Методичка по Теоретической механике
.pdfПриведение сил инерции точек твердого тела к центру; главный вектор и главный момент сил инерции.
(Определенйе динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Случай, когда ось вращения является главной центральной осью инерции тела.)
Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики.
Связи, налагаемые на механическую систему. Возможные (или вирту альные) перемещения материальной точки и механической системы. Число степеней свободы системы. Идеальные связи. Принцип возмож ных перемещений. Общее уравнение динамики.
Уравнения движения системы в обобщенных координатах (уравне ния Лагранжа). Обобщенные координаты системы; обобщенные ско рости. Выражение элементарной работы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их вычисление; случай сил, имеющих потенциал. Условия равновесия системы в обобщенных Координатах. Дифферен циальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Л агранжа 2-го рода. Уравнения Лагранжа в случае потен циальных сил; функция Л агранж а (кинетический потенциал).
Понятие об устойчивости равновесия. Малые свободные колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия системы и их свойства.
Элементы теории удара. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Действие ударной силы на материальную точку. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой центральный удар тела о неподвижную поверхность; упругий и неупругий удары. Коэффициент восстановления при ударе и его опытное определение. Прямой центральный удар двух тел. Теорема
Карно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основной
Бутенин Н. В., Лунц Я. Л„ Меркин Д. Р. Курс теоретической механики: Т. 1, 2. М., 1985 и предыдущие издания.
Добронравов В. В., Никитин Н. Н. Курс теоретической механики. М., 1-983.
Старжинский В. М. Теоретическая механика. М., 1980.
Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и преды дущие издания.
Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. Ч. 1.-М., 1984 и предыдущие издания.
Яблонский А. А. Курс теоретической механики. Ч. 2. М., 1984 й пре дыдущие издания.
Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и предыдущие издания.
Сборник задач по теоретической мехаиике/Под ред. К. С. Колесни кова. М., 1983. '
2* *
Дополнительной
Бать М. И., |
Джанелидзе |
Г. Ю., |
Кельзон |
А. С. |
Теоретическая |
|
механика в примерах и задачах. Ч. |
|
1, 2. М ., |
1984 |
и предыдущие |
||
издания. |
|
. |
|
|
|
|
Сборник задач по теоретической |
механике/Б^ражниченко Н. А., |
|||||
Кан В. Л ., Минцберг Б. Л . и др. М., |
1987. |
|
|
|||
Новожилов |
И. В., Зацепин |
М .Ф . |
Типовые |
расчеты по теоретиче |
ской механике на базе ЭВМ. М., 1986, Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике
/П од ред. А. А. Яблонского. М., 1985'и предыдущие издания (содер жит примеры решения задач).
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ,
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ, ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ
Студенты выполняют 5 контрольных заданий (работ).
Задание ! |
(стати ка)— задачи C l — С4. |
|
Задание 2 |
(кинематика) — задачи К1 — К4. |
|
Задание |
3 |
(динамика) — задачи Д1 — Д4. |
Задание |
4 |
(динамика) ■— задачи Д5 — Д8. |
. Задание 5 |
(динамика) — задачи Д9 — Д12. |
К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. С 1.4 — это рис. 4 к задаче С-1, и т. д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4 и т. д.). Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.
Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице — по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то берутся рис. 4 и условия № 6 из таблицы.
Каждое задание выполняется в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, номер работы, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес. На первой странице тетради записываются: номер работы, номера решаемых задач и год издания контрольных заданий.
Решение каждой задф и обязательно начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй, иначе работу трудно проверять). Сверху указывается номер задачи, далее делается чертеж (можно карандашом) и записывается, что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывается). Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; на нем все углы, действующие силы, число тел и их расположение на чертеже должны соответствовать этим условиям. В результате в целом ряде задач чертеж получается более простой, чем общий.
Чертеж должен быть аккуратным и наглядным, а его размеры дблжны позволять ясно показать все силы или векторы скорости и ускорения и др.; показывать все эти векторы и координатные оси на чертеже, а также указывать единицы получаемых величин нужно обязательно. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояс нениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные результаты и т. п.) и подробно излагать весь ход расче тов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.
Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, прове ряться не будут, а будут возвращаться для переделки.
Кработе, высылаемой на повторную проверку (если она выполнена
вдругой тетради), должна обязательно прилагаться незачтенная ра бота.
На экзамене необходимо представить зачтенные по данному раз делу курса работы, в которых все отмеченные рецензентом погреш ности должны быть исправлены.
При чтении текста каждой задачи учесть следующее. Большинство
рисунков |
дано без соблюдения масштабов. На |
рисунках |
к задачам |
С 1 -— С4 |
и Д 1 — Д12 все линии, параллельные |
строкам, |
считаются |
горизонтальными, а перпендикулярные строкам — вертикальными и это в тексте задач специально не оговаривается. Также без оговорок считается, что все нити (веревки, тросы) являются нерастяжимыми и невесомыми, нити, перекинутые через блок, по блоку не скользят, катки и колеса (в кинематике и динамике) катятся по плоскостям без скольжения. Все связи, если не сделано других «говорок, считаются идеальными.
Когда тела на рисунке пронумерованы, то |
в тексте задач и в |
||||||
таблице Pi, /ь гi и т. п. означают вес или |
размеры тела 1; |
Рг, h , Гг — |
|||||
тела 2 и |
т. д. Аналогично, в |
кинематике |
и динамике |
vb, ав означают |
|||
скорость |
и ускорение точки |
В; vc, |
ас — точки |
С; |
coi, |
— угловую |
|
скорость |
и угловое ускорение тела /; |
сог, е2 — тела 2 |
и т. д. |
В каждой |
задаче подобные обозначения могут тоже специально не оговариваться. Следует также иметь в виду, что некоторые из заданных в условиях задачи величин (размеров) при решении каких-нибудь вариантов могут не понадобиться, они нужны для решения других вариантов задачи.
Из всех пояснений в |
тексте задачи обращайте внимание только |
на относящиеся к вашему |
варианту, т. е. номеру вашего рисунка или |
вашего условия в таблице. |
|
Методические указания по решению задач, входящих в контроль ные задания, даются для каждой задачи после ее текста под рубрикой «Указания»,- затем дается пример решения аналогичной задачи. Цель примера — разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но мри
выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми поясне ниями; в конце должны быть даны ответы.
ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
СТАТИКА
Задача С1
Жесткая рама, расположенная в |
вертикальной |
плоскости |
{рис, С1.0 — С1.9, табл. С1), закреплена |
в точке А шарнирно, а в |
точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.
В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р = 25 кН. На раму действуют пара сил с момен том М = 100 кН*м и две силы, значения, направления и точки прило жения которых указаны в таблице (например, в условиях N° 1 на раму действует сила Р* под углом 15° к горизонтальной оси, приложенная
вточке D, и сила Рз под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная
вточке Е, и т. д.).
Определить реакции связей в точках А, В, вызываемые действую щими нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,5 м.
Указания. Задача С1 — на равновесие тела под действием произ вольной плоской системы сил. При ее решении учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебре гают, будут одинаковыми. Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляю щие F' и F", для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда m 0{F) - m 0{F') + m dF ").
14
Рис. С 1.3
15
2а 2а
Т а б л и ц а С1
16
|
Пример C l. Жесткая пластина ABCD (рис. С1) имеет в точке А не |
||||||
подвижную |
шарнирную опору’ а в точке В — подвижную шарнирную |
||||||
опору на катках. Все действующие |
нагрузки |
и размеры |
показаны |
||||
на |
рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
Д а н о : |
F = 25 кН, « = 60°, |
Р = |
18 кН, |
у = 7 5 ° , М = |
50 |
кН-м, |
р = |
30°, а = |
0,5 м. О п р е д е л и т |
ь: |
реакции |
в точках А и В, |
вызы |
ваемые действующими нагрузками.
Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем коорди натные оси ху и изобразим действующие на пластину силы: силу F, пару сил с моментом М, натяжение троса Т (по модулю Т = Р) и реакции связей Ха, УA, Rb (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).
2. Д ля |
полученной плоской |
системы сил |
составим |
три |
уравнения |
равновесия. При вычислении момента силы F относительно точки А |
|||||
воспользуемся теоремой Вариньона, т. е. разложим силу F на состав |
|||||
ляющие F', |
F" ( F '= /•'cos a, |
F" — F sin а) |
и учтем, |
что |
гпа(Р) = |
= >TIA{F') -\- гпа(Р"). Получим: |
|
|
|
|
2iFkx = |
0, Ха + R nsin р —F c o sa + Tsiny = |
0 ; |
(1) |
^ F t а = |
0, Ул + RBCosp + F s in a — 70057 = |
0 ; |
(2) |
2>пА(Рк) = 0, M— RJ,cosp-4a + Fcosa-2a — Fsinu-3a—Tsmy-2a = 0.
(3)
Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.
О т в е т : |
Ха — — 8,5 кН; |
Уд = — 23,3 кН: RR = 7,3 |
кН. Знаки |
|
указывают,что |
сильГХГТТ^сй^ЮШалВйЬЬдаетивопол )жно |
показан |
||
ным на рис. C l. |
I |
220015, г. М»нск • 13 |
|
|
|
|
| |
яр. Неаалежнаси!, 65 |
17 |
|
|
! Беларуси! маиыянальны |
т&хн1чны ун1нерс!тэт
(НАЗУКОВАЯ б ш и я тэк а
2 а . |
4а |
Рис. С2.8 |
|
Рис. С2.9 |
Т а б л и ц а С2 |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
Сила |
« 3 |
N k |
Нагружейный |
/ |
/ |
|
участок |
5 |
|
Номерусловия
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F, = |
10 кН |
Fi = |
20 кН |
F3 = |
30 кН |
Ft = |
40 кН |
|
|
|
£ |
4 |
Точка приложе ния |
< |
Точка приложе ния |
S |
ТочкаI приложе- [ния |
ч |
|
|
* |
га |
|
О. |
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
СВ |
|
|
|
|
|
|
|
£• |
|
ь |
|
е- |
|
& |
|
H |
i |
5 |
|
|
|
ё |
|
а |
|
|
к |
60 |
|
_ |
я |
30 |
_ |
|
CL |
|
— |
— |
L |
60 |
|
— |
Е |
30 |
СК |
|
L |
15 |
— |
— |
к |
60 |
— |
— |
АЕ |
|
— |
— |
К |
30 |
— |
— |
II |
60 |
CL |
. |
L |
30 |
— |
— |
Е |
60 |
— |
— |
ск |
— |
— |
L |
75 |
— |
— |
К |
30 |
АЕ |
|
|
£ |
60 |
— |
— |
К |
75 |
— |
— |
CL |
|
— |
— |
Я |
60 |
L |
30 |
— |
— |
СК |
|
— |
— |
К |
30 |
— |
— |
Е |
15 |
CL |
|
Я |
30 |
— |
' — |
— |
— |
L |
60 |
ск |
Т а б л и ц а С2а
Участок на |
угольнике |
Участок на |
Стержне |
горизонтальный |
верти |
рис. О, 3, 5, 7, 8 |
рис. 1, 2, 4, 6, 9 |
кальный |
20
Пример С2. На |
угольник ЛВС |
( / - A B C = |
90°), |
конец А которого |
||||||||
жестко заделан, в точке С'опирается стержень |
DE |
(рис. С2, а). |
||||||||||
Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору и к нему |
||||||||||||
приложена сила F, а к угольнику— равномерно распределенная на |
||||||||||||
участке КВ нагрузка интенсивности q и пара с моментом М. |
|
|
||||||||||
Д а н о : |
f = 1 0 |
кН, |
М = 5 |
кН-м, |
q = |
20 |
кН/м, |
а — 0,2 |
м. |
|||
О п р е д е л и т ь : |
реакции |
в точках А, |
С, |
D, |
вызванные |
заданными |
||||||
нагрузками. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
1. Д ля |
определения |
реакций |
расчленим |
систему и |
рас |
||||||
смотрим сначала |
равновесие стержня |
DE |
(рис. |
С2, б). |
Проведем |
координатные оси ху и изобразим действующие на стержень силы: силу F, реакцию N, направленную перпендикулярно стержню, и сос тавляющие XD и Уо реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:
2 ^ = 0 , |
Xo-\-F — Wsin60° = 0 |
; |
( 1) |
|
2 Fky = |
0, |
YD-\-N cos 60° = 0 ; |
|
(2) |
2 mD(F4) = |
0, |
N -2 a— F-5asin60° = |
0 . |
(3) |
2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С?, в). На него действуют сила давления стержня N', направленная противоположно реакции N, равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой Q, приложенной в середине участка КВ (численно Q = q-Aa =
— 16 кН), пара сил с моментом М и реакция жесткой заделки, слагаю щаяся из силы, которую представим составляющими ХА, YА, и пары
с моментом МА. Д ля этой плоской системы сил тоже составляем три |
||||
уравнения равновесия: |
|
|
, |
|
2 ^ |
— 0, |
Жд + Q cos60° + Л/7sin 60° = |
0 ; |
(4) |
2 ^ » |
= °. |
^ - Q - s in 6 0 ° - iV , cos60° = |
0 ; |
(5) |
^ т А{Рк) —0, М Л + М + Q-2e+Af'cos60o-4a+/V'sin60°-6a = |
0 .(6) |
|||
При вычислении^ момента силы N' разлагаем ее на составляющие |
N'i и Щ и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (1)— (6), найдем искомые реакции. При решении учитываем,
что численно N' = |
N в силу равенства действия и противодействия. |
||
О т в е т :" |
N = |
21,7 кН, |
Уд = - 1 0 , 8 кН; Х„ = 8,8 кН, ХА = |
= — 26,8 кН, |
УА = |
24,7 кН, МА = — 42,6 кН • м. |
|
Знаки указывают, что силы Уд, ХА и момент МА направлены |
|||
противоположно показанным |
на рисунках. |
Задача СЗ
Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рие. СЗ.О — С3.9, табл. С З). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах Н, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и долж ны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле,
который в каждом столбце таблицы указан |
первым, приложена сила |
Р — 200 Н; во втором узле приложена сила |
Q = 100 Н. Сила Р обра |
зует с положительными направлениями координатных осей х, у, г углы,
равные соответственно |
ai = 45°, pi = |
60°, Vi = 60°, |
а сила Q — углы |
||||
ct2 = |
60°, р2 = 45°, у2 = |
60°; направления осей х, у, |
г |
для всех рисунков |
|||
показаны |
на рис. СЗ.О. |
|
|
|
|
||
|
Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху, — квадраты. |
||||||
Диагонали |
других боковых граней |
образуют с |
плоскостью ху угол |
||||
ф = |
60°, |
а |
диагональ |
параллелепипеда образует |
с |
этой плоскостью |
|
угол |
0 = |
51°. Определить усилия в стержнях. |
|
|
На рис. С3.10 в качестве примера показано, как должен выглядеть чертеж С3.1, если по условиям задачи узлы находятся в точках L и М, а стержнями являются LM, LA, LB; МА, МС, MD. Там же показаны углы ф и 0.
22