Методичка по Теоретической механике
.pdfВ соответствии с равенствам (2) координаты центра масс Хс всей системы в начальном и произвольном положениях будут равны. Следо вательно, учитывая, что при to = 0 х3 = 0, получим
—т2г — (mi + т2- f т3)х3 — miRtos(nt)-\- m2rcos(nt/2) . (4)
Отсюда получаем зависимость от времени координаты х3.
О т в е т : х3 = 0,09[3 cos (nf) — 2 cos (nt/2) — 1]м, где t — в секундах. |
|||||||
б) |
Определение |
реакции |
N. |
Для |
определения |
N = fit) составим |
|
дифференциальное уравнение движения центра масс системы в проекции |
|||||||
на вертикальную ось у (см. рис. ДЗ): |
|
|
|
||||
|
М у с — If%„ или М у с = N — Pi — Pi — Pz. |
( 1) |
|||||
Отсюда |
получим, учтя, что. Pi — mig, и т. д.: |
|
|||||
|
N = |
Myc + (mi + т2 + m3)g . |
(2) |
||||
По формуле, определяющей ординату у с центра масс системы, |
|||||||
|
Мус = m y i + |
т2у2+ |
гпгуъ, |
где |
yi = Н + |
q>i, |
|
у2 = |
Н — г соэфг, Уз = |
Н = |
ОСю = |
const, получим |
|
||
М ус = (mi + т 2 + т 3)Н + m iR ^ m (n t) — m2rcos(n/2 — n t/2 ) |
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
Мус = (mi + mi - \ - т |
з |
) |
Н |
— m2r sin (я//2) . |
Продифференцировав обе части этого равенства два раза по времени, найдем
Мус = miRlicos(nt)— m2r(n/2)cos(nt/2) ;
Мус = — miRii2sin(nt) + m 2 r(n2/i) si n (n t/2 ) .
Подставив это значение Мус в уравнение (2), определим искомую
зависимость N |
от t. |
О т в е т : |
N — 254,8— 1,2я2 [6 sin ( n t ) — si n( n/ / 2) ] , где t — в се |
кундах, N — в ньютонах.
Задача Д4
Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной
цлиты 1 массой mi = |
18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направ |
||||
ляющих, и груза D массой |
т2 — |
6 |
кг (рис. Д4.0 — Д4.9, |
табл. Д 4). |
|
В момент времени |
(о = 0, |
когда |
|
скорость плиты и о — 2 |
м/с, груз |
под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты. На рис. О—3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза
расстояние |
s = A D |
изменяется по |
закону |
s — fi(t), а на рис. |
4—9 |
||||
желоб — окружность |
радиуса R?— |
0,8 |
м и |
при |
движении |
груза |
угол |
||
ф = / - AC\D |
изменяется по закону |
|
ф = |
f2(t). В |
табл. Д4 |
эти зависи- |
63
у////ш///////м///////////////л.
Рис. Д4.0 |
Рис. Д4.1 |
. К\ |
К |
А__
A / M L
|
|
|
|
|
\ |
У |
Рис. Д4.2 |
|
|
Рис. Д4;3 |
|
Рис. Д4.4 |
|
|
А |
й |
|
|
а |
2Ь*= |
|
|
t |
|
|||
\Ly |
|
АР п А |
|
|||
С, |
|
/1# РА |
||||
|
, 1 |
С’ |
Х |
р 7 |
||
|
|
|
|
|
'7 |
|
У/////////////////////У////////Л |
Щ Ш / Ш Ш Ш |
Ж Ж Ш Ш Ш |
||||
Рис. Д4.5 |
|
|
Рис. Д4.6 |
|
Рис. Д4.7 |
|
|
|
|
|
W / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Z / / , |
||
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
/r^L £ l- . jL |
|
|
£ . |
с, |
|
|
||
|
|
|
-1 |
|
|
■1 |
777777777777777777777Я777777777. |
|
4 ' |
|
|||
|
|
|
||||
|
Рис. Д4.8 |
|
|
Рис. Д4.9 |
64
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
Д4 |
Номер |
|
S= |
m |
: |
|
Ф " |
Ш ■ |
|
усло |
|
|
|
|
|
|
|
|
вия |
рис. 0,1 |
|
|
рис. 2,3 |
рис. 4.5.6 |
рис. 7,8,9 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0,8 sin (яf ) |
' |
|
0,4(3/2- 2 ) |
я(3 — 2/2)/3 |
я(2*г — 1) |
|
|
|
l,2.cos(n//2) |
0,6sin(ji<2/2) |
я(1 - 3 0 / 4 |
л( 1 - 4 0 / 3 |
|
|||
|
0,6(2/2 — 1) |
|
0,8cos (лЛ |
я(<2- 3 ) /6 - |
я(3 + 4 0 /6 |
|
||
|
0,4sin(n<2/3) |
0,5sin(itr/6) |
я (2 -< 2) |
л (^ + 1 )/2 |
|
|||
|
0,5cos(ji!76) |
l,2cos(n//3) |
я( 1+ |
2 0 /6 |
я(1 — 5 г)/4 |
|
||
|
0,6sin(nr/4) |
0,5(3 — 4 r) |
я(5<2+ 1)/4 |
я(<2 — 4)/3 |
|
|||
|
0,8(2 — Зп) |
|
0,8sin(Hi2/3) |
я(/2 — 2)/2 |
я<2/4 |
|
||
|
0,6cos(n(/3) |
0,4cos(nl74) |
"(3 + |
/2)/3 |
я (3 О - 1}/6 |
; |
||
|
1,2sin ( я г /6) |
1,2sin (л г) ; |
я г /2 |
|
я(*2 + 3)/2 |
|||
|
0,8cos(n//4) |
0,6cos(n</6) |
я (г + |
2)/6 |
л ( 2 - 0 / 4 |
|
мости даны отдельно для рис. О и'1, для рис. 2 и 3 и т. д., где s выра жено в метрах, <р — в радианах, t — в секундах.
Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивле ниями, определить зависимость и = f(t), т. е. скорость плиты как функцию времени.
Указания. Задача Д4 на применение теоремы об изменении коли чества движения системы. При решении составить уравнение, выражаю щее теорему, в проекции на горизонтальную ось.
Пример Д4. В центре тяжести А тележки ма&ой т\, движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен невесомый стержень AD длиной I с грузом D массой тг на конце (рис. Д4)-. В момент вре
мени |
<о = 0, когда скорость тележки и — ио, стержень AD |
начинает |
|||||
вращаться |
вокруг оси А по закону ф = |
|
|
||||
Д а н о : |
mi = 24 |
кг, тг = |
12 кг, |
«о == 0,5 м/с, I == 0,6 м, ф = |
|||
= (л/3X1 + |
2/3) рад |
(t — в |
секундах). |
О п р е д е л и т ь : |
и = f(t) — |
||
закон |
изменения скорости тележки. |
|
|
||||
Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из тележ |
|||||||
ки и |
груза |
D, в произвольном положении. Изобразим действующие |
|||||
на систему внешние силы: силы тяжести |
|
||||||
Ри ? 2 |
и реакции плоскости |
N', |
N". Про |
|
|||
ведем координатные оси Оху так, чтобы |
|
||||||
ось х была горизонтальна. |
|
|
|
|
|||
Чтобы |
определить и, |
воспользуемся |
|
||||
теоремой об изменении количества движе |
|
||||||
ния системы Q в проекции на ось *. Так |
|
||||||
как все действующие на систему внешние |
|
||||||
силы вертикальны (рис. Д 4), то 2FL = |
0 |
|
|||||
и теорема дает |
|
|
|
|
|
65
|
|
|
|
|
= 0 , откуда |
Qx = |
C l . |
|
(1) |
||
|
Д ля рассматриваемой механической системы Q — QT+ Q°, где QT= |
||||||||||
= |
т.\и и QD= |
m2vD— количества движения |
тележки |
и груза D соот- |
|||||||
ветственно |
(и — скорость тележ:ки, VQ — скорость груза по отношению |
||||||||||
к осям Оху). Тогда из равенства (1) следует, что |
л |
|
|
||||||||
|
|
|
Q I + Q ? = C i или mittx + miVDx— Ci, |
|
(2) |
||||||
|
Дляопределения |
v Dx |
рассмотрим |
движение |
груза Dкак сложное, |
||||||
считая его |
движение поотношению |
к |
тележке |
относительным |
(это |
||||||
движение, |
совершаемое |
при вращении |
стержня |
AD' вокруг оси |
Л), |
||||||
а |
движение |
самой |
тележки — переносным. |
Тогда |
v D= »op+ f c T” и |
||||||
|
|
|
|
|
V o x = рКУ+ V °DX - |
|
|
|
(3) |
Но v a : = и и, следовательно, vdx = ux. Вектор v Dm направлен перпендикулярно стержню и численно v'S = 1 - <S>AD = /<р = 2lnt2.
Изобразив этот вектор на рис. Д4 с учетом знака ср, найдем, что V°DX= — иотcos ср. Окончательно из равенства (3) получим
|
|
|
V D x = U X — V°D C O S < P = UX — 2 / n f S C O S ^ - y H — |
|
<3 ) - |
( 4 ) |
||||||||||||
|
(В |
данной |
задаче |
величину |
v Dx можно |
еще |
найти |
другим путем, |
||||||||||
определив абсциссу Хр груза D, для'которой, как видно из рис. Д4, по |
||||||||||||||||||
лучим |
хо = |
Ха— Isin ф; |
тогда |
vDx = |
xD — ха — /<pcos<p, |
где хл = и х, а |
||||||||||||
Ф = |
2я/2,) |
|
|
|
|
|
|
vDx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
найденном |
значении |
равенство |
(2), |
если |
учесть, |
что |
||||||||||
их = |
и, |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m i u + т |
2и — тг2/я/2c o s ' ^ -+ |
|
|
= |
C |
i . |
|
(5) |
||||||
|
Постоянную интегрированияСi определим по начальным условиям: |
|||||||||||||||||
при |
t = |
0 |
и — иа. Подстановкаэтих |
величин |
в |
уравнение (5) |
дает |
|||||||||||
Ci = |
(mi + |
m2)«o и тогда из (5) |
|
|
|
|
|
получим |
|
|||||||||
|
* |
(т I + |
т2)и —2т2Ш 2cos |
— — Ь |
2я |
Л = |
( т , |
+ |
т |
2) и о . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ^ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Отсюда находим следующую зависимость скорости и тележки от |
|||||||||||||||||
времени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
21лт2 |
2 |
/ я |
|
2я |
Л |
I |
. |
|
■*. |
||
|
|
|
|
|
и = «о Ч----- — |
г--------1 |
cos ( — — — |
-— t |
|
(6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т1 + т2 |
|
V 3 |
|
3 |
/ |
|
|
|
|||
|
Подставив сюда значения соответствующих величин, находим |
|||||||||||||||||
искомую зависимость и |
от t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
О т в е т : |
и = 0,5 + |
0,4nt2 *cos (я/3 + 2я£3/3) |
м/с. |
|
|
|
|
66
Задача Д5
|
Однородная |
горизонтальная |
платформа |
(круглая |
радиуса |
R |
|||||||||||
или |
прямоугольная |
со |
сторонами |
R |
и |
2R, |
|
где |
R = |
1,2 |
м) |
массой |
|||||
т\ = 24 кг вращается с угловой скоростью |
шо = |
Ю |
с-1 |
вокруг |
вер |
||||||||||||
тикальной оси г, отстоящей от центра масс С платформы на |
рас |
||||||||||||||||
стоянии |
ОС = 6 |
(рис. |
Д5.0 — Д5.9, |
табл. |
Д 5); |
размеры |
для |
всех |
|||||||||
прямоугольных платформ показаны на рис. Д5.0а (вид сверху). |
|
|
|
||||||||||||||
|
В момент времени to— '0 по желобу платформы начинает двигать |
||||||||||||||||
ся |
(под |
действием |
внутренних |
сил) |
груз |
D |
массой |
/яг = |
8 |
кг по |
|||||||
закону |
5 = AD = |
F(t), |
где s |
выражено |
в |
метрах, |
t — в |
секундах. |
Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с момен
том М (задан |
в |
ньютонометрах; |
при М < 0 его |
направление |
противо |
|||
положно показанному на рисунках). |
|
|
|
со = f(t), |
||||
Определить, |
пренебрегая |
массой |
вала, |
зависимость |
||||
т. е. угловую скорость платформы, как функцию времени. |
|
|
||||||
На всех |
рисунках |
груз D |
показан в положении, |
при |
котором |
|||
s > 0 (когда |
s < 0 , груз |
находится по |
другую |
сторону |
от точки А). |
Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном рас стоянии ОС — Ь от центра С.
Указания. Задача Д5 — на применение теоремы об изменении ки нетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент Кг системы
относительно оси |
z |
определяется |
как |
сумма |
моментов |
платформы |
||
и груза. При этом следует учесть, что абсолютная |
скорость груза |
|||||||
складывается |
из |
относительной |
vor„ и |
переносной |
о„ер |
скоростей, |
||
т. е. v = »отн+ |
^пер. |
Поэтому и |
количество |
движения этого груза |
||||
mv — mvOT„+mv„et. Тогда можно воспользоваться теоремой |
Вариньона |
(статика), согласно которой mz(mv) = тг(ти0Т„) + шг(т у|1ер); эти момен ты вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения разъяснен в примере Д5.
При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца оси г), как это сделано на рис. Д5.0, а — Д5.9, а.
Момент инерции пластины с массой т относительно оси Cz, пер пендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс С, равен:
для прямоугольной пластины со сторонами at и а2
I c z = m{a\-\- a l ) / \ 2 ;
для круглой пластины радиуса R
1Сг = тЯ*/2.
67
Т а б л и ц а Д.5
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условия |
Ь |
; |
« |
ж о |
_ |
|
|
, |
М |
|
• |
'• - • •--^ |
■---■ .—г—— |
|
|
; |
|
|
|
|
|
0 |
: |
R |
:■ |
— 0,4/2 |
‘ |
/ |
|
|
б |
|
1 ■ |
|
RZ2 |
|
- |
0,6/2' |
|
|
|
|
4/ |
■ 2 |
|
R |
|
0,8/2 |
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
R/2 . |
|
|
10/ |
|
|
• |
- |
8/ |
4 |
|
R |
|
|
0,4/3 |
|
|
|
|
10 |
5 |
|
R/2 |
|
- 0 ,5 / |
|
|
|
- |
9/2 |
|
6 |
|
R |
|
- 0 ,6 / |
|
|
|
|
8 |
|
7 |
|
R/2 |
|
|
0,8/ |
|
|
|
|
6/2 |
8 |
|
R |
|
|
0,4/3 |
|
|
|
— 10/ |
|
9 |
|
R/2 |
|
|
0,5/2 . |
|
|
|
12/2 |
г
Рис. Д5.0 |
Рис. Д5.0а |
Рис. Д5.3
ОС/
Рис. Д5.4
Рис. Д5.5
.А Mr у 5Г ^Лвс XА 5 ‘
«=>-
Рис. Д5.2а
А'ХЧ"' |
— '~ 7 Е |
|
|
Рис. Д5.3а |
АЛ £
-------- ------
С
'J
K _JM
.
Рис. Д5.4а
Рис. Д5.5а
69
------------ |
|
в |
|
|
|
(Г\Ы’о |
С |
А |
~ У " |
K |
j M |
............ |
||
|
1 |
к |
Рис. Д5.6а
". . |
Xо г о |
Е
Рис. Д5.8а
I |
|
0 |
\ |
**= |
£ |
|
ML |
||
\ |
A |
|
JK |
|
'В |
|
|
|
Рис. Д5.9а
А
с (
1р, г
Рис. Д5
Пример Д5. Однородная горизонтальная платформа (прямоуголь ная со сторонами 21 и /), имеющая массу mt, жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угло вой скоростью соо (рис. Д5, а). В момент времени to = 0 на вал начинает действовать вращающий момент М, направленный противо положно (о0; одновременно груз D массой m2, находящийся в желобе
АВ в точке С, начинает двигаться по желобу |
(под действием |
внутрен |
|||||||||
них сил) по закону s = CD = |
F(t). |
|
|
|
|
|
|
||||
Д а н о : |
mi = 16 |
кг, m2 = |
10 |
кг, |
I = |
0,5 |
м, |
ш0 = |
2 с“ \ |
s = 0,412 |
|
(« — в метрах, |
t — в |
секундах), |
М = |
kt, |
где |
k |
= 6 |
Н -м /с. |
О п р е |
||
д е л и т ь : |
и = |
/(/) — закон изменения угловой |
скорости платформы. |
||||||||
Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плат |
|||||||||||
формы и груза D. Для определения со применим теорему об изменении |
|||||||||||
кинетического момента системы относительно оси г: |
|
|
АКг |
( 1) |
■-2 т г(Рк). |
|
At |
|
Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Рь Р 2 реакции Re, Rh и вращающий момент М. Так как силы Pt и Р 2 параллельны оси z, а реакции Re и Rh эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление <о0 (т. е. против хода часовой стрелки), получим Sm2(f |) = — М — — kt и уравнение (1) примет такой вид:
dК,
= — k t . (2)
dt
Умножая рбе части этого уравнения на. dt иинтегрируя, получим
|
К г = - - & i2 + c , . |
(3) |
Для |
рассматриваемой механической системы |
|
|
К г = К Г + К ? , |
(4) |
где К"'4 |
иК ? — кинетические моменты платформы и груза D |
соот |
ветственно.
71
|
Так как платформа вращается вокруг оси z, |
то |
ЛТ = / го>. |
||||||||
Значение |
h |
найдем |
по |
Теореме : Гюйгенса: |
h = 1сг' + т i •(ОС)2 = |
||||||
— Icz,Jr tn\L2 (I Cz, — момент инерции относительно оси г', |
параллельной |
||||||||||
оси г и проходящей через центр С платформы). |
|
|
|
||||||||
|
Но, как |
известно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. ' |
' |
|
1Сг, ^ |
m:\-2Cf |
^ 1 /1 2 - 5 |
т , / 2/1 2 . |
|
|
|||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 = |
5m,/2/12 + |
m ,/2 = |
\1тх12/ \ 2 . |
|
|
|||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(1 7 т ,/2/12)ш . |
|
|
(5) |
|||
|
Для |
определения |
/С® |
обратимся |
к |
рис. |
Д5, б |
и |
рассмотрим |
||
движение |
груза D как |
сложное,-считая |
его движение |
по |
платформе |
относительным, а вращение самой платформы вокруг оси г переносным
движением. Тогда |
абсолютная скорость |
груза |
v — р отя+ ^пер- Так как |
||
груз D движется |
по закону s = CD = |
0,4/2, |
то |
рот„ = s = |
0,8t; изоб |
ражаем вектор и01а на рис. Д5, б с учетом знака s |
(при s < 0 |
направле |
ние Оотн было бы противоположным). Затем, учитывая направление <о,
изображаем |
вектор |
unep(u„ep -L OD); |
численно t»„ep = |
to-OD. |
Тогда, |
по |
||||||
теореме Вариньона, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
К? — mz(m2v) = |
/п2( т 2И0тя) + mz(m2 Vmp) = |
— m2 V0TH-OC + mzVwp-OD — |
||||||||||
|
|
|
|
= — т 2-0 ,8 Я + m2co(OD)2. |
|
|
|
(6) |
||||
|
Но на рис. |
Д5, б видно, что OD2 = |
/2 + s2 = /2 + |
0,16/4. Подставляя |
||||||||
эту величину |
в равенство |
(6), а затем |
значения К° и К™ из |
(6) и |
(5) |
|||||||
в равенство |
(4), получим с учетом данных задачи |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Kz = |
|
4- m2u>(/2 + |
0 ,1 6 0 — т 2(0,8()/ = |
|
|
|
||||
|
|
|
|
= |
(8 ,1 7 + 1 ,6 0 ® - 4 < . |
|
|
|
(7) |
|||
|
Тогда уравнение (3), |
где k = 6, примет вид |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(8,17 + |
1 ,6 0 “ — |
= |
— |
|
|
|
(8) |
||
Постоянную |
интегрирования определяем |
по начальным условиям: |
при |
|||||||||
t — 0, со = соо. Получим |
Ci = 8,17(оо = |
16,34. При |
этом значении |
Сi |
||||||||
из |
уравнения |
(8) |
находим искомую |
зависимость |
со от |
t. |
О т в е т : |
|||||
ю = |
(16,34 + |
At — 3*2) /( 8 ,17 + 1,6/4), |
где t — в секундах, |
to— в |
с-1 . |
Задача Д6
Механическая система состоит из грузов |
/ |
и |
2, ступенчатого |
|||||
шкива 3 |
с радиусами |
ступеней R3 — 0,3 |
м, г3 = |
0,1 |
м |
и |
радиусом |
|
инерции |
относительно |
оси вращения рз = |
0,2 |
м, |
блока |
4 |
радиуса |