Эл.магнетизм_ метод.указ. к лаб

1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

1.1. Напряженность электрического поля

Вся совокупность электрических и магнитных явлений есть следствие движения и взаимодействия зарядов. Имеется два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные.

Электрические заряды взаимодействуют друг с другом, причем одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются. Сила, с которой происходит взаимодействие двух точечных неподвижных электрических зарядов, определяется по закону Кулона:

трическая постоянная. При изменении положения заряда q1 сила F12 будет изменяться, как по модулю, так и по направлению. Обычно говорят, что заряд q1 находится в поле, созданном зарядом q2.

Это поле называется электростатическим. Силовой характеристикой электростатического поля является вектор напряженности электрического поля

Принцип суперпозиции: напряженность поля системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создают каждый из зарядов в отдельности:

i =1

Для упрощения математических расчетов во многих случаях удобно игнорировать дискретную структуру зарядов (электроны, ядра), и условно считать, что они имеют непрерывное распределение в пространстве с некоторой плотностью:

11

dqdl – линейная плотность зарядов, если заряды распределены вдоль линии l.

dSdq – поверхностная плотность зарядов, если заряды распределены по поверхности S.

dVdq – объемная плотность зарядов, если заряды распределены в объ-

еме V.

1.2. Потенциал

Взаимодействие тел характеризуют силой и энергией. Отсюда две характеристики электростатического поля: Е – силовая характеристика и φ – энергетическая характеристика электростатического поля.

Потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда q′ в данной точке поля.

W - потенциальная энергия поля точечного заряда, q – заряд, создающий электростатическое поле,

q′ – пробный заряд, который перемещается под действием сил поля, создаваемого зарядом q, из точки 1 в точку 2.

При этом совершается работа:

12

1 q . 4 0 r

Потенциал – скалярная величина.

Потенциал поля системы зарядов (или системы заряженных тел) равен сумме потенциалов полей, создаваемых каждым зарядом (или заряженным телом) в отдельности:

N

∑ i .

i 1

1.3. Связь между напряженностью и потенциалом

Консервативная сила связана с потенциальной энергией соотношением:

F -grad W .

Так как электростатическая сила является консервативной, подставляя в эту

ям потенциала можно найти напряженность поля в каждой точке.

Можно решить и обратную задачу, т.е. по заданным значениям Е в каждой точке поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками:

2

1 - 2 Edl .

1

1.4. Линии напряженности и поверхности равного потенциала

Для графического изображения электрического поля используют линии напряженности (силовые линии) и поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности).

Силовые линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густота линий, т.е. число линий, прони-

13

зывающих единичную площадку, перпендикулярную линиям в данной точке, была бы пропорциональна величине Е.

Линии Е начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных (либо уходят в бесконечность). Если Е = const, то это однородное электрическое поле. Силовые линии однородного поля параллельны и находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.

Эквипотенциальная поверхность – поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал. Так как при движении вдоль такой поверхности d 0 в любой ее точке, то градиент направлен перпендикулярно этой поверхности в сторону возрастания потенциала. Следовательно, в соответствии с формулой (1.4) вектор напряженности электрического поля перпендикулярен в каждой точке эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала.

1.5. Проводники в электростатическом поле

Проводники – вещества, хорошо проводящие электрический ток. В них электрические заряды могут свободно перемещаться по всему объему под действием внешнего электрического поля. К проводникам относятся металлы, электролиты и плазма. В металлах носителями зарядов являются свободные электроны проводимости, в электролитах – ионы, в плазме – свободные электроны и ионы.

Если металлический проводник внесен во внешнее электростатическое поле, то под действием этого поля электроны проводимости перераспределяются в проводнике таким образом, чтобы в любой точке внутри проводника электрическое поле электронов и положительных ионов скомпенсировало внешнее поле.

Перераспределение зарядов в проводнике под влиянием внешнего электростатического поля называется явлением электростатической индукции , а сами заряды, возникающие на концах проводника – индуцированными.

Перемещение зарядов будет продолжаться до тех пор, пока поле во всех

точках внутри проводника не обратится в ноль: E = 0 . Избыточные (неском-

пенсированные) заряды располагаются только на поверхности проводника с не-

которой плотностью σ. Т.к. внутри проводника E = 0 , то

14

Таким образом, область, занятая проводником является эквипотенциальной. Так как поверхность проводника эквипотенциальна, то непосредственно у этой поверхности поле Е направлено по нормали к ней в каждой точке, т.е.

где σ – поверхностная плотность зарядов.

Так как поверхность заряженного проводника эквипотенциальна, то эквипотенциальные поверхности вблизи проводника приблизительно повторяют его форму, в то время как на больших удалениях от проводника они должны иметь сферическую форму, подобно полю точечного заряда. Это означает, что потенциал поля, создаваемого заряженным проводником, вблизи участков по-

верхности, имеющих малый радиус кривизны R (вблизи острия), изменя-

ется быстрее, чем вблизи участков с большим радиусом кривизны, а тем более вблизи впадин на поверхности (участков с отрицательным R < 0). Значит, gradφ, а следовательно, и Е поля имеют большие значения вблизи ос т- рия проводника и меньшие вблизи впадин ( Е = – gradφ). Поэтому в со-

ответствии с формулой (1.5) σ на проводнике больше в области острия и мень-

ше в области впадин, т.е. заряд на поверхности проводника распредел я- ется неравномерно в соответствии с формой его поверхности . Это приводит к «стеканию» зарядов с металлического острия («электрический ветер»). Для предотвращения стекания зарядов у всех приборов и машин, работающих под высоким напряжением металлические части делают закругленными, а концы металлических стержней снабжены шариками.

1.6.Электроемкость

1)Электроемкость уединенного проводника (т.е. удаленного от других проводников, тел и зарядов).

Из опыта следует что q ~ φ, т.е. q = Cφ; С – коэффициент пропорциональности.

Электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. С зависит от размеров и формы проводника.

Пример. Расчет электроемкости С уединенного шара (сферы) радиуса R.

Подставив полученное выражение в формулу (1.6), получим С = 4πε0εR.

15

Электроемкость в системе СИ измеряется в фарадах (Ф); 1 Ф = 1Кл/1В. Фарад –

очень большая величина. Поэтому на практике электроемкость С измеряют в мкФ (10-6 Ф), пФ (10-12 Ф).

2) Электроемкость конденсаторов.

При приближении к проводнику других тел его электроемкость существенно увеличивается. Это обусловлено явлением электростатической индукции.

Пусть заряд проводника q > 0, тогда на других телах возникают индуцированные заряды, причем отрицательные оказываются ближе к проводнику, нежели положительные.

Используя принцип суперпозиции φ = ∑φi, потенциал проводника уменьшается при приближении к нему незаряженных тел:

φ = φ0 – φ′_ + φ′+ ,

где φ0 – потенциал проводника, φ′_ и φ′+ – потенциалы индуцированных зарядов на других телах.

|φ′_| >| φ′+|, т.к. (-q′) находится ближе к проводнику.

зволило создать систему проводников, которая обладает электроемкостью C значительно большей, чем уединенный проводник, причем не зависящей от окружающих тел. Такая система называется конденсатором.

Простейший конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), расположенных на малом расстоянии друг от друга.

Чтобы внешние тела не влияли на электроемкость С конденсатора, его обкладки располагают так, чтобы поле было сосредоточено практически полностью внутри конденсатора. Это означает, что линии Е, начинающиеся на одной обкладке, заканчиваются на другой, т.е. заряды должны быть одинаковы по величине и противоположны по знаку (q и –q).

где φ1 – φ2 = U – совпадает с напряжением.

а) Электроемкость плоского конденсатора

Плоский конденсатор состоит из двух параллельных пластин, разделенных зазором шириной d.

U = Ed – напряжение между обкладками. Следовательно,

16

Таким образом, электроемкость плоского конденсатора:

Емкость реального конденсатора определяется полученным выражением тем точнее, чем меньше зазор d по сравнению с линейными размерами пластин.

б) Соединения конденсаторов

Для получения конденсатора заданной электроемкости нет необходимости каждый раз изготавливать новый образец. Необходимого результата добиваются, используя различные типы соединения конденсаторов, имеющихся в наличии.

1. Параллельное соединение конденсаторов – соединение, при котором все кон-

+- С1

2.Последовательное соединение конденсаторов.

При последовательном соединении полная емкость меньше самой малой емкости используемых конденсаторов.

Формулы (1.8) и (1.9) применяют не только для расчета емкости батареи конденсаторов, но и для определения емкости многослойных конденсаторов.

При смешанном соединении конденсаторов, последовательно применяют эти формулы.

17

1.7. Диэлектрики в электростатическом поле

Диэлектрики – вещества, которые практически не проводят электрический ток (изоляторы). В отличие от проводников в диэлектриках нет свободных носителей тока.

Молекулы диэлектрика электрически нейтральны : суммарный за-

ряд электронов и атомных ядер, входящих в состав молекулы равен 0. Однако молекулы обладают электрическими свойствами.

В первом приближении молекулу можно рассматривать как электриче-

ский диполь с дипольным моментом p = ql , где q – суммарный положитель-

ный заряд всех атомных ядер в молекуле; l – вектор, проведенный из «центра тяжести» электронов в молекуле в «центр тяжести» положительных зарядов атомных ядер. Как всякий электрический диполь, молекула создает электрическое поле.

У симметричных молекул (Н2 , О2 , N2 ) в отсутствие внешнего

поля l = 0 (т.е. «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов совпадают) и р = 0. Такие молекулы называются неполярными, а диэлек-

трик – неполярным.

У несимметричных молекул (СО2 , NH3 , HCl) «центры тяжести» за-

рядов сдвинуты друг относительно друга. l 0 и р ≠ 0, т.е. молекулы облада-

ют собственным дипольным моментом Такие молекулы называются полярными, а диэлектрик – полярным. У таких молекул р = const (жесткий диполь).

Под действием внешнего электрического поля происходит поляризация диэлектрика.

У неполярного диэлектрика происходит деформация электронных

оболочек атомов и молекул. Центры тяжести положительных и отрица-

тельных зарядов смещаются относительно друг друга l 0 и неполярная молекула приобретает во внешнем электрическом поле индуцированный дипольный момент, пропорциональный напряженности поля:

р = ε0αЕ ,

где α – поляризуемость молекулы. Такая поляризация называется электрон-

ной или деформационной.

Уполярного диэлектрика, когда внешнее электрическое поле отсутствует,

врезультате хаотического теплового движения молекул векторы их дипольных моментов р ориентированы хаотически. Поэтому суммарный дипольный мо-

мент полярного диэлектрика Σрi = 0.

Под действием внешнего электрического поля дипольные моменты молекул ориентируются в направлении вектора Е. Такая поляризация называется

ориентационной или дипольной.

В ионных кристаллах (NaCl и др.) под влиянием внешнего электрического поля положительные и отрицательные ионы смещаются в противоположные

18

стороны. Каждая ячейка кристалла становится диполем, и кристалл поляризуется. Такая поляризация называется ионной решеточной.

Количественной мерой поляризации диэлектрика является поляризо-

ванность диэлектрика Р:

где рi – дипольный момент i-ой молекулы; N – общее число молекул в объеме

V.

Поляризованность Р изотропных диэлектриков любого типа связана с на-

где – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика , не зависящая от Е величина.

Различают два типа возбудителей (источников) электростатического поля

вдиэлектрике:

1)свободные заряды;

2)связанные или поляризационные заряды.

Например, поле в конденсаторе создается свободными зарядами на обкладках конденсатора с поверхностной плотностью σ и связанными зарядами с плотностью σ′, возникающими при поляризации диэлектрика.

теризует электрическое поле, создаваемое только свободными зарядами, и определяется соотношением

Безразмерная величина 1 называется диэлектрической проницаемостью вещества. Для вакуума ε = 1, для диэлектриков ε > 1. Величина ε показывает, во сколько раз напряженность поля в вакууме больше напряженности поля в диэлектрике:

EE0 .

19

Следовательно, напряженность поля Е зависит от свойств среды, а электрическое смещение D – нет.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Цель работы: Исследование электростатического поля, создаваемого электродами, построение эквипотенциальных поверхностей и силовых линий электростатического поля.

Приборы и оборудование: Ванна с электродами, частично заполненная водой, источник питания, вольтметр, зонд.

Методика и техника эксперимента

Электростатическое поле характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности Е и потенциалом φ. Учитывая связь между этими величинами [cм. (1.4)], согласно которой силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны, для исследования электростатического поля достаточно найти распределение в пространстве одной из этих двух характеристик поля. Так, имея картину силовых линий поля, можно построить систему эквипотенциальных поверхностей, и, наоборот, зная положение поверхностей равного потенциала, можно построить линии Е поля (рис. 1.1). Экс-

потенциал относительно какой-либо точки поля, выбранной за начало отсчета потенциала.

Изучение электростатического поля системы неподвижных зарядов связано с большими трудностями, обусловленными необходимостью проведения сложных электрометрических измерений. Поэтому изучение поля системы не-

20