Churakov_Mat_met_obr_exp_dan_v_ekon
.pdfе„ = с % |
¥„=A¥n-i+Bx„_u |
||
Оц |
1 |
(П2.4) |
|
В- hi |
|||
А = aix |
0_ |
||
причем элементы матриц А, В и с выражаются через параметры исходного уравнения. Введем теперь в рассмотрение следующие блочные конструкции:
Уп- |
А = £4 |
^^4x2 |
, |
в= |
о; , |
с„ ='^п |
(П2.5) |
|
|
^^2x4 |
А |
|
|
в ' |
/I |
с J |
|
Тогда ряд (П2.1), составляющие которого определяются вы ражениями (П2.2) - (П2.3), можем представить следующей обоб щенной моделью:
Уп-С^Уп^Рш |
(П2.6) |
y,=^y,_i+5jc,_b |
(П2.7) |
в которой первое соотношение представляет собой уравнение на блюдения, а второе — уравнение стохастического состояния. Эта модель содержит ряд неизвестных параметров, именно: ац, ^21, *1Ь *2Ь ^ь ^р^ где Ор — дисперсия помехи/?^. Поэтому задача про гнозирования должна сопровождаться решением задачи иденти фикации неизвестных параметров, т. е. в соответствии с разд. 4.13. Для построения подобной (4.62) и (4.63) модели формирует ся расширенный вектор состояния У* = \а\\ ^21 ^^п Ъц с\ Ор d^ У^]^ € R , которому соответствуют структуры:
2?*=[0|оЙ11б21Г, ^* |
^10 |
^10x2 |
|
^2x10 |
^ |
||
|
|||
Ф(У*) = [an ац Ьп bix q Gpd^ {а^Ух + п) ^пУх^, |
|||
/i(y:«;=cjrf + ci5?b |
|
||
где Jb 5^2 — компоненты вектора Yud= |
[do di di d^]. В терми |
||
нах расширенного вектора состояния модель временного ряда приобретает ввд:
у,=л(у;)+с^^>у;р;, |
(П2.8) |
Yn =Ф(У.-1)+1?(У.-1)х,_1. |
(П2.9) |
230
Соответствующий этой модели алгоритм совместной фильт рации, идентификации и прогнозирования определяется следую щими вычислительными процедурами:
алгоритм фильтрации и идентификации
^v* ,л*
Уп =Y„,„_i+K„(y„-h(Y„,„_,)y,
алгоритм одношагового прогнозирования |
|
|
|
||
априорная ковариационная матрица ошибок |
|
|
|||
*«,«-! =^Ф(¥')Я„,,^Ф''(¥*) |
+ В\¥*)В*''(¥*) |
при |
¥'=?и |
||
oY |
oY |
|
|
|
|
апостериорная ковариационная матрица ошибок |
|
||||
|
( эTh{Y) |
тГ |
|
|
|
^п - ^п,п-\ " ^п,п-\ |
-Н(¥ )Л„„_1 |
|
7^(¥) |
|
|
|
иг |
Ъ¥ |
{д¥ |
|
|
+С(6)Л„,„_,(С<6>)Т)" __Л(У*)Л„,„_1 при ¥' = У;„_,; oY
коэффициент усиления
^п -^п dY-A(y*)J (G<^4,„-I(G<^>)'^)' при F* = y,Vi.
в соответствии с принятыми определениями в этом алгоритме
д¥ -Ф(Г) = |
-^10 |
®10х2 |
|
л |
о о |
Л/(Л) |
^ , |
, |
Л/(й) = о |
л о |
GR 2x10
Э7/j(F, и) = [О О О О j?! О 12_л3и^ л^ ci 0]
Данный алгоритм совместно с определяющими его величи нами положен в основу разработанной MATHCAD-программы (разработка программы и проведение соответствующих вычис-
231
лений выполнены экономистом-математиком А.Ю. Поляко вым). Идентификация модели, сопровождаемая «подгонкой» модельных данных к каждому из 5 наблюдаемых рядов, осуще ствлялась циклическим применением алгоритма идентифика ции и фильтрации к каждому из рядов с использованием в каче стве начальных условий очередного цикла конечных значений предыдущего. Для задач, не решаемых в натуральном масштабе времени, т. е. в процессе поступления данных, это обстоятельст во не является обременительным. Начальные значения компо нентов расширенного вектора состояния в 1-м цикле принима лись равными 1, начальное значение апостериорной ковариа ционной матрицы задавалось в виде матрицы с единицами на главной диагонали и остальными элементами, равными 0,1.
Прогнозирование временного ряда на один шаг (квартал) проводится после обработки всех N = 25 его уровней по правилу
>?^^1=Л(У;+1,л^)=Л(Ф(У;)).
Прогноз на два шага (квартала) сопровождается вычислением
З^Л^+2 = Л(У^+2, N)^ JOV+2, Л^ = ^(Ум+и N)-
Результаты соответствующего вычислительного эксперимен та даны на рис. П2.1 ~ П2.5, где, помимо наблюдаемых уровней рядов и точностных характеристик прогноза по алгоритму [31], указаны модельные значения рядов, полученные после иденти фикации («подгонки») калмановских моделей, и относительные ошибки калмановского прогноза. Последние, как и в [31], пони маются в ретроспективном смысле, т. е. как отношение модуля отклонения прогнозированного на данный квартал значения ря да от его реально наблюдаемого значения к этому наблюдаемому значению. Анализ полученных вычислительных материалов сви детельствует о полнейшей дееспособности построенных нели нейных алгоритмов совместной нелинейной фильтрации, иден тификации и прогнозирования сложных экономических процес сов. Полезно обратить внимание на то, что при их реализации удается офаничиться только апостериорными сведениями о са мих прогнозируемых рядах и не прибегать к помощи дополни тельной и весьма емкой информации, используемой в структуре одновременных уравнений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998.
2.Андерсон Т, Анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976.
3.Афанасьев В. Я., Юзбашев М. М. Анализ временных рядов и прогнозирование. — М.: Финансы и статистика, 2001.
4.БоксДж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и уп равление. - М.: Мир. Вып. 1, 2, 1974.
5.Боровиков В. П., Боровиков И. П. Statistica. Статистический ана лиз и обработка данных в среде Windows. — М.: Филинъ, 1998.
6.Боровиков В. П., Ивченко Г. И Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows. - М.: Финансы и статистика, 2000.
7.Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радио технике. - М.: Сов. радио, 1971.
8.Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.
9.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988.
10.ГельфондА, О. Исчисление конечных разностей. - М.: Наука,
1967.
11.Горчаков А. А, Орлова И. В, Компьютерные экономико-мате матические модели. — М.: ЮНИТИ, 1995.
\1. Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: Инфра-М, 2001.
13.Илюхин А. Г., Коваленко В. П. Численные методы обработки информации при исследовании динамических систем. - Киев.: Наукова думка, 1971.
14.Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968.
15.Кремер И. Ш., Путко Б. А. Эконометрика. - М.: ЮНИТИ, 2002.
16.Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогно зирования. — М.: Статистика, 1979.
17.Магнус Я. Р., Катышев П. К, Перецкий А, А, Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 1997.
18.Пакшин П. В. Дискретные системы со случайными парамет рами и структурой. — М.: Физматлит, 1994.
19.Самарский А. А,, ГулинА. В. Численные методы. - М.: Наука.
1989.
20. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение ь связи и управлении. — М.: Связь, 1976.
233
21. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский Н,В. Курс теории вероятно стей и математической статистики для технических приложений. — М.: Наука, 1965.
23.Суетин /7. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1976.
24.Тихонов А, Н., Уфимцев М. В. Статистическая обработка ре зультатов эксперимента. — М.: МГУ, 1988.
25.Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.
--М.: Мир, 1975.
26.Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989.
27.Четыркин Е. М. Статистические методы прогнозирования. — М.: Статистика, 1977.
И.Чуев Ю. В., Михайлов Ю. В., Кузьмин В, И. Прогнозирование количественных характеристик процессов. - М., Сов. радио, 1975.
29.Чураков Е. П. Оптимальные и адаптивные системы. — М.: Энергоатомиздат, 1987.
30.Эконометрика/Под ред. Я. И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002.
31.Эконометрическое моделировние: Учеб. пособие для вузов. — Вып. 2: Модель экономики России для целей краткосрочного про гноза и сценарного аналйза/В. Л. Макаров, С. А. Айвазян, С. В. Бо рисов, Э. А. Лакалин. - М.: МЭСИ, 2002.