Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка по Теоретической механике

.pdf
Скачиваний:
244
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.27 Mб
Скачать

В соответствии с равенствам (2) координаты центра масс Хс всей системы в начальном и произвольном положениях будут равны. Следо­ вательно, учитывая, что при to = 0 х3 = 0, получим

т2г — (mi + т2- f т3)х3 — miRtos(nt)-\- m2rcos(nt/2) . (4)

Отсюда получаем зависимость от времени координаты х3.

О т в е т : х3 = 0,09[3 cos (nf) — 2 cos (nt/2) — 1]м, где t — в секундах.

б)

Определение

реакции

N.

Для

определения

N = fit) составим

дифференциальное уравнение движения центра масс системы в проекции

на вертикальную ось у (см. рис. ДЗ):

 

 

 

 

М у с — If%„ или М у с = N — Pi — Pi — Pz.

( 1)

Отсюда

получим, учтя, что. Pi — mig, и т. д.:

 

 

N =

Myc + (mi + т2 + m3)g .

(2)

По формуле, определяющей ординату у с центра масс системы,

 

Мус = m y i +

т2у2+

гпгуъ,

где

yi = Н +

q>i,

у2 =

Н — г соэфг, Уз =

Н =

ОСю =

const, получим

 

М ус = (mi + т 2 + т 3)Н + m iR ^ m (n t) — m2rcos(n/2 — n t/2 )

или

 

 

 

 

 

 

 

 

Мус = (mi + mi - \ - т

з

)

Н

m2r sin (я//2) .

Продифференцировав обе части этого равенства два раза по времени, найдем

Мус = miRlicos(nt)— m2r(n/2)cos(nt/2) ;

Мус = — miRii2sin(nt) + m 2 r(n2/i) si n (n t/2 ) .

Подставив это значение Мус в уравнение (2), определим искомую

зависимость N

от t.

О т в е т :

N — 254,8— 1,2я2 [6 sin ( n t ) — si n( n/ / 2) ] , где t — в се­

кундах, N — в ньютонах.

Задача Д4

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной

цлиты 1 массой mi =

18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направ­

ляющих, и груза D массой

т2 —

6

кг (рис. Д4.0 — Д4.9,

табл. Д 4).

В момент времени

(о = 0,

когда

 

скорость плиты и о — 2

м/с, груз

под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты. На рис. О—3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза

расстояние

s = A D

изменяется по

закону

s — fi(t), а на рис.

4—9

желоб — окружность

радиуса R?—

0,8

м и

при

движении

груза

угол

ф = / - AC\D

изменяется по закону

 

ф =

f2(t). В

табл. Д4

эти зависи-

63

у////ш///////м///////////////л.

Рис. Д4.0

Рис. Д4.1

. К\

К

А__

A / M L

 

 

 

 

 

\

У

Рис. Д4.2

 

 

Рис. Д4;3

 

Рис. Д4.4

 

А

й

 

 

а

2Ь*=

 

 

t

 

\Ly

 

АР п А

 

С,

 

/1# РА

 

, 1

С’

Х

р 7

 

 

 

 

 

'7

 

У/////////////////////У////////Л

Щ Ш / Ш Ш Ш

Ж Ж Ш Ш Ш

Рис. Д4.5

 

 

Рис. Д4.6

 

Рис. Д4.7

 

 

 

 

W / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Z / / ,

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

и

 

/r^L £ l- . jL

 

£ .

с,

 

 

 

 

 

-1

 

 

■1

777777777777777777777Я777777777.

 

4 '

 

 

 

 

 

Рис. Д4.8

 

 

Рис. Д4.9

64

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

Д4

Номер

 

S=

m

:

 

Ф "

Ш ■

 

усло­

 

 

 

 

 

 

 

 

вия

рис. 0,1

 

 

рис. 2,3

рис. 4.5.6

рис. 7,8,9

 

 

 

 

 

 

0,8 sin (яf )

'

 

0,4(3/2- 2 )

я(3 — 2/2)/3

я(2*г — 1)

 

 

l,2.cos(n//2)

0,6sin(ji<2/2)

я(1 - 3 0 / 4

л( 1 - 4 0 / 3

 

 

0,6(2/2 — 1)

 

0,8cos (лЛ

я(<2- 3 ) /6 -

я(3 + 4 0 /6

 

 

0,4sin(n<2/3)

0,5sin(itr/6)

я (2 -< 2)

л (^ + 1 )/2

 

 

0,5cos(ji!76)

l,2cos(n//3)

я( 1+

2 0 /6

я(1 — 5 г)/4

 

 

0,6sin(nr/4)

0,5(3 — 4 r)

я(5<2+ 1)/4

я(<2 — 4)/3

 

 

0,8(2 — Зп)

 

0,8sin(Hi2/3)

я(/2 — 2)/2

я<2/4

 

 

0,6cos(n(/3)

0,4cos(nl74)

"(3 +

/2)/3

я (3 О - 1}/6

;

 

1,2sin ( я г /6)

1,2sin (л г) ;

я г /2

 

я(*2 + 3)/2

 

0,8cos(n//4)

0,6cos(n</6)

я (г +

2)/6

л ( 2 - 0 / 4

 

мости даны отдельно для рис. О и'1, для рис. 2 и 3 и т. д., где s выра­ жено в метрах, <р — в радианах, t — в секундах.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивле­ ниями, определить зависимость и = f(t), т. е. скорость плиты как функцию времени.

Указания. Задача Д4 на применение теоремы об изменении коли­ чества движения системы. При решении составить уравнение, выражаю­ щее теорему, в проекции на горизонтальную ось.

Пример Д4. В центре тяжести А тележки ма&ой т\, движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен невесомый стержень AD длиной I с грузом D массой тг на конце (рис. Д4)-. В момент вре­

мени

<о = 0, когда скорость тележки и — ио, стержень AD

начинает

вращаться

вокруг оси А по закону ф =

 

 

Д а н о :

mi = 24

кг, тг =

12 кг,

«о == 0,5 м/с, I == 0,6 м, ф =

= (л/3X1 +

2/3) рад

(t — в

секундах).

О п р е д е л и т ь :

и = f(t)

закон

изменения скорости тележки.

 

 

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из тележ­

ки и

груза

D, в произвольном положении. Изобразим действующие

на систему внешние силы: силы тяжести

 

Ри ? 2

и реакции плоскости

N',

N". Про­

 

ведем координатные оси Оху так, чтобы

 

ось х была горизонтальна.

 

 

 

 

Чтобы

определить и,

воспользуемся

 

теоремой об изменении количества движе­

 

ния системы Q в проекции на ось *. Так

 

как все действующие на систему внешние

 

силы вертикальны (рис. Д 4), то 2FL =

0

 

и теорема дает

 

 

 

 

 

65

 

 

 

 

 

= 0 , откуда

Qx =

C l .

 

(1)

 

Д ля рассматриваемой механической системы Q — QT+ Q°, где QT=

=

т.\и и QD=

m2vD— количества движения

тележки

и груза D соот-

ветственно

(и — скорость тележ:ки, VQ — скорость груза по отношению

к осям Оху). Тогда из равенства (1) следует, что

л

 

 

 

 

 

Q I + Q ? = C i или mittx + miVDx— Ci,

 

(2)

 

Дляопределения

v Dx

рассмотрим

движение

груза Dкак сложное,

считая его

движение поотношению

к

тележке

относительным

(это

движение,

совершаемое

при вращении

стержня

AD' вокруг оси

Л),

а

движение

самой

тележки — переносным.

Тогда

v D= »op+ f c T” и

 

 

 

 

 

V o x = рКУ+ V °DX -

 

 

 

(3)

Но v a : = и и, следовательно, vdx = ux. Вектор v Dm направлен перпендикулярно стержню и численно v'S = 1 - <S>AD = /<р = 2lnt2.

Изобразив этот вектор на рис. Д4 с учетом знака ср, найдем, что V°DX= — иотcos ср. Окончательно из равенства (3) получим

 

 

 

V D x = U X — V°D C O S < P = UX 2 / n f S C O S ^ - y H —

 

<3 ) -

( 4 )

 

данной

задаче

величину

v Dx можно

еще

найти

другим путем,

определив абсциссу Хр груза D, для'которой, как видно из рис. Д4, по­

лучим

хо =

Ха— Isin ф;

тогда

vDx =

xD — ха /<pcos<p,

где хл = и х, а

Ф =

2я/2,)

 

 

 

 

 

 

vDx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

найденном

значении

равенство

(2),

если

учесть,

что

их =

и,

примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m i u + т

2и — тг2/я/2c o s ' ^ -+

 

 

=

C

i .

 

(5)

 

Постоянную интегрированияСi определим по начальным условиям:

при

t =

0

и — иа. Подстановкаэтих

величин

в

уравнение (5)

дает

Ci =

(mi +

m2)«o и тогда из (5)

 

 

 

 

 

получим

 

 

*

I +

т2)и —2т2Ш 2cos

— — Ь

Л =

( т ,

+

т

2) и о .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ^ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда находим следующую зависимость скорости и тележки от

времени:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21лт2

2

/ я

 

Л

I

.

 

■*.

 

 

 

 

 

и = «о Ч----- —

г--------1

cos ( — — —

-— t

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

т1 + т2

 

V 3

 

3

/

 

 

 

 

Подставив сюда значения соответствующих величин, находим

искомую зависимость и

от t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т :

и = 0,5 +

0,4nt2 *cos (я/3 + 2я£3/3)

м/с.

 

 

 

 

66

Задача Д5

 

Однородная

горизонтальная

платформа

(круглая

радиуса

R

или

прямоугольная

со

сторонами

R

и

2R,

 

где

R =

1,2

м)

массой

т\ = 24 кг вращается с угловой скоростью

шо =

Ю

с-1

вокруг

вер­

тикальной оси г, отстоящей от центра масс С платформы на

рас­

стоянии

ОС = 6

(рис.

Д5.0 — Д5.9,

табл.

Д 5);

размеры

для

всех

прямоугольных платформ показаны на рис. Д5.0а (вид сверху).

 

 

 

 

В момент времени to— '0 по желобу платформы начинает двигать­

ся

(под

действием

внутренних

сил)

груз

D

массой

/яг =

8

кг по

закону

5 = AD =

F(t),

где s

выражено

в

метрах,

t — в

секундах.

Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с момен­

том М (задан

в

ньютонометрах;

при М < 0 его

направление

противо­

положно показанному на рисунках).

 

 

 

со = f(t),

Определить,

пренебрегая

массой

вала,

зависимость

т. е. угловую скорость платформы, как функцию времени.

 

 

На всех

рисунках

груз D

показан в положении,

при

котором

s > 0 (когда

s < 0 , груз

находится по

другую

сторону

от точки А).

Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном рас­ стоянии ОС — Ь от центра С.

Указания. Задача Д5 — на применение теоремы об изменении ки­ нетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент Кг системы

относительно оси

z

определяется

как

сумма

моментов

платформы

и груза. При этом следует учесть, что абсолютная

скорость груза

складывается

из

относительной

vor„ и

переносной

о„ер

скоростей,

т. е. v = »отн+

^пер.

Поэтому и

количество

движения этого груза

mv — mvOT„+mv„et. Тогда можно воспользоваться теоремой

Вариньона

(статика), согласно которой mz(mv) = тг(ти0Т„) + шг(т у|1ер); эти момен­ ты вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения разъяснен в примере Д5.

При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца оси г), как это сделано на рис. Д5.0, а — Д5.9, а.

Момент инерции пластины с массой т относительно оси Cz, пер­ пендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс С, равен:

для прямоугольной пластины со сторонами at и а2

I c z = m{a\-\- a l ) / \ 2 ;

для круглой пластины радиуса R

1Сг = тЯ*/2.

67

Т а б л и ц а Д.5

Номер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условия

Ь

;

«

ж о

_

 

 

,

М

'• - • •--^

■---■ .—г——

 

 

;

 

 

 

 

 

0

:

R

:■

— 0,4/2

/

 

 

б

1 ■

 

RZ2

 

-

0,6/2'

 

 

 

 

4/

■ 2

 

R

 

0,8/2

 

 

 

 

6

3

 

R/2 .

 

 

10/

 

 

-

8/

4

 

R

 

 

0,4/3

 

 

 

 

10

5

 

R/2

 

- 0 ,5 /

 

 

 

-

9/2

6

 

R

 

- 0 ,6 /

 

 

 

 

8

7

 

R/2

 

 

0,8/

 

 

 

 

6/2

8

 

R

 

 

0,4/3

 

 

 

— 10/

9

 

R/2

 

 

0,5/2 .

 

 

 

12/2

г

Рис. Д5.0

Рис. Д5.0а

Рис. Д5.3

ОС/

Рис. Д5.4

Рис. Д5.5

Mr у ^Лвс XА 5 ‘

«=>-

Рис. Д5.2а

А'ХЧ"'

'~ 7 Е

 

Рис. Д5.3а

АЛ £

-------- ------

С

'J

K _JM

.

Рис. Д5.4а

Рис. Д5.5а

69

------------

 

в

 

 

(Г\Ы’о

С

А

~ У "

K

j M

............

 

1

к

Рис. Д5.6а

". .

Xо г о

Е

Рис. Д5.8а

I

 

0

\

**=

£

 

ML

\

A

 

JK

 

 

 

Рис. Д5.9а

А

с (

1р, г

Рис. Д5

Пример Д5. Однородная горизонтальная платформа (прямоуголь­ ная со сторонами 21 и /), имеющая массу mt, жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угло­ вой скоростью соо (рис. Д5, а). В момент времени to = 0 на вал начинает действовать вращающий момент М, направленный противо­ положно (о0; одновременно груз D массой m2, находящийся в желобе

АВ в точке С, начинает двигаться по желобу

(под действием

внутрен­

них сил) по закону s = CD =

F(t).

 

 

 

 

 

 

Д а н о :

mi = 16

кг, m2 =

10

кг,

I =

0,5

м,

ш0 =

2 с“ \

s = 0,412

(« — в метрах,

t — в

секундах),

М =

kt,

где

k

= 6

Н -м /с.

О п р е ­

д е л и т ь :

и =

/(/) — закон изменения угловой

скорости платформы.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плат­

формы и груза D. Для определения со применим теорему об изменении

кинетического момента системы относительно оси г:

 

 

АКг

( 1)

■-2 т г(Рк).

At

 

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Рь Р 2 реакции Re, Rh и вращающий момент М. Так как силы Pt и Р 2 параллельны оси z, а реакции Re и Rh эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление <о0 (т. е. против хода часовой стрелки), получим Sm2(f |) = — М — kt и уравнение (1) примет такой вид:

dК,

= k t . (2)

dt

Умножая рбе части этого уравнения на. dt иинтегрируя, получим

 

К г = - - & i2 + c , .

(3)

Для

рассматриваемой механической системы

 

 

К г = К Г + К ? ,

(4)

где К"'4

иК ? — кинетические моменты платформы и груза D

соот­

ветственно.

71

 

Так как платформа вращается вокруг оси z,

то

ЛТ = / го>.

Значение

h

найдем

по

Теореме : Гюйгенса:

h = 1сг' + т i •(ОС)2 =

Icz,Jr tn\L2 (I Cz, — момент инерции относительно оси г',

параллельной

оси г и проходящей через центр С платформы).

 

 

 

 

Но, как

известно,

 

 

 

 

 

 

 

 

. '

'

 

1Сг, ^

m:\-2Cf

^ 1 /1 2 - 5

т , / 2/1 2 .

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 2 =

5m,/2/12 +

m ,/2 =

\1тх12/ \ 2 .

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 7 т ,/2/12)ш .

 

 

(5)

 

Для

определения

/С®

обратимся

к

рис.

Д5, б

и

рассмотрим

движение

груза D как

сложное,-считая

его движение

по

платформе

относительным, а вращение самой платформы вокруг оси г переносным

движением. Тогда

абсолютная скорость

груза

v р отя+ ^пер- Так как

груз D движется

по закону s = CD =

0,4/2,

то

рот„ = s =

0,8t; изоб­

ражаем вектор и01а на рис. Д5, б с учетом знака s

(при s < 0

направле­

ние Оотн было бы противоположным). Затем, учитывая направление <о,

изображаем

вектор

unep(u„ep -L OD);

численно t»„ep =

to-OD.

Тогда,

по

теореме Вариньона,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К? — mz(m2v) =

/п2( т 2И0тя) + mz(m2 Vmp) =

— m2 V0TH-OC + mzVwp-OD —

 

 

 

 

= — т 2-0 ,8 Я + m2co(OD)2.

 

 

 

(6)

 

Но на рис.

Д5, б видно, что OD2 =

/2 + s2 = /2 +

0,16/4. Подставляя

эту величину

в равенство

(6), а затем

значения К° и К™ из

(6) и

(5)

в равенство

(4), получим с учетом данных задачи

 

 

 

 

 

 

Kz =

 

4- m2u>(/2 +

0 ,1 6 0 — т 2(0,8()/ =

 

 

 

 

 

 

 

=

(8 ,1 7 + 1 ,6 0 ® - 4 < .

 

 

 

(7)

 

Тогда уравнение (3),

где k = 6, примет вид

 

 

 

 

 

 

 

(8,17 +

1 ,6 0 “ —

=

 

 

 

(8)

Постоянную

интегрирования определяем

по начальным условиям:

при

t — 0, со = соо. Получим

Ci = 8,17(оо =

16,34. При

этом значении

Сi

из

уравнения

(8)

находим искомую

зависимость

со от

t.

О т в е т :

ю =

(16,34 +

At — 3*2) /( 8 ,17 + 1,6/4),

где t — в секундах,

to— в

с-1 .

Задача Д6

Механическая система состоит из грузов

/

и

2, ступенчатого

шкива 3

с радиусами

ступеней R3 — 0,3

м, г3 =

0,1

м

и

радиусом

инерции

относительно

оси вращения рз =

0,2

м,

блока

4

радиуса