F „ Н |
||||
вия |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
20 |
|
6 |
0,4а |
1,5 |
2,5 |
2 sin (4/) |
1 |
2,4 |
12 |
|
6 |
0,8а2 |
— |
Ы |
|
2 |
4,5 |
24 |
|
9 |
0,5а |
— |
3 |
3sin(2<) |
3 |
6 |
14 |
22 |
0,6у2 |
5 |
— |
— 3cos(2f) |
|
4 |
1,6 |
18 |
|
4 |
0,4а |
— |
2 |
4 cos (4/) |
5 |
8 |
10 |
16 |
0,5а2 |
4 |
— |
— 6sin(2/) |
|
6 |
1,8 |
24 |
|
5 |
0,3а |
— |
2 |
9f2 |
7 |
4 |
12 |
12 |
0,8а2 |
2,5 |
— |
— 8 cos (4/) |
|
8 |
3 |
22 |
|
9 |
0,5а |
— |
3 |
2 cos (2/) |
9 |
4,8 |
10 |
12 |
0,2а2 |
4 |
-- |
— 6sin(4<) |
51
W ■— ■M W r* ' ... ....... |
1 |
“ ..................................................... |
* * * * * * " ' |